Four features — Basic (lines) vs Ordenador

Reglas — Cuatro cosas

• Tablero 4×4 y 16 piezas únicas. Cada pieza combina cuatro atributos binarios: color (granate / azul), forma (redonda / cuadrada), tamaño (grande / pequeña) y parte superior (maciza / con agujero).
• En tu turno haces dos cosas en este orden:
  1. Colocas en una casilla libre la pieza que tu rival te ha entregado.
  2. Eliges una pieza de las que quedan y se la das al rival para que la coloque en su próximo turno.
• El primer turno sólo tiene paso (2): el primer jugador elige la pieza que su rival deberá colocar.
• Ganas si al colocar tu pieza completas 4 piezas en línea que comparten al menos un atributo en común. Da igual si las cuatro piezas las has puesto tú o el rival.
• Variantes según nivel:
  • Básico: filas, columnas y dos diagonales — 10 líneas ganadoras.
  • Medio: añade los nueve cuadrados 2×2 contiguos — 19 configuraciones.
  • Avanzado: añade cualquier cuadrado de cuatro casillas (incluyendo cuadrados grandes y diagonales tipo "diamante") — 30 configuraciones en total.
• Si se llenan las 16 casillas sin que nadie gane, la partida es empate.

Un poco de historia

El juego fue creado con el nombre Quarto por el suizo Blaise Müller y publicado por Gigamic en 1991. Recibió el sello Mensa Select en 1993 y se ha convertido en un clásico moderno del juego abstracto. Aquí lo presentamos como Cuatro cosas para no usar la marca registrada.

El giro maestro del juego es entregar al rival la pieza que va a jugar: no se trata de "qué muevo yo" sino de "qué puedo darle sin que pueda rematar". Esa restricción hace que cada elección de pieza pese tanto como cada colocación.

Material para el profesor

Cuatro cosas es uno de los juegos abstractos más ricos para hablar de combinatoria, geometría discreta y teoría de juegos. La regla "doy yo la pieza al rival" convierte cada turno en una pequeña negociación adversarial.

1. El teseracto y las 16 piezas

Las 16 piezas del juego son exactamente los 16 vértices del teseracto unitario {0,1}⁴: cada pieza es un vector de 4 bits (color, forma, tamaño, hueco). Dos piezas son "vecinas" en el teseracto si difieren en exactamente un bit.

Esta visión geométrica es enormemente fértil para los alumnos porque da significado al "atributo común":

• 4 piezas que comparten un atributo viven sobre una cara 3D del teseracto (cubo): por ejemplo, las 8 piezas con color=granate forman un cubo, y dentro hay muchas tetras que viven en hipercaras 2D más pequeñas.
• Una victoria en Cuatro cosas es, por tanto, colocar 4 vértices del teseracto que cierren una cara, sobre 4 casillas alineadas del tablero. Es una correspondencia muy bonita entre la geometría 4D abstracta y un juego físico de tablero.

Problema 1 (combinatoria 4D)

El teseracto tiene caras de varias dimensiones. Pide a los alumnos calcular cuántas hay de cada tipo.

• Vértices (0-caras): 16 — son las 16 piezas.
• Aristas (1-caras): cada vértice tiene 4 aristas salientes; el total es 16·4/2 = 32.
• Caras 2D: número de pares de coordenadas fijas y 2 libres = C(4,2)·2² = 6·4 = 24.
• Caras 3D (cubos): número de coordenadas fijas (1) y 3 libres = C(4,1)·2 = 4·2 = 8.
• 4-celda (el propio teseracto): 1.

Generalización: el número de k-caras en un n-cubo es C(n, k)·2^n−k. Para n = 4: 1, 8, 24, 32, 16 — la fila 4 del triángulo binomial multiplicada por potencias de 2.

Problema 2 (cuántos "4 en raya" hay)

En Cuatro cosas un "4 en raya" es un cuádruple de piezas que comparten al menos un atributo. Pregunta: "¿cuántos cuádruples de las 16 piezas pueden ganar una línea, es decir, comparten algún atributo?"

