Objetivos didácticos
Habéis entrado en una sala de juegos algo peculiar... Delante de ti hay máquinas que convierten unos objetos en otros. ¿Cómo conseguir tu objetivo? ¿Siempre es posible?
En siete escenarios muy distintos —monedas, calculadoras, tazas de café, cromos mágicos, camaleones y ahorros— el alumno aprende a demostrar que algunos resultados son inalcanzables recurriendo a la aritmética modular.
Qué se aprende
El alumno descubre que muchos problemas de "¿es posible?" se resuelven encontrando un invariante: algo que todas las operaciones preservan y que nos dice si el objetivo es alcanzable o no. A lo largo de 19 salas en 7 bloques progresivos, la mecánica de explorar y conjeturar precede siempre a la demostración.
- En el bloque Cambio de monedas (salas 1-4) el alumno aplica reglas de canje y descubre que ciertos totales son imposibles; la sala 4 introduce la idea de ecuación diofántica (monedas de 7 y 11 runs).
- En los bloques Calculadora ×2/−3 y ×2/+3 (salas 5-9) experimenta qué valores son alcanzables y cuáles no, usando aritmética modular para justificarlo.
- En el bloque Café y leche (salas 10-12) razona sobre mezclas en tres tazas y detecta el invariante de paridad que hace imposible cierta distribución exacta.
- En Hogsmeade (salas 13-15) canjea objetos mágicos por cromos y busca el límite máximo alcanzable.
- En Camaleones (salas 16-17) descubre que el resto módulo 3 de las diferencias entre colores es el invariante que determina si todos pueden unificarse.
- En Chip-firing (salas 18-19) reparte ahorros o "explota" cajas y reconoce el mismo patrón invariante en un contexto de grafos.
Ideas matemáticas clave
- Un invariante es una cantidad que permanece igual tras aplicar cualquier operación permitida; si el estado inicial y el estado objetivo difieren en esa cantidad, el objetivo es inalcanzable.
- La aritmética modular (restos de la división) es la herramienta habitual para calcular invariantes en problemas de intercambio.
- La ecuación diofántica ax + by = c tiene soluciones enteras si y solo si mcd(a, b) divide a c (aplicado en el bloque de monedas de 7 y 11).
- En el problema de los camaleones el invariante es la diferencia de cantidades módulo 3; la unificación es posible solo si las tres poblaciones son congruentes entre sí.
- El chip-firing (disparar chips en un grafo) converge siempre al mismo estado final independientemente del orden de disparos: otro invariante, esta vez de proceso.
Contenidos por salas
Sala 1 · La máquina de cambio
Una máquina de cambio interactiva donde cada toque cambia una moneda de 20 o 50 céntimos según las reglas 20 = 5+5+10 y 50 = 20+20+10. Introduce el concepto de invariante a través del total en céntimos.
Tareas para el alumno
- Tocar monedas para ir cambiándolas según las reglas.
- Conseguir exactamente 6 monedas de 5 céntimos.
Sala 2 · 14 monedas exactas
Las reglas cambian: ahora 50 → 10×5. Partiendo de dos monedas de 50 y dos de 20, hay que alcanzar exactamente 14 monedas. Primer reto con un objetivo numérico concreto sobre el contador.
Tareas para el alumno
- Planificar qué monedas cambiar para llegar al recuento correcto.
- Conseguir exactamente 14 monedas en total.
Sala 3 · ¿11 monedas exactas?
Con las mismas reglas que la sala anterior y la misma configuración inicial, el alumno intenta llegar a exactamente 11 monedas. La paridad del número de monedas es el invariante que lo hace imposible.
Tareas para el alumno
- Intentar llegar a 11 monedas y comprobar si es posible.
- Reflexionar por qué el número 11 no se puede alcanzar con esas reglas.
Sala 4 · El extraño reino de las monedas
En un reino con monedas de 7 y 11 runs, Psi le debe 2 runs a Phi. Traspasando monedas de un personaje a otro, hay que saldar la deuda exactamente. Introduce la ecuación diofántica 7a − 11b = 2 de forma concreta.
Tareas para el alumno
- Tocar monedas para que pasen de un personaje al otro.
- Conseguir que la diferencia entre ambos saldos sea 0 (deuda saldada).
Sala 5 · Llega al 21
Una calculadora de dos botones (×2 y −3) que parte del número 3. El alumno debe encontrar la secuencia de pulsaciones que lleva al 21, explorando cómo la aritmética modular mod 3 actúa de invariante.
Tareas para el alumno
- Pulsar ×2 y −3 en el orden necesario para llegar al 21.
Sala 6 · Llega al 39
Misma calculadora ×2/−3, nuevo objetivo: 39. El alumno consolida la estrategia y nota que ciertos residuos mod 3 son siempre alcanzables desde el 3.
Tareas para el alumno
- Encontrar la secuencia de pulsaciones para llegar al 39.
Sala 7 · ¿Llega al 7?
Misma calculadora ×2/−3. El objetivo es el 7, que no es alcanzable desde el 3 con esas operaciones. La sala invita a descubrir el invariante que lo impide.
