Objetivos didácticos
¿Cómo pasa un virus de una persona a miles? Este lab usa el COVID-19 como hilo conductor para que alumnos de Secundaria construyan, paso a paso, los modelos matemáticos reales que usan los epidemiólogos. Empieza con una cuadrícula de personas que se infectan al azar y termina con tres misiones de gestión de crisis — gripe A, ébola y COVID — en las que el alumno decide cuándo confinar, cuántas vacunas repartir y a quién dárselas.
Qué se aprende
Los alumnos desarrollan la capacidad de pasar de una observación cualitativa ("la curva sube rápido") a un modelo cuantitativo ajustable con datos reales.
- Se descubre que la densidad de contactos determina si hay epidemia: por debajo del ~50 % de densidad la enfermedad se apaga sola (umbral de percolación).
- Comparando el autómata celular con datos COVID reales se ve que sin movimiento la curva es lineal, y que añadir radio de desplazamiento la convierte en exponencial.
- Se introduce el modelo SAIR (asintomáticos que contagian sin saberlo) y su efecto en la velocidad de propagación.
- El alumno calcula a mano las ecuaciones diferenciales discretas ΔS = −β·S·I/N, ΔR = γ·I, ΔI = −ΔS − ΔR y luego ajusta β y γ a los datos reales del COVID.
- Se trabaja el número reproductivo básico R₀ y se experimenta con vacunación, confinamiento y mascarillas para mantener el pico de infectados por debajo de umbrales concretos.
- En la sala de redes sociales se comparan topologías (regular, aleatoria, scale-free) y se decide a quién vacunar en una red real con solo 3 dosis.
Ideas matemáticas clave
- Un autómata celular en cuadrícula modela la propagación local; el vecindario de 4 celdas define quién puede contagiarse cada paso.
- Percolación: existe un umbral crítico de densidad a partir del cual la infección alcanza todo el sistema.
- Las ecuaciones SIR son un sistema de diferencias finitas que discretiza las tasas de contagio (β) y recuperación (γ).
- R₀ = β / γ: si R₀ > 1 hay epidemia; la inmunidad de rebaño requiere vacunar al menos 1 − 1/R₀ de la población.
- En una red scale-free, unos pocos nodos con muchas conexiones (hubs) aceleran drásticamente la propagación; vacunarlos primero es más eficiente que la vacunación aleatoria.
Contenidos por salas
Sala 1 · Bienvenido al modelo
Introducción al autómata celular SIR: una cuadrícula de personas con tres estados (sana, infectada, inmune) y la probabilidad de contagio β. El alumno lanza la simulación y observa cómo se propaga el primer foco.
Tareas para el alumno
- Pulsar Iniciar y observar cómo la celda roja inicial contagia a sus vecinas cada día.
- Identificar en la cuadrícula los tres colores: verde (S), rojo (I) y gris (R).
Sala 2 · La densidad importa
Se introduce el concepto de densidad de población: con la cuadrícula no completamente llena, algunas celdas están vacías. El alumno descubre el umbral de percolación (~50 %) por debajo del cual la enfermedad no llega a todos.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de densidad y observar cuándo la epidemia se extingue antes de propagarse.
- Encontrar el valor aproximado de densidad donde la enfermedad ya no alcanza a toda la población.
Sala 3 · ¿Qué curva se parece a la realidad?
Se muestran los primeros 25 días del COVID-19 en España junto a tres curvas candidatas: lineal, polinómica y exponencial. El alumno identifica cuál se ajusta mejor y razona por qué.
Tareas para el alumno
- Comparar visualmente las tres curvas con los datos reales.
- Seleccionar la curva que mejor encaja y escribir por qué la dinámica de contagio es exponencial.
Sala 4 · Nuestro autómata vs los datos reales
El autómata estático (sin movimiento) se superpone en rojo a la curva real de COVID en amarillo. La discrepancia es llamativa: el autómata pica mucho más tarde y a menor escala, lo que motiva introducir el movimiento.
Tareas para el alumno
- Observar la diferencia entre la curva del autómata y la curva COVID real.
- Reflexionar y escribir al menos una razón que explique la discrepancia.
Sala 5 · Añadiendo movimiento
Los infectados se pueden desplazar dentro de un radio antes de contagiar. Hay dos sliders: probabilidad β y radio de movimiento. Solo uno de ellos cambia la forma de la curva de lineal a exponencial.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de β y observar el efecto en la curva.
- Mover el slider de radio y comprobar cuál de los dos transforma la forma de la curva.
Sala 6 · Asintomáticos y aislamiento
Se introduce el modelo SAIR: los infectados pasan primero por una fase asintomática (contagian y se mueven sin saberlo) y luego se aíslan con síntomas. Cuanto más dure la fase asintomática, mayor es el pico.
Tareas para el alumno
- Ajustar el slider de duración de la fase asintomática.
- Observar cómo un período asintomático más largo dispara el pico de infectados.
