Objetivos didácticos
¿Qué tienen en común un rumor, un virus, un incendio? ¿Cómo modelizar su comportamiento? Veremos que los grafos y los autómatas celulares crean modelos matemáticos plausibles que sirven para estudiar y predecir el comportamiento de los fenómenos de propagación. ¡Y terminaremos tomando decisiones estratégicas para salvar un pueblo del fuego!
Qué se aprende
Se trabaja la modelización de fenómenos reales —epidemias, incendios, rumores— mediante grafos, cuadrículas y simulación, desarrollando la intuición sobre por qué pequeños cambios en la conectividad y densidad pueden tener consecuencias enormes.
- El alumno predice antes de simular y contrasta su intuición con los resultados: primero con crecimiento exponencial (3 × 2¹⁰), luego con grafos donde los nodos se repiten.
- Explora redes Erdős-Rényi y descubre que el nodo de partida importa: arrancar en un hub dispara el contagio mucho más que arrancar en un nodo aislado.
- Compara tres topologías (aleatoria, mundo pequeño, libre de escala) y aprende que la estructura de la red determina la velocidad de propagación.
- Practica la vacunación de los puentes entre comunidades: con solo 7 vacunas, ¿a quién inmunizo para cortar la epidemia?
- Descubre la percolación en cuadrículas cuadradas, hexagonales y triangulares: existe un umbral de densidad crítico (≈ 0,59 en cuadrícula) por debajo del cual el fuego deja de cruzar.
- Investiga el efecto del viento sobre la propagación en malla y, en la sala final, en tres escenarios con 400, 500 y 500 monedas y un máximo de 60 turnos, gestiona el presupuesto para colocar cortafuegos, bomberos y helicópteros antes de que el fuego alcance el pueblo.
Ideas matemáticas clave
- La propagación sin límites sigue un crecimiento exponencial aunque la estructura del grafo importa.
- Una red de contactos es un grafo: personas = nodos, contactos = aristas; la estructura del grafo gobierna la velocidad del contagio.
- Los hubs (nodos de alto grado) actúan como amplificadores. Cuando la red está formada por comunidades, vacunar los nodos puente que las unen aísla cada grupo y frena el contagio.
- La percolación estudia la conectividad de un sistema aleatorio; existe un umbral crítico p_c (distinto según la geometría: ≈ 0,59 con celdas cuadradas, ≈ 0,50 con celdas hexagonales, ≈ 0,70 con celdas triangulares) donde la conectividad global aparece o desaparece de golpe.
- El número de vecinos de cada celda determina el umbral: más vecinos → umbral más bajo → el fuego cruza con menos árboles.
Contenidos por salas
Sala 1 · El secreto que se escapa
Sala introductoria animada que presenta la idea central del laboratorio: algunas cosas se contagian (un rumor, una canción, un virus, un incendio) y a veces se quedan en un rincón y a veces lo invaden todo.
Tareas para el alumno
- Leer la presentación y pulsar el botón para empezar la aventura.
Sala 2 · Predice el tamaño
Escenario de crecimiento exponencial puro: 3 personas saben un secreto y cada una se lo cuenta a 2 nuevas cada día durante 10 días. El alumno predice cuántas personas lo sabrán al final (respuesta: 3 × 2¹⁰ = 3 072) antes de descubrir por qué ese modelo es demasiado optimista.
Tareas para el alumno
- Elegir el rango numérico que estima el número de personas al cabo de 10 días.
- Reflexionar sobre si el supuesto "nadie se repite" es realista.
Sala 3 · Tu primer grafo
Grafo aleatorio de 30 personas (Erdős-Rényi) con un nodo inicial infectado (halo amarillo). Un deslizador controla la probabilidad de contagio p en cada paso y el alumno observa cómo varía la epidemia resultante.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de probabilidad p y lanzar varias simulaciones.
- Identificar el rango de p en que el contagio se extiende a casi todos los nodos.
Sala 4 · ¿Importa el primero?
El mismo grafo Erdős-Rényi pero ahora el contagio puede partir del nodo "popular" (muchas conexiones), del "intermedio" o del "solitario". El alumno predice primero qué nodo inicial lleva más lejos el contagio y luego comprueba experimentalmente.
Tareas para el alumno
- Predecir qué nodo inicial propaga más.
- Lanzar los tres experimentos y comparar los resultados con la predicción.
Sala 5 · Tres mundos distintos
Tres paneles muestran tres topologías de red distintas (aleatoria, mundo pequeño y libre de escala). Antes de simular, el alumno asigna etiquetas según qué red cree que propagará más rápido, y luego el contagio se lanza en las tres a la vez y revela la respuesta: la libre de escala suele ser la más rápida, porque el hub la atraviesa en pocos pasos.
Tareas para el alumno
- Asignar una etiqueta predictiva (más rápida / media / más lenta) a cada panel.
- Lanzar las simulaciones y verificar la predicción.
Sala 6 · ¿Cómo nace una red?
Una red crece a partir de un núcleo de 5 nodos: cada segundo llega un nodo nuevo y se conecta a 2 de los existentes según la regla activa —preferencial (el popular atrae a más), anti-preferencial (los solitarios atraen a más) o al azar—, y un deslizador p regula la intensidad de la regla. Junto al grafo, un histograma muestra la distribución de grados y un contador, el grado del mayor hub. Cuando la red llega a 22 nodos aparece una pregunta: qué regla explica que en Instagram unos pocos tengan millones de seguidores y la mayoría apenas decenas (la preferencial, que produce una red libre de escala; Barabási y Albert).
