Objetivos didácticos
¿Se puede dibujar una figura sin levantar el lápiz y sin repetir ninguna línea? Esta pregunta, que parece un juego, esconde un secreto matemático de casi 300 años. Este laboratorio está pensado para alumnos de Primaria y los lleva desde trazar una simple casita hasta resolver el famoso problema de los puentes de Königsberg que desveló Leonhard Euler en 1736.
Qué se aprende
El alumno empieza trazando figuras a golpe de clic —pincha un vértice, luego otro, y el "lápiz" recorre la arista—, y poco a poco descubre por qué algunas figuras se pueden trazar de un solo trazo y otras no.
- Se aprende a identificar vértices y aristas de un grafo, y a contar el grado de cada vértice (cuántas aristas le tocan).
- Se clasifica cada vértice como par o impar y se aplica la regla de Euler: se puede recorrer un grafo de un solo trazo si tiene 0 o exactamente 2 vértices de grado impar.
- Se practica la estrategia de empezar en un vértice impar para encontrar el trazo correcto.
- En las salas finales el alumno trabaja con puentes reales (Königsberg) y aprende a mover un puente de sitio para que el recorrido sea posible o incluso circular (volver al punto de partida).
- La sala 12 introduce la regla con una revelación emergente que el alumno comprueba sobre los datos que él mismo ha recogido.
Ideas matemáticas clave
- Un dibujo de vértices y líneas es un grafo; las líneas son aristas y los puntos son vértices.
- El grado de un vértice es el número de aristas que parten de él.
- La paridad como concepto matemático clave.
- Teorema de Euler (1736): un grafo conexo tiene un camino euleriano (recorre todas las aristas exactamente una vez) si y solo si tiene 0 o 2 vértices de grado impar. Con 0 impares el recorrido puede ser cerrado (volver al inicio).
- Un grafo con 4 o más vértices impares no admite ningún camino euleriano: así lo demostró Euler con los 7 puentes de Königsberg.
- Modificar una arista (mover un puente) cambia los grados de dos vértices y puede convertir el grafo en euleriano.
Contenidos por salas
Sala 1 · Bienvenida
Se presenta el reto: dibujar una casita sin levantar el lápiz y sin repetir ninguna línea. Abre el misterio matemático de 300 años que recorre todo el lab.
Tareas para el alumno
- Leer el reto y observar la casita.
- Intentar mentalmente si es posible antes de avanzar.
Sala 2 · Tu primer trazo
Primera figura interactiva: un triángulo sencillo. El alumno pincha vértices en orden para trazar todas las aristas sin repetir ninguna.
Tareas para el alumno
- Pinchar un vértice para empezar.
- Seguir pinchando vértices adyacentes hasta completar el trazo.
Sala 3 · La casita sin puerta
Una casita sin la línea de la puerta: todos sus vértices tienen grado par, así que se puede trazar empezando desde cualquier punto.
Tareas para el alumno
- Probar a empezar desde distintos vértices y comprobar que siempre funciona.
Sala 4 · La casita del principio
La casita clásica con tejado del reto inicial. Ahora el alumno descubre que no funciona desde cualquier punto: hay vértices especiales.
Tareas para el alumno
- Intentar trazar desde distintos puntos.
- Identificar desde qué vértices sí se puede completar el trazo.
Sala 5 · La casita con puerta
Casita con una línea extra de puerta. Solo dos puntos especiales sirven de inicio; el alumno los descubre a base de experimentar.
Tareas para el alumno
- Buscar los dos puntos especiales desde los que se puede trazar.
- Completar el trazo comenzando desde uno de ellos.
Sala 6 · Vértices y aristas
Se introduce el vocabulario de grafos: los puntos se llaman vértices y las líneas aristas. El alumno los identifica y los cuenta en una figura.
Tareas para el alumno
- Contar cuántos vértices tiene la figura.
- Contar cuántas aristas tiene.
Sala 7 · El grado de un vértice
Se define el grado: número de aristas que tocan un vértice. El alumno pincha cada vértice y ve su grado en tiempo real.
Tareas para el alumno
- Pinchar cada vértice y leer su grado.
- Anotar mentalmente cuáles tienen grado alto y cuáles bajo.
Sala 8 · Pares e impares
El alumno clasifica los vértices de varias figuras según si su grado es par o impar, afianzando la distinción que será clave en la regla de Euler.
Tareas para el alumno
- Calcular el grado de cada vértice.
- Clasificar cada uno como par o impar.
Sala 9 · Recorre sin repetir arista
Tres figuras para trazar. Una de ellas tiene truco: parece posible pero no lo es. El alumno practica y empieza a intuir la regla.