Solución guiada por inclusión-exclusión:

• Cuádruples que comparten el atributo i: en el conjunto de las 8 piezas que tienen ese valor, hay C(8,4)=70 cuádruples. Como hay 4 atributos × 2 valores = 8 "subcubos" 3D, son 8·70 = 560.
• Pero hemos contado por duplicado los que comparten 2 atributos. Para cada par de atributos fijados al mismo valor, quedan 4 piezas, y los cuádruples son C(4,4)=1. Pares de atributos distintos: C(4,2)=6, valores: 2² = 4. Total: 6·4 = 24 cuádruples cuya familia "comparten ≥ 2 atributos" hemos contado de más.
• Aplicando inclusión-exclusión: 4·C(8,4) − C(4,2)·C(4,4)·2² + … = 560 − 24 + … (los términos para 3 y 4 atributos compartidos son aún más pequeños).

El cálculo exacto da ~544 cuádruples ganadores de los C(16,4) = 1820 totales — los alumnos pueden afinar el resultado y discutir por qué la regla "compartir ≥ 1 atributo" hace que ganar sea relativamente fácil para casi cualquier línea decente.

2. Los cuadrados ocultos del 4×4

El nivel avanzado considera cualquier cuadrado de 4 casillas en el tablero como línea ganadora. Un buen ejercicio para los alumnos — antes incluso de jugar — es contarlos todos.

Problema 3 (caza de cuadrados)

"¿Cuántos cuadrados de 4 casillas hay en una cuadrícula 4×4?" Pista: hay axis-aligned y también girados.

• Cuadrados axis-aligned de lado 1 (los 2×2 contiguos): 3·3 = 9.
• Lado 2 (corners separados por 2): 2·2 = 4.
• Lado 3 (las 4 esquinas del tablero): 1.
• Cuadrados girados 45° (lado √2, "diamantes" centrados): 2·2 = 4.
• Cuadrados girados con lado √5 (vector lateral (1,2) y perpendicular (−2,1)): 2 caben.

Total: 9 + 4 + 1 + 4 + 2 = 20 cuadrados. Verificación con la fórmula clásica para una cuadrícula n×n de puntos: n²(n²−1)/12 = 16·15/12 = 20.

Sumadas las 10 líneas rectas del nivel básico, el avanzado da 30 configuraciones ganadoras simultáneas en cada posición — la presión sube mucho.

3. Teoría de juegos

• Cuatro cosas 4×4 es un juego finito, sin azar y con información perfecta — el teorema de Zermelo garantiza valor óptimo. El análisis por ordenador (Goossens, 2013) demostró que en la versión clásica (sólo líneas) la partida ideal acaba en empate. El nivel medio y avanzado complican el árbol pero el resultado óptimo sigue siendo empate con juego perfecto.
• El factor de ramificación efectivo es ~16 al inicio (16 piezas × 16 casillas dividido por la acción dual), decrece linealmente. Es un excelente terreno para enseñar minimax y poda α-β.
• La elección "qué pieza dar al rival" introduce el concepto de movimiento del adversario en el sentido literal: tu decisión es prefigurar la respuesta del otro, no la tuya. Buen puente hacia juegos cooperativos y de información asimétrica.

Sugerencias de aula

• Antes de jugar, dibujar un teseracto en proyección y etiquetar los 16 vértices con las piezas reales. Los alumnos visualizan dónde están los "cubos" (caras 3D) y por qué cualquier subcubo de 4 vértices comparte atributo.
• Pedir, antes del nivel avanzado, que enumeren los 20 cuadrados a mano sobre una cuadrícula 4×4. Los girados se les escapan a la primera — buen momento para discutir el concepto de "cuadrado" más allá del axis-aligned.
• Tras una partida, registrar el cuádruple ganador y verificar cuántos atributos compartían: la mayoría de victorias reales comparten 1 o 2 atributos, no 4.
• Comparar Cuatro cosas con Tres en raya escalado: por qué el 4-en-raya clásico sobre 4×4 sin más reglas es trivial (sólo el primer jugador), mientras que el giro de Cuatro cosas lo hace mucho más rico.