Tareas para el alumno
- Hacer crecer la red con cada regla y con distintos valores de p.
- Comparar los histogramas de grados y el tamaño del mayor hub.
- Responder qué regla da lugar a unos pocos hubs gigantes y muchos nodos con pocas conexiones.
Sala 7 · El truco de la vacuna
El alumno recibe 7 vacunas para una red de 100 personas formada por 7 comunidades densas unidas en anillo por nodos puente, y debe decidir a quién inmunizar antes de que caiga una epidemia desde un nodo aleatorio. La estrategia eficaz es vacunar los puentes entre comunidades: así cada grupo queda aislado y el contagio no salta de uno a otro.
Tareas para el alumno
- Pinchar los 7 nodos que se quieren inmunizar.
- Lanzar la epidemia y evaluar si el contagio se descontroló o quedó controlado.
Sala 8 · Rumor vs. Enfermedad
Dos paneles con la misma red de 28 nodos, que puede ser aleatoria (Erdős-Rényi), de mundo pequeño o libre de escala. A la izquierda se propaga un rumor: cada nodo decide una sola vez, con probabilidad p, si lo cuenta, y entonces llega a todos sus vecinos o a ninguno. A la derecha, una enfermedad SIR: el nodo sigue infeccioso durante T ciclos y cada vecino tiene su propia tirada independiente con probabilidad p. Dos preguntas: con T = 1, quién suele llegar a más nodos (la enfermedad), y qué ocurre al subir T (llega más lejos, porque la probabilidad de librarse baja de 1 − p a (1 − p)ᵀ).
Tareas para el alumno
- Elegir la topología y ajustar p y T.
- Con T = 1, lanzar varias veces y comparar cuántos nodos alcanza cada panel.
- Subir T a 2 o más y comprobar cómo cambia el alcance de la enfermedad.
Sala 9 · El salto mágico
Cuadrícula cuadrada que representa un bosque aleatorio: verde = árbol, gris = hueco. El alumno reduce la densidad de árboles y busca el umbral a partir del cual el fuego deja de cruzar de un extremo al otro (percolación, p_c ≈ 0,59).
Tareas para el alumno
- Probar varias densidades de árboles.
- Localizar el porcentaje a partir del cual el fuego ya no logra cruzar el bosque.
Sala 10 · El número 59
Barrido automático de densidades con muchas simulaciones por valor: se dibuja la curva de probabilidad de cruce frente a densidad. La transición brusca alrededor del 59 % (p_c ≈ 0,59) se hace visible en la gráfica.
Tareas para el alumno
- Lanzar el barrido y observar la curva resultante.
- Leer en la gráfica el valor de densidad donde se produce la transición.
Sala 11 · Celdas hexagonales
El bosque pasa de cuadrícula cuadrada a malla hexagonal (cada celda tiene 6 vecinos). El alumno busca de nuevo el umbral de percolación y comprueba si cambia respecto a la malla cuadrada (ahora está en torno al 50 %).
Tareas para el alumno
- Explorar distintas densidades en la malla hexagonal.
- Estimar el nuevo umbral de percolación y compararlo con el 59 % anterior.
Sala 12 · Celdas triangulares
Ahora la malla es triangular: cada celda comparte lado con solo 3 vecinos. Con menos conexiones, el umbral de percolación sube (en torno al 70 %). El alumno predice la dirección del cambio y lo comprueba experimentalmente. Al declarar el umbral aparece una tabla que resume las tres mallas: 3, 4 y 6 vecinos por celda, con umbrales de ≈ 70 %, 59 % y 50 %.
Tareas para el alumno
- Predecir si el umbral subirá, bajará o se mantendrá respecto a la malla hexagonal.
- Buscar el umbral en la malla triangular y contrastar con la predicción.
Sala 13 · El viento manda
Un bosque de celdas hexagonales con densidad fija, dos focos a la izquierda y un cortafuegos en la columna central; el viento sopla siempre hacia el este. Tres deslizadores controlan la velocidad del viento (0–100 km/h), la temperatura (5–45 °C) y la sequedad. Cada prueba añade a la gráfica una curva con las celdas en llamas por turno, y se puede superponer una exponencial para comparar. El alumno declara a partir de qué velocidad las pavesas saltan el cortafuegos y prenden el otro lado (≈ 40 km/h).
Tareas para el alumno
- Lanzar varias pruebas con distintas velocidades de viento, temperaturas y grados de sequedad.
- Comparar las curvas de celdas en llamas por turno de cada prueba.
- Declarar la velocidad del viento a partir de la cual el fuego cruza el cortafuegos.
Sala 14 · Salva el pueblo
Juego de estrategia en tiempo real: un incendio empieza en el noroeste y el viento sopla del noroeste al sureste, hacia el pueblo. Hay tres escenarios (viento moderado en un día normal, viento fuerte, y viento moderado con ola de calor), con 400, 500 y 500 monedas y un máximo de 60 turnos. El alumno coloca cortafuegos (20 monedas), bomberos (30), el helicóptero (100, sobre una zona de 5 × 5) o, como último recurso y una sola vez, lluvia artificial (250) para que ninguna casa arda.
Tareas para el alumno
- Distribuir el presupuesto entre las cuatro herramientas disponibles.
- Simular el incendio y ajustar la estrategia hasta proteger el pueblo completo en cada escenario.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.