Objetivos didácticos
¿Puede un sistema completamente determinista ser impredecible? En 1961, el meteorólogo Edward Lorenz descubrió que sí: pequeñísimas diferencias en las condiciones iniciales producen trayectorias radicalmente distintas. Este lab lleva a alumnos de bachillerato y universidad a explorar ese fenómeno de primera mano, pasando del atractor de Lorenz al péndulo doble y la dinámica de poblaciones.
Qué se aprende
Se trabaja la capacidad de observación cuantitativa, el razonamiento sobre modelos y la distinción entre comportamiento periódico y caótico a partir de datos simulados y reales.
- El alumno observa el efecto mariposa en el atractor de Lorenz: tres trayectorias inicialmente indistinguibles se separan y divergen ante sus ojos.
- Manipula el parámetro σ para encontrar el umbral donde aparecen las dos alas del atractor.
- En el péndulo doble experimenta con la relación de masas y de longitudes para ver cuándo el caos se dispara antes.
- Contrasta el modelo de Malthus (exponencial) con el de Verhulst (logístico) usando datos reales de población mundial.
- Ajusta el parámetro k de la ecuación logística discreta, distingue los rangos periódicos de los caóticos y ajusta la curva a datos reales de orugas.
- Al final descubre que el caos también genera estructura: el diagrama de bifurcación del mapa logístico es un fractal.
Ideas matemáticas clave
- Sensibilidad a las condiciones iniciales: una diferencia Δ arbitrariamente pequeña crece exponencialmente con el tiempo.
- Atractor de Lorenz: solución de un sistema de tres EDO no lineales que traza una órbita infinita con forma de mariposa.
- Ecuación logística discreta: x_{n+1} = k · x_n · (1 − x_n); para k > 3,57 el comportamiento es caótico.
- Diagrama de bifurcación: muestra cómo el período de la solución se dobla sucesivamente hasta el caos; su autosimilitud lo convierte en un fractal.
- Los sistemas caóticos son deterministas pero no predecibles a largo plazo.
Contenidos por salas
Sala 1 · Edward Lorenz y el efecto mariposa
Sala narrativa que cuenta cómo Lorenz descubrió el caos en 1961 al redondear un número en su simulación meteorológica. Introduce la idea de sensibilidad extrema a las condiciones iniciales.
Tareas para el alumno
- Leer la historia del descubrimiento y avanzar.
Sala 2 · Atractor de Lorenz — observa
Tres trayectorias parten casi del mismo punto en el atractor de Lorenz y se animan en tiempo real. Al principio parecen una sola línea; en pocos segundos se separan y recorren alas distintas.
Tareas para el alumno
- Observar la animación y responder cuántas trayectorias se ven al inicio y cuántas al cabo de unos segundos.
Sala 3 · Lorenz — separar tras 15 s
El alumno controla la diferencia inicial Δ entre las trayectorias. El reto es encontrar un valor de Δ tal que, pasados exactamente 15 segundos, las trayectorias se hayan separado claramente.
Tareas para el alumno
- Ajustar el slider de Δ y confirmar la separación visible a los 15 s.
Sala 4 · Lorenz — las dos alas
El parámetro σ del sistema de Lorenz se puede mover desde 1. Por debajo de cierto umbral la trayectoria colapsa; por encima aparece la forma de mariposa con dos alas claramente diferenciadas.
Tareas para el alumno
- Mover σ desde 1 hacia arriba e identificar el valor a partir del cual el atractor muestra las dos alas.
Sala 5 · Péndulo doble — masas
Simulación de péndulo doble en la que el alumno suelta el sistema arrastrando un peso. Un botón crea una copia desplazada pocos grados para comparar trayectorias. La variable de exploración es la relación de masas m₁/m₂.
Tareas para el alumno
- Soltar el péndulo y crear la copia.
- Variar la relación de masas y observar con qué configuración los caminos se separan más rápido.
Sala 6 · Péndulo doble — longitudes
Misma mecánica que la sala anterior, pero ahora la variable de exploración es la relación de longitudes L₁/L₂. El alumno busca la configuración que maximiza la velocidad de separación de las trayectorias.
Tareas para el alumno
- Variar la relación de longitudes y determinar qué configuración hace que los caminos diverjan más deprisa.
Sala 7 · Malthus, Verhulst y la población mundial
Sala narrativo-comparativa que presenta los datos reales de población mundial junto a la curva exponencial de Malthus y la curva logística de Verhulst. El alumno decide visualmente a cuál se parece más.
Tareas para el alumno
- Observar los datos reales y elegir razonadamente si se parecen más a la exponencial o a la logística.
Sala 8 · Crecimiento logístico — explora
Mapa logístico discreto x_{n+1} = k·x_n·(1−x_n). El alumno varía k y observa cómo la curva pasa de converger a un punto fijo, a oscilar periódicamente, y finalmente a comportarse de forma caótica.
Tareas para el alumno
- Mover k e identificar el rango en que la curva es periódica.
- Localizar el valor de k a partir del cual el comportamiento se vuelve caótico.
Sala 9 · Logística — datos reales de orugas
Datos reales de oscilación de la población de orugas año a año. El alumno ajusta los sliders del mapa logístico (k y población inicial) para que su curva se aproxime lo más posible a las observaciones.
Tareas para el alumno
- Mover los sliders de k y x₀ para ajustar la curva a los datos de orugas.
Sala 10 · Un fractal nacido del caos
Diagrama de bifurcación del mapa logístico: para cada valor de k se representan los valores estables a largo plazo. La imagen resultante es un fractal autosimilar. El alumno explora la estructura haciendo zoom.
Tareas para el alumno
- Explorar el diagrama de bifurcación.
- Identificar la autosimilaridad al hacer zoom en distintas regiones.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.