Objetivos didácticos
Este laboratorio es uno de los más vistosos porque genera imágenes preciosas en color. Pensado para alumnos de Secundaria, parte de la pregunta más simple posible —"¿qué pasa si uno los puntos de dos segmentos?"— y lleva al alumno, sala a sala, a descubrir parábolas, hipérbolas, cardioides, astroides y más.
Qué se aprende
Antes que nada, ¡que las matemáticas pueden ser bonitas y tener color! Se trabaja, además, la visión geométrica y la capacidad de conjeturar patrones: el alumno manipula construcciones interactivas y decide qué curva está viendo antes de recibir la confirmación. El recorrido va de lo plano a lo espacial y de curvas simples a curvas generadas por velocidades o persecuciones.
- En las salas 1–2 se unen puntos de dos segmentos que comparten vértice (construcción de Apolonio) y se descubre que la envolvente es siempre una parábola, independientemente del ángulo entre los segmentos.
- En la sala 3 el espaciado cambia a alturas inversas (1, 1/2, 1/3…) y aparece la hipérbola como curva xy = c con sus asíntotas.
- La sala 4 (foco y mediatrices) muestra que la curva auxiliar Γ determina la cónica: recta → parábola, círculo con F dentro → elipse, círculo con F fuera → hipérbola.
- La sala 5 (silla de montar) introduce la tercera dimensión y la propiedad de que dos familias de rectas distintas pasan por cada punto.
- Las salas 6–7 construyen la cardioide y la nefroide uniendo puntos de una circunferencia a doble y múltiple velocidad; el alumno descubre que velocidad ×M produce M−1 focos.
- La sala 8 (elipsógrafo de Leonardo) prueba que el punto medio de un segmento que desliza entre dos ejes traza una circunferencia, no una elipse.
- La sala 9 cierra con la curva de persecución en polígonos regulares y un cálculo de distancia recorrida.
- La sala 13 (taller libre) permite dibujar cualquier curva a mano y ver en vivo sus tangentes, cerrando el ciclo con la definición de envolvente.
Ideas matemáticas clave
- Envolvente de una familia de rectas: curva que es tangente a cada recta de la familia en algún punto.
- Las cónicas (parábola, elipse, hipérbola) aparecen como envolventes de mediatrices de FP según la posición del foco F respecto a la curva auxiliar Γ.
- La hipérbola xy = c surge del espaciado inverso 1/k; sus ejes coordenados son asíntotas.
- Un cuádrica reglada (silla de montar) es una superficie que contiene dos familias de rectas; por cada punto pasan exactamente dos rectas, una de cada familia.
- La cardioide es la envolvente de cuerdas en una circunferencia con razón de velocidad 2:1; la nefroide con razón M:1 tiene M−1 focos (número de cúspides).
- El elipsógrafo de Leonardo traza una circunferencia porque la distancia del punto medio al origen es constante (mitad de la longitud del segmento).
- La curva de persecución en un polígono regular de N vértices y lado L converge en el centro; la distancia recorrida es L / (1 − cos(2π/N)).
Contenidos por salas
Sala 1 · ¿Qué es una envolvente?
Apertura animada: 36 rectas tangentes se dibujan una a una y revelan que su "borde" común es una curva suave oculta. Se introduce el concepto de envolvente de una familia de rectas.
Tareas para el alumno
- Observar cómo las rectas tangentes van apareciendo y forman la curva.
- Avanzar tras leer la definición de envolvente.
Sala 2 · Elige una curva y mira sus tangentes
El alumno selecciona entre varias curvas clásicas (parábola, cardioide, cicloide, deltoide, rosa, lemniscata) y ve en tiempo real cómo las tangentes la reconstruyen. Reto final: identificar qué curvas tienen exactamente un eje de simetría.
Tareas para el alumno
- Pulsar al menos tres curvas distintas y observar su familia de tangentes.
- Marcar las curvas con exactamente un eje de simetría para el reto final.
Sala 3 · Cuerdas entre dos segmentos
Dos segmentos comparten un vértice; al unir el punto k de uno con el punto k del otro (desde extremos opuestos), las cuerdas rozan una parábola. Construcción clásica de Apolonio.
Tareas para el alumno
- Observar la construcción y la curva que emerge.
- Responder qué curva forma la envolvente (opción múltiple: parábola, hipérbola, cicloide, catenaria).
Sala 4 · Cambia el ángulo, ¿qué pasa con la curva?
La misma construcción de la sala anterior pero con 30 puntos fijos y el ángulo entre los segmentos ajustable libremente. Investigación libre: ¿la curva sigue siendo parábola para cualquier ángulo, incluso 180° o muy pequeño?
Tareas para el alumno
- Arrastrar el ángulo y observar cómo cambia la forma de la curva.
- Responder si la envolvente sigue siendo una parábola o se convierte en otra curva al cambiar el ángulo.
