Tic-tac-toe 3D vs Ordenador
El tablero son 3 capas de 3×3 = 27 casillas. Hay 49 líneas posibles de tres en raya: las 8 clásicas en cada capa, las verticales que cruzan las 3 capas, y las diagonales que atraviesan el cubo.
Por turnos cada jugador coloca su símbolo (X o ○) en una casilla libre. Gana el primero que alinee 3 de su símbolo en cualquier dirección.
Sí, las verticales y las diagonales 3D cuentan: un mismo símbolo en (0,0,0), (1,1,1), (2,2,2) hace 3 en raya.
Si se llenan las 27 casillas sin que nadie complete una línea (caso raro, sobre todo en clásico), es tablas.
El cubo 3×3×3. 27 casillas y 49 líneas ganadoras: 9 paralelas a cada eje (27 totales), 6 diagonales por cada plano fijo (3 ejes × 2 diagonales × 3 capas = 18 totales), más 4 diagonales principales del cubo. Es un buen ejercicio de combinatoria pedirles que cuenten estas líneas a mano.
La celda central (1,1,1). Pasan por ella 13 líneas distintas — es la casilla más conectada del cubo, y todas las diagonales 3D cruzan por ahí. Las esquinas tienen 7 líneas cada una; los centros de cara tienen 5; las aristas tienen 4. Esa jerarquía dicta la estrategia.
Resultados teóricos:
• Clásico 3×3×3: está demostrado que el primer jugador gana con juego perfecto (resultado de Patashnik, 1980). Pero requiere un análisis fino; jugadores humanos cometen errores y las partidas no son triviales.
• Misère 3×3×3: el espacio es mucho más complejo. Sin un teorema cerrado conocido, pero el segundo jugador suele tener ventaja por simetría.
• Neutral (sin distinción de pieza): es esencialmente un juego "Nim-like" disfrazado. Estudiar paridad de jugadas hasta forzar al rival a completar.
Posiciones finales del modo neutro (las llamamos saturadas: ningún círculo más se puede añadir sin formar 3 en raya, así que nadie puede mover y el último que jugó "se salva" — los anteriores son los que cargan con la pérdida). Contadas exhaustivamente:
- 2D (3×3, 8 líneas): exactamente 23 posiciones saturadas, agrupadas en 6 clases bajo las 8 simetrías del cuadrado. Tienen entre 4 y 6 fichas:
4 fichas (mínimo) 5 fichas 6 fichas (máximo) ● ● · · ● · · ● ● ● ● · ● ● ● ● · ● · · · · ● · ● ● · (cuadrante 2×2) (cruz + ala) (8-cells minus diag)
Cuatro corners (●·● / ··· / ●·●) también es una saturada de 4 fichas con simetría total. - 3D (3×3×3, 49 líneas): 16 323 posiciones saturadas. Distribución por número de fichas:
8 fichas: 9 ← mínimo absoluto 10 fichas: 344 11 fichas: 3 732 12 fichas: 5 110 ← mediana 13 fichas: 4 968 14 fichas: 2 102 15 fichas: 56 16 fichas: 2 ← máximo (configuración muy simétrica)
¡Sólo hay 9 configuraciones saturadas con 8 fichas! Son las "trampas tempranas" donde el juego termina mucho antes de la mitad. El máximo de 16 fichas se da en sólo 2 configuraciones (probablemente con alta simetría del cubo).
El salto de 23 (2D) a 16 323 (3D) sale del paso de 8 a 49 líneas: cada celda adicional crea muchas más restricciones de saturación que celdas posibles. Es buen ejercicio para alumnos avanzados: pedirles que estimen el ratio sin contar y luego comparen con los números reales.
Para discutir en clase:
• ¿Cuántas líneas pasan por cada tipo de celda? ¿Por qué la central es la más rica?
• En misère, ¿qué celdas conviene EVITAR al principio?
• En el modo neutral: si los jugadores fueran un solo equipo intentando rellenar el cubo sin formar 3 en raya, ¿es posible? (No: por palomas, demasiadas líneas vs casillas.)
• Generalización: ¿y un cubo 4×4×4? ¿Y un hipercubo 3×3×3×3?
Conexiones matemáticas:
• Teoría de juegos combinatorios: clásico es un "achievement game" (objetivo positivo); misère es un "avoidance game" (objetivo negativo). El neutral es un híbrido.
• El teorema de Hales-Jewett (1963) garantiza que para dimensiones suficientes nunca hay tablas en n-in-a-row. 3D 3×3×3 satisface las condiciones.
• Conexión con el Sudoku: ambos son problemas de colocación con restricciones combinatorias sobre líneas.
IA del modo difícil: minimax con poda α-β y heurística de movilidad/peligro de líneas. La profundidad se adapta al modo: clásico necesita más profundidad (la posición tiene 27! / juegos posibles enormes); neutral converge rápido porque hay forced moves.