Tareas para el alumno
- Intentar trazar las tres figuras.
- Descubrir cuál tiene truco y por qué no se puede.
Sala 10 · Más práctica
Nuevas figuras para consolidar la mecánica de trazado sin repetir aristas, con mayor variedad de formas.
Tareas para el alumno
- Trazar cada figura sin levantar el lápiz ni repetir aristas.
Sala 11 · ¿Se puede o no?
Quiz de predicción: el alumno marca SÍ o NO en cada figura sin trazarla. Prepara el terreno para descubrir la regla que lo explica todo.
Tareas para el alumno
- Mirar cada figura y decidir si es trazable o no.
- Marcar SÍ o NO y comprobar el resultado.
Sala 12 · ¡La regla mágica!
Escena de reveal: Leonhard Euler descubrió hace casi 300 años que el número de vértices impares determina si una figura es trazable y desde dónde. Momento central del lab.
Tareas para el alumno
- Ver la animación que revela la regla de Euler.
- Recordar la regla: 0 impares → desde cualquier punto; 2 impares → desde uno de ellos; más de 2 → imposible.
Sala 13 · Cazadores de impares I
Práctica dirigida: el alumno pincha los vértices impares de cada figura para identificarlos con precisión y aplicar la regla.
Tareas para el alumno
- Pinchar todos los vértices impares de cada figura.
Sala 14 · Cazadores de impares II
Segunda ronda de figuras para cazar vértices impares, con grafos más complejos que exigen contar con cuidado.
Tareas para el alumno
- Identificar y pinchar los vértices de grado impar en cada figura.
Sala 15 · El sobre abierto
Figura en forma de sobre sin cerrar (trazable con 2 impares). El alumno debe buscar primero los vértices impares y empezar desde uno de ellos.
Tareas para el alumno
- Localizar los vértices impares antes de trazar.
- Empezar en uno de ellos y completar el trazo.
Sala 16 · El sobre cerrado
Figura de sobre cerrado (sin vértices impares: trazable desde cualquier punto y con regreso al inicio). El alumno aplica la regla antes de intentarlo.
Tareas para el alumno
- Contar los vértices impares y predecir si es posible.
- Trazar el sobre cerrado volviendo al punto de partida.
Sala 17 · Casita con alfombra
Una casita con una línea de alfombra en la base, que añade complejidad. El alumno identifica los vértices impares y empieza en uno de ellos.
Tareas para el alumno
- Buscar los vértices impares en la figura más completa.
- Trazar empezando desde un vértice impar.
Sala 18 · Los puentes de Königsberg
El problema histórico: la ciudad de Königsberg tiene 4 zonas de tierra y 7 puentes. ¿Se pueden cruzar todos exactamente una vez? El alumno descubre que es imposible.
Tareas para el alumno
- Intentar cruzar los 7 puentes sin repetir ninguno.
- Comprobar que es imposible porque hay más de 2 vértices impares.
Sala 19 · Mueve un puente
Variante interactiva: el alumno mueve uno de los 7 puentes de sitio para ver si con ese cambio el recorrido se vuelve posible. Nueva mecánica de arrastrar puentes.
Tareas para el alumno
- Marcar qué puente se quiere mover y elegir dónde colocarlo.
- Comprobar si la nueva configuración cumple la regla de Euler.
Sala 20 · Un recorrido circular
El alumno mueve los puentes que necesite hasta lograr que todos los vértices sean pares, consiguiendo así un recorrido circular (que empieza y acaba en el mismo sitio).
Tareas para el alumno
- Mover puentes hasta que no quede ningún vértice impar.
- Trazar el recorrido circular que vuelve al punto de inicio.
Sala 21 · Otra ciudad
Ciudad distinta con dos islas y sus puentes. El alumno aplica la regla de forma autónoma: busca los vértices impares y empieza ahí.
Tareas para el alumno
- Identificar los vértices de grado impar.
- Trazar el recorrido empezando desde uno de ellos.
Sala 22 · Tres islas
Ciudad con tres islas donde cuatro lugares (Norte, Sur, A y C) tienen grado impar. El alumno debe mover UN solo puente para que todos los grados sean pares y el paseo sea circular.
Tareas para el alumno
- Encontrar qué único movimiento de puente hace pares todos los grados.
- Trazar el recorrido circular resultante.
Sala 23 · Diploma
Pantalla de cierre y felicitación. El alumno recibe su diploma de explorador de grafos eulerianos.
Tareas para el alumno
- Ver el diploma y celebrar haber completado el paseo.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.