Tareas para el alumno
- Intentar llegar al 7 y convencerse de que es imposible.
- Buscar qué propiedad del número hace que nunca sea alcanzable.
Sala 8 · Llega al 34
Las operaciones cambian a ×2 y +3, partiendo del 1. El alumno explora un nuevo invariante (mod 3 no basta: ahora todos los valores son alcanzables si son potencias de 2 sumadas). Reto: llegar al 34.
Tareas para el alumno
- Usar ×2 y +3 desde el 1 para llegar al 34.
Sala 9 · ¿Y al 15?
Misma calculadora ×2/+3 desde el 1. El objetivo es el 15, que tampoco es alcanzable. El alumno debe descubrir el nuevo invariante que lo bloquea.
Tareas para el alumno
- Intentar llegar al 15 y detectar por qué es imposible.
- Comparar este invariante con el del bloque anterior.
Sala 10 · Café para tres — reto fácil
Tres tazas de 384 ml con proporciones distintas de café y leche (Ana: todo café; Bea: mitad; Clara: todo leche). La operación X↔Y traspasa 1/3 de la taza de X a Y, que devuelve la misma cantidad. Primer reto con objetivo fácil: Ana=225, Bea=168, Clara=183 ml de café en 4 pasos o menos.
Tareas para el alumno
- Elegir pares de tazas para intercambiar y encontrar la secuencia de 4 pasos.
- Comprobar que el total de café (576 ml) se conserva en todo momento.
Sala 11 · Café para tres — reto difícil
Mismo escenario de tres tazas. Nuevo objetivo más ajustado: Ana=204, Bea=189, Clara=183 ml de café. Requiere más pasos y pensar bien qué intercambios preservan el invariante.
Tareas para el alumno
- Encontrar la secuencia de intercambios que lleva al reparto pedido.
Sala 12 · ¿Y a 1/2 exacto?
Mismo escenario. El alumno intenta que Ana tenga exactamente 1/2 de café (192 ml). Si no lo consigue, debe buscar por qué ese valor exacto no es alcanzable con los intercambios disponibles.
Tareas para el alumno
- Intentar alcanzar Ana = 192 ml de café.
- Razonar qué invariante impide llegar a ese valor exacto.
Sala 13 · Hogsmeade — 10 cromos
En una feria mágica se canjean Giratiempos (G), Chivatoscopios (Ch) y Recordadoras (R) según reglas fijas, obteniendo 1 cromo por canje. Empezando con 4+4+4, el objetivo es al menos 10 cromos.
Tareas para el alumno
- Aplicar canjes sucesivos para acumular al menos 10 cromos.
Sala 14 · 20 cromos o más
Mismas reglas de canje en Hogsmeade. El objetivo sube a 20 cromos, exigiendo una secuencia más larga y metódica.
Tareas para el alumno
- Planificar la secuencia de canjes para llegar a 20 o más cromos.
Sala 15 · ¿27 cromos?
Misma feria y mismas reglas. El alumno intenta llegar a 27 cromos y, si no puede, debe descubrir cuál es el máximo alcanzable y por qué el invariante fija un techo.
Tareas para el alumno
- Intentar alcanzar 27 cromos.
- Determinar el límite real e identificar el invariante que lo impone.
Sala 16 · Camaleones — todos del mismo color
Tres tipos de camaleones (Rojo, Amarillo, Azul): cuando se encuentran dos de distinto color, ambos adoptan el tercer color. Partiendo de 3+3+3, el alumno intenta que todos sean del mismo color.
Tareas para el alumno
- Seleccionar encuentros entre camaleones de distintos colores.
- Conseguir que los 9 camaleones tengan el mismo color.
Sala 17 · 5 rojos, 4 amarillos, 3 azules
Mismas reglas de encuentro entre camaleones. Ahora se parte de 5+4+3. El alumno intenta unificar el color y, si no puede, descubre el invariante modular (diferencias mod 3) que lo impide.
Tareas para el alumno
- Intentar dejar todos los camaleones del mismo color.
- Razonar por qué esta configuración inicial sí o no lo permite.
Sala 18 · Igualar los ahorros
Cuatro amigos quieren igualar sus ahorros. La regla chip-firing: quien tenga suficiente para dar 1€ a cada amigo lo reparte de golpe. El alumno pulsa sobre el personaje listo (resaltado en amarillo) hasta que todos tienen la misma cantidad.
Tareas para el alumno
- Tocar al amigo listo cada vez que corresponda repartir.
- Observar cómo el proceso converge y el total siempre se conserva.
Sala 19 · Cajas que explotan
Una hilera de cajas donde la última empieza con todos los puntos. Una caja con ≥2 puntos puede explotar: pierde 2 y su vecina izquierda gana 1. El proceso continúa hasta que ninguna caja tiene más de 1 punto. La distribución final es siempre la misma independientemente del orden de explosiones.
Tareas para el alumno
- Hacer explotar cajas en distintos órdenes y comparar el estado final.
- Relacionar el resultado con los repartos del chip-firing de la sala anterior.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.