Objetivos didácticos
¿Cómo puede una bandada de peces moverse al unísono sin que ninguno lleve la batuta? ¿O cómo se organiza un hormiguero sin que nadie reparta órdenes? Este laboratorio de secundaria recorre ocho familias de fenómenos de reglas emergentes —desde luciérnagas hasta autómatas celulares y fractales— para mostrar que el orden complejo puede brotar de reglas locales ridículamente sencillas aplicadas de forma repetida sobre miles de agentes. En este laboratorio merece la pena destacar la primera sala donde los peces como por arte de magia empiezan a formar bancos, la tercera donde las luciérnagas se sincronizan y la 23, donde las hormigas encuentran comida y se ponen a transportarla al nido. Cada simulación va seguida de una sala explicativa donde el alumno tiene que aplicar las reglas localmente.
Qué se aprende
El alumno descubre que la autoorganización no requiere inteligencia central: basta con que cada elemento del sistema mire a sus vecinos y siga una regla simple. El recorrido alterna simulaciones "wow" con quizzes de lápiz-y-papel en los que el alumno aplica la misma regla a mano sobre una cuadrícula pequeña.
- Las tres reglas de Reynolds (separación, alineación, cohesión) explican el vuelo en bandada; el alumno las aplica a un solo pez para entender el modelo.
- La sincronización de Kuramoto muestra cómo las luciérnagas ajustan su fase hacia la media de sus vecinas hasta parpadear al unísono.
- Los autómatas celulares (espirales BZ, Juego de la Vida de Conway, un bosque donde caen rayos, una pila de arena que se vuelca) se estudian como cuadrículas donde cada celda aplica la misma regla de vecindad paso a paso.
- La criticalidad auto-organizada de la pila de arena ilustra por qué los sistemas complejos se sitúan espontáneamente en el borde del caos.
- La transición de percolación revela que existe un umbral crítico de densidad p en el que aparece bruscamente un camino que cruza toda la red.
- El modelo de Schelling muestra que basta con una tolerancia del 33 % para que emerja segregación espacial aunque nadie la desee globalmente.
- Las hormigas con feromonas y la agregación limitada por difusión (DLA) cierran el lab con patrones fractales de dimensión no entera generados por paseos al azar.
Ideas matemáticas clave
- Reglas locales → comportamiento global: la complejidad macroscópica no está codificada en ningún agente individual.
- Autómata celular: cuadrícula discreta + función de vecindad + iteración; notación B/S para el Juego de la Vida.
- Modelo de Kuramoto: osciladores acoplados que convergen a una fase común mediante ajuste gradual.
- Criticalidad auto-organizada: la pila de arena alcanza un estado crítico donde la distribución de avalanchas sigue una ley de potencias.
- Umbral de percolación: transición de fase en p ≈ 0,593 para redes cuadradas; no existe camino percolante por debajo y casi siempre lo hay por encima.
- DLA y dimensión fractal: la estructura ramificada tiene una dimensión de Hausdorff ≈ 1,71, resultado de la difusión y el azar.
- Feromona como memoria distribuida: gradiente local de concentración sustituye a un mapa global.
Contenidos por salas
Sala 1 · La bandada se inventa sola
Simulación de boids (Reynolds): cada punto sigue únicamente 3 reglas mirando a sus vecinos cercanos — sin líder, sin destino — y emerge una bandada coordinada.
Tareas para el alumno
- Observar cómo aparece la bandada desde el caos inicial.
- Tocar los parámetros de separación, alineación y cohesión para ver cuándo se rompe la formación.
Sala 2 · Tres reglas sobre un pez
Quiz aplicado: para cada situación presentada, el alumno decide en qué dirección apunta cada una de las 3 reglas (separación, alineación, cohesión) sobre el pez central.
Tareas para el alumno
- Identificar qué regla empuja al pez en cada escenario.
- Combinar las tres flechas resultantes para predecir el movimiento neto.
Sala 3 · Luciérnagas que se ponen de acuerdo
Simulación de sincronización de Kuramoto: cada luciérnaga parpadea a su propio ritmo, pero al observar a sus vecinas ajusta su fase hasta que todas parpadean al unísono.
