Tic-tac-toe 3D (misère) vs Ordenador
El tablero son 3 capas de 3×3 = 27 casillas. Hay 49 líneas posibles de tres en raya: las 8 clásicas en cada capa, las verticales que cruzan las 3 capas, y las diagonales que atraviesan el cubo.
Por turnos cada jugador coloca su símbolo (X o ○) en una casilla libre. ¡A la inversa que el clásico! El primero que alinee 3 de su símbolo en cualquier dirección pierde.
Estrategia muy distinta del clásico: el centro y las celdas con muchas líneas son trampas, no objetivos.
Si se llenan las 27 casillas sin que nadie complete una línea (caso raro, sobre todo en clásico), es tablas.
El cubo 3×3×3. 27 casillas y 49 líneas ganadoras: 9 paralelas a cada eje (27 totales), 6 diagonales por cada plano fijo (3 ejes × 2 diagonales × 3 capas = 18 totales), más 4 diagonales principales del cubo. Es un buen ejercicio de combinatoria pedirles que cuenten estas líneas a mano.
La celda central (1,1,1). Pasan por ella 13 líneas distintas — es la casilla más conectada del cubo, y todas las diagonales 3D cruzan por ahí. Las esquinas tienen 7 líneas cada una; los centros de cara tienen 5; las aristas tienen 4. Esa jerarquía dicta la estrategia.
Resultados teóricos:
• Clásico 3×3×3: está demostrado que el primer jugador gana con juego perfecto (resultado de Patashnik, 1980). Pero requiere un análisis fino; jugadores humanos cometen errores y las partidas no son triviales.
• Misère 3×3×3: el espacio es mucho más complejo. Sin un teorema cerrado conocido, pero el segundo jugador suele tener ventaja por simetría.
• Neutral (sin distinción de pieza): es esencialmente un juego "Nim-like" disfrazado. Estudiar paridad de jugadas hasta forzar al rival a completar.
Posiciones finales del modo neutro (las llamamos saturadas: ningún círculo más se puede añadir sin formar 3 en raya, así que nadie puede mover y el último que jugó "se salva" — los anteriores son los que cargan con la pérdida). Contadas exhaustivamente:
- 2D (3×3, 8 líneas): exactamente 23 posiciones saturadas, agrupadas en 6 clases bajo las 8 simetrías del cuadrado. Tienen entre 4 y 6 fichas:
4 fichas (mínimo) 5 fichas 6 fichas (máximo) ● ● · · ● · · ● ● ● ● · ● ● ● ● · ● · · · · ● · ● ● · (cuadrante 2×2) (cruz + ala) (8-cells minus diag)
Cuatro corners (●·● / ··· / ●·●) también es una saturada de 4 fichas con simetría total. - 3D (3×3×3, 49 líneas): 16 323 posiciones saturadas. Distribución por número de fichas:
8 fichas: 9 ← mínimo absoluto 10 fichas: 344 11 fichas: 3 732 12 fichas: 5 110 ← mediana 13 fichas: 4 968 14 fichas: 2 102 15 fichas: 56 16 fichas: 2 ← máximo (configuración muy simétrica)
¡Sólo hay 9 configuraciones saturadas con 8 fichas! Son las "trampas tempranas" donde el juego termina mucho antes de la mitad. El máximo de 16 fichas se da en sólo 2 configuraciones (probablemente con alta simetría del cubo).
El salto de 23 (2D) a 16 323 (3D) sale del paso de 8 a 49 líneas: cada celda adicional crea muchas más restricciones de saturación que celdas posibles. Es buen ejercicio para alumnos avanzados: pedirles que estimen el ratio sin contar y luego comparen con los números reales.
Para discutir en clase:
• ¿Cuántas líneas pasan por cada tipo de celda? ¿Por qué la central es la más rica?
• En misère, ¿qué celdas conviene EVITAR al principio?
• En el modo neutral: si los jugadores fueran un solo equipo intentando rellenar el cubo sin formar 3 en raya, ¿es posible? (No: por palomas, demasiadas líneas vs casillas.)
• Generalización: ¿y un cubo 4×4×4? ¿Y un hipercubo 3×3×3×3?
Conexiones matemáticas:
• Teoría de juegos combinatorios: clásico es un "achievement game" (objetivo positivo); misère es un "avoidance game" (objetivo negativo). El neutral es un híbrido.
• El teorema de Hales-Jewett (1963) garantiza que para dimensiones suficientes nunca hay tablas en n-in-a-row. 3D 3×3×3 satisface las condiciones.
• Conexión con el Sudoku: ambos son problemas de colocación con restricciones combinatorias sobre líneas.
IA del modo difícil: minimax con poda α-β y heurística de movilidad/peligro de líneas. La profundidad se adapta al modo: clásico necesita más profundidad (la posición tiene 27! / juegos posibles enormes); neutral converge rápido porque hay forced moves.