Sala 5 · Puntos a alturas inversas
El eje vertical tiene puntos a alturas 1, 1/2, 1/3, …, 1/N (inversas). Al unir el extremo k del segmento horizontal con el k del vertical aparece una hipérbola como envolvente.
Tareas para el alumno
- Ver cómo el espaciado inverso genera una curva diferente.
- Identificar la curva resultante entre circunferencia, hipérbola, parábola y elipse.
Sala 6 · Construcción de cónicas con foco y mediatrices
Foco F arrastrable y curva auxiliar Γ (recta, circunferencia o parábola). Para cada punto P de Γ se traza la mediatriz de FP; la envolvente de todas esas mediatrices es una cónica que cambia según la posición de F respecto a Γ.
Tareas para el alumno
- Arrastrar F y cambiar Γ (recta → parábola, circunferencia con F dentro, circunferencia con F fuera).
- Responder en qué configuración la envolvente es una elipse (o circunferencia).
Sala 7 · Silla de montar
Visualización 3D de dos varillas cruzadas. Al unir sus puntos equidistantes, las cuerdas forman una superficie reglada (hiperboloide de una hoja), con forma de silla de montar. El alumno puede rotar el ángulo entre las varillas.
Tareas para el alumno
- Rotar el ángulo y observar cómo se deforma la silla.
- Responder cuántas rectas pasan por cada punto de la superficie (una, dos, tres o infinitas).
Sala 8 · Todos contra todos
N puntos sobre una circunferencia conectados por todos los segmentos posibles. Las cuerdas se cruzan formando anillos anidados. Reto de combinatoria: ¿cuántos segmentos hay si hay N puntos?
Tareas para el alumno
- Variar N y observar los patrones de cuerdas y los anillos interiores.
- Calcular cuántos segmentos se pueden trazar con un número dado de puntos.
Sala 9 · Cardioide a doble velocidad
La circunferencia se divide en 36 partes; se une el punto k con el punto 2k (el extremo "rápido" va al doble de velocidad). Las cuerdas trazan una cardioide como envolvente.
Tareas para el alumno
- Observar cómo la cardioide emerge de la construcción de cuerdas.
- Responder cuántas vueltas completas da el extremo rápido mientras el lento da una.
Sala 10 · Más velocidad, más focos
Se aumenta el número de puntos y se experimenta con distintas velocidades (×2, ×3, …, ×10). Con velocidad ×M aparece la nefroide y otras curvas con M−1 focos visibles.
Tareas para el alumno
- Probar velocidades crecientes y contar los focos que se forman.
- Responder cuántos focos habría con velocidad ×10.
Sala 11 · El elipsógrafo de Leonardo
Un segmento de longitud fija desliza con cada extremo sobre un eje perpendicular (mecanismo de biela-manivela). El punto medio del segmento traza una curva precisa; ¿cuál es?
Tareas para el alumno
- Observar el movimiento del segmento y la traza del punto medio.
- Identificar la curva que dibuja el punto medio (circunferencia, rombo, cuadrado u óvalo).
Sala 12 · ¿Por qué una circunferencia?
Demostración geométrica: con el segmento a 60° del eje x se construye el rectángulo cuya diagonal es el segmento y cuyos lados son los ejes. La otra diagonal es OC. Como en todo rectángulo las diagonales son iguales y se cortan en su punto medio, OM = ½·L es constante: por eso el punto medio describe una circunferencia. Termina planteando si seguirá siendo circunferencia al cambiar el ángulo entre los ejes.
Tareas para el alumno
- Leer la pregunta y pulsar «Ver la demostración».
- Seguir la animación del rectángulo y sus dos diagonales hasta la conclusión OM = ½·L.
Sala 13 · Y si los ejes no son perpendiculares…
El mismo elipsógrafo, pero con un deslizador que cambia el ángulo entre los ejes. Un gato viaja en el punto medio del segmento. Junto a la traza se muestra punteada la circunferencia de radio ½·L de la sala anterior: solo coincide con el recorrido cuando el ángulo es 90°; en los demás casos el punto medio describe una elipse.
Tareas para el alumno
- Mover el ángulo entre los ejes y observar cómo se deforma la curva que recorre el gato.
- Responder qué curva traza el punto medio cuando los ejes no son perpendiculares.
Sala 14 · Persecución en un polígono
En un polígono regular, cada punto persigue a su vecino a la misma velocidad. Todos espiralan hacia el centro simultáneamente. Se puede activar la vista del polígono cambiante.
Tareas para el alumno
- Activar la animación y observar las espirales de persecución.
- Calcular cuánto recorre cada punto en un cuadrado de lado 1 m antes de encontrarse en el centro.
Sala 15 · Dibuja tu propia curva
Sala de cierre creativa: el alumno traza libremente con el ratón cualquier curva y el sistema dibuja en vivo sus tangentes, mostrando que toda curva suave es la envolvente de sus propias tangentes.
Tareas para el alumno
- Dibujar al menos una curva propia y ver sus tangentes en tiempo real.
- Borrar y experimentar con formas distintas.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.