Tareas para el alumno
- Observar cuántos ciclos tarda la sincronización en lograrse.
- Variar la intensidad del acoplamiento y ver cómo cambia la velocidad de sincronización.
Sala 4 · ¿Acelera o frena?
Quiz sobre la regla de ajuste de fase: si la luciérnaga lenta mira a una más adelantada en el ciclo, ¿corrige acelerando o frenando? El alumno aplica la regla a casos concretos.
Tareas para el alumno
- Leer la regla de ajuste de fase hacia la media.
- Responder para cada caso si la luciérnaga acelera o frena.
Sala 5 · Espirales desde la nada
Autómata cíclico (análogo a la reacción de Belousov-Zhabotinsky): cada celda "come" a la vecina que está un paso por detrás en el ciclo. Desde ruido puro emergen espirales giratorias.
Tareas para el alumno
- Observar la formación de espirales desde el estado inicial aleatorio.
- Reiniciar varias veces y comparar qué patrones aparecen cada vez.
Sala 6 · Cuadrícula y vecinos
Introducción formal a los autómatas celulares: cuadrícula, vecindad de Moore (8 vecinos), y aplicación a mano de la "regla del 5" sobre una mini-cuadrícula 3×3.
Tareas para el alumno
- Identificar los 8 vecinos de una celda en la cuadrícula.
- Calcular el siguiente estado de cada celda aplicando la regla del autómata cíclico.
Sala 7 · Sopa que se inventa criaturas
Juego de la Vida de Conway: desde una "sopa" aleatoria emergen gliders, osciladores y estructuras estables con solo dos reglas (nacimiento con 3 vecinos; supervivencia con 2 ó 3).
Tareas para el alumno
- Observar qué estructuras estables o periódicas emergen espontáneamente.
- Editar la cuadrícula para colocar un glider y ver cómo viaja.
Sala 8 · Aplica B3/S23 a mano
Quiz celda a celda: el alumno marca el siguiente estado de una configuración del Juego de la Vida usando las notaciones B3 (nace con 3) y S23 (sobrevive con 2 ó 3).
Tareas para el alumno
- Contar los vecinos vivos de cada celda.
- Aplicar B3/S23 y marcar el nuevo estado de la cuadrícula.
Sala 9 · Bosque, lluvia y rayos
Modelo de incendio forestal: árboles crecen al azar, rayos caen esporádicamente y el fuego se propaga por los árboles conectados. Emerge un equilibrio dinámico entre densidad y catástrofe.
Tareas para el alumno
- Observar el equilibrio entre crecimiento y destrucción.
- Variar la tasa de rayos para ver cómo cambia la densidad media del bosque.
Sala 10 · Quema este bosque a mano
Quiz: dada una cuadrícula con árboles y fuego, el alumno calcula el siguiente estado aplicando las reglas (árbol con vecino en llamas → en llamas; en llamas → vacío) sin crecimiento ni rayos.
Tareas para el alumno
- Identificar qué árboles tienen al menos un vecino en llamas.
- Marcar el estado resultante de toda la cuadrícula tras un paso.
Sala 11 · Pila de arena al borde
Modelo de criticalidad auto-organizada (Bak-Tang-Wiesenfeld): se añaden granos uno a uno; cuando una columna supera 4, colapsa y reparte granos a las vecinas desencadenando avalanchas de todos los tamaños.
Tareas para el alumno
- Añadir granos y observar avalanchas pequeñas y grandes.
- Verificar que el sistema vuelve siempre al borde de la inestabilidad.
Sala 12 · Resuelve esta avalancha
Quiz: dada una cuadrícula con valores numéricos, el alumno aplica la regla de colapso (celda ≥ 4 pierde 4 y reparte 1 a cada vecina) hasta que ninguna celda supere el umbral.
Tareas para el alumno
- Localizar las celdas que disparan el colapso inicial.
- Propagar la avalancha paso a paso y calcular el estado final.
Sala 13 · Aceite y agua que se separan
Modelo de Ising/descomposición espinodal por regla de mayoría: cada celda copia el color mayoritario de sus 4 vecinas. Desde una mezcla aleatoria emergen dominios crecientes que recuerdan la separación de fases.
Tareas para el alumno
- Observar cómo los pequeños dominios desaparecen y los grandes crecen.
- Comparar el estado inicial aleatorio con el estado tras 50-100 pasos.
Sala 14 · ¿Qué dice la mayoría?
Quiz sobre la regla de mayoría: el alumno determina el siguiente color de cada celda según si al menos 3 de sus 4 vecinas (norte, sur, este, oeste) son del mismo color.
Tareas para el alumno
- Contar los vecinos de cada color para cada celda.
- Marcar el nuevo estado de la cuadrícula aplicando la regla de mayoría.
Sala 15 · El umbral que conecta todo
Transición de percolación: se rellenan celdas al azar con probabilidad p. El alumno explora a partir de qué umbral aparece un clúster que cruza toda la pantalla de arriba abajo (p ≈ 0,593, no 0,5).
Tareas para el alumno
- Variar p y observar cuándo aparece el primer camino continuo.
- Registrar el valor aproximado de p en que ocurre la transición.
Sala 16 · Sigue el camino
Quiz de conectividad: dada una cuadrícula parcialmente rellena, el alumno determina si existe un camino de celdas negras que vaya de la fila superior a la inferior usando solo movimientos arriba/abajo/izquierda/derecha.
Tareas para el alumno
- Trazar el camino posible (o demostrar su inexistencia) sobre la cuadrícula.
- Responder sí/no con justificación.
Sala 17 · Votantes que se contagian
Modelo del votante: cada celda elige periódicamente un vecino al azar y adopta su color. El alumno observa si la diversidad de opiniones sobrevive o si el sistema converge a un solo color.
Tareas para el alumno
- Observar el tiempo hasta la convergencia para distintos tamaños de cuadrícula.
- Comparar con el modelo de mayoría de la sala 13.
Sala 18 · Calcula las probabilidades
Quiz cuantitativo: una celda con 4 vecinas de colores dados elige una al azar para copiarla. El alumno calcula la probabilidad de que la celda adopte cada color posible.
Tareas para el alumno
- Contar las vecinas de cada color.
- Expresar la probabilidad de adoptar cada color como fracción.
Sala 19 · La segregación de Schelling
Modelo de Schelling (1971): cada agente se muda si menos del T% de sus vecinos son de su grupo. Con tolerancias muy altas ya emergen guetos, mostrando cómo la preferencia individual produce segregación global inesperada.
Tareas para el alumno
- Ajustar el umbral T y observar cuándo aparece la segregación.
- Reflexionar sobre la diferencia entre preferencia individual y resultado colectivo.
Sala 20 · ¿Este se muda?
Quiz de aplicación de la regla de Schelling con T = 33%: el alumno analiza un barrio y marca cuáles de los agentes se mudarán porque menos de 1/3 de sus vecinos pertenecen a su grupo.
Tareas para el alumno
- Calcular la fracción de vecinos del mismo grupo para cada agente.
- Marcar los agentes insatisfechos que se mudan.
Sala 21 · Hormigas que encuentran camino
Modelo de estigmergia con feromonas: cada hormiga deposita rastro y prefiere caminos con más feromona. Sin mapa ni jefe emerge una ruta óptima entre nido y comida. La explicación de la regla "elegir la vecina con más feromona" se integra en esta sala.
Tareas para el alumno
- Observar cómo se refuerza progresivamente el camino más corto.
- Bloquear el camino activo y ver si las hormigas descubren una ruta alternativa.
Sala 22 · Fractal a base de paseos al azar
Agregación limitada por difusión (DLA): partículas que vagan aleatoriamente se adhieren al tocar el clúster central. De una semilla nace una estructura ramificada fractal de dimensión no entera (~1,71).
Tareas para el alumno
- Observar la formación paso a paso del fractal.
- Notar por qué los brazos crecen más deprisa que los huecos interiores.
Sala 23 · ¿Se pega aquí?
Quiz de cierre: dada una cuadrícula con un clúster DLA ya formado, el alumno marca todas las celdas donde un caminante aleatorio quedaría pegado si pisara esa casilla (es decir, todas las celdas adyacentes al clúster).
Tareas para el alumno
- Identificar el perímetro externo del clúster.
- Marcar exactamente las celdas vacías adyacentes a al menos una celda del clúster.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.