Sala 7 · El modelo SIR, día a día
Se presentan las tres ecuaciones diferenciales discretas del modelo SIR: ΔS = −β·S·I/N, ΔR = γ·I, ΔI = −ΔS − ΔR. El alumno calcula manualmente los dos primeros días y luego el simulador completa la curva.
Tareas para el alumno
- Calcular los valores de S, I y R para el día 1 usando las fórmulas dadas.
- Calcular el día 2 y comparar con el resultado del simulador.
Sala 8 · Ajustar el modelo a los datos COVID
Con los puntos reales del COVID-19 en España como referencia, el alumno ajusta los parámetros β y γ de la curva SIR amarilla hasta que el error medio baje de 550 casos/día.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de β y observar cómo sube o baja el pico.
- Ajustar γ para alinear la anchura de la curva con los datos.
- Conseguir que el error medio sea inferior a 550 casos/día.
Sala 9 · R₀ y el umbral epidémico
Se introduce R₀ como el número promedio de contagios por infectado. El alumno manipula β y la duración del período contagioso hasta llevar R₀ a ≈1, el umbral crítico entre extinción y epidemia.
Tareas para el alumno
- Mover los sliders β y días contagioso para explorar cómo varía R₀.
- Llevar R₀ lo más cerca posible de 1 para desbloquear Continuar.
Sala 10 · Vacunación: aplana la curva
Se añade inmunidad inicial (vacunados) y aparece una línea punteada amarilla al 15 % de infectados. El alumno sube el porcentaje de vacunados hasta que el pico no supere esa línea.
Tareas para el alumno
- Subir el slider de Vacunados gradualmente y observar cómo cae el pico.
- Encontrar el mínimo porcentaje de vacunados que mantiene el pico por debajo del 15 %.
Sala 11 · ¿Cuánta vacunación hace falta?
Tres enfermedades con R₀ muy distintos: gripe (R₀ ≈ 1,5), COVID (R₀ ≈ 3) y sarampión (R₀ ≈ 15). Para cada una, el alumno busca la cobertura mínima de vacunación que apaga la epidemia.
Tareas para el alumno
- Para cada enfermedad, ajustar la cobertura vacunal hasta extinguir el brote.
- Comparar los tres umbrales y relacionarlos con la fórmula 1 − 1/R₀.
Sala 12 · Confinamiento
Una fracción de la población se queda en casa (sin desplazarse, pero sigue pudiendo contagiarse de vecinos). El reto es conseguir que el pico no supere el 30 % usando el confinamiento más suave posible.
Tareas para el alumno
- Subir el nivel de confinamiento y observar la caída del pico.
- Encontrar el porcentaje mínimo de población confinada que mantiene el pico ≤ 30 %.
Sala 13 · Mascarillas
Las mascarillas reducen β: β_efectiva = β · (1 − uso). El alumno debe mantener el pico ≤ 25 % con el uso mínimo de mascarillas, buscando el equilibrio entre eficacia y coste social.
Tareas para el alumno
- Ajustar el slider de uso de mascarillas y ver cómo cambia β_efectiva y el pico.
- Encontrar el mínimo uso que mantiene el pico por debajo del 25 %.
Sala 14 · Redes sociales: el poder del hub
Se abandona la cuadrícula y se pasa a grafos de contacto. El alumno compara tres topologías (regular, aleatoria, scale-free) y descubre por qué las redes scale-free son las más vulnerables; luego decide a quién vacunar con solo 3 dosis.
Tareas para el alumno
- Lanzar el brote en las tres topologías y comparar la velocidad de propagación.
- Elegir los 3 nodos a vacunar en la red real para minimizar el daño.
Sala 15 · Misión 1 — brote de gripe A
Primera misión abierta: un virus desconocido aparece en una esquina del mapa. El alumno dispone de un presupuesto y varias herramientas (vacunación, confinamiento, mascarillas) y debe mantener los fallecidos por debajo del límite marcado.
Tareas para el alumno
- Analizar el brote inicial y diseñar una estrategia de intervención con el presupuesto disponible.
- Mantener los fallecidos por debajo del umbral al finalizar la simulación.
Sala 16 · Misión 2 — brote de ébola
Segunda misión con un patógeno de parámetros distintos (mayor mortalidad, menor transmisibilidad aérea). Se usan las mismas herramientas que en la misión anterior pero la estrategia óptima es diferente.
Tareas para el alumno
- Adaptar la estrategia aprendida en la sala 15 al nuevo perfil del ébola.
- Superar la misión manteniendo los fallecidos dentro del límite.
Sala 17 · Misión 3 — COVID-19 (primeros días)
Misión final: reproducir el escenario de los primeros días del COVID-19 con los parámetros reales y las herramientas del lab. Cierra el recorrido conectando la modelización matemática con un evento histórico concreto.
Tareas para el alumno
- Aplicar todo lo aprendido (β, γ, R₀, vacunación, confinamiento, mascarillas) para contener el brote.
- Completar la misión con la estrategia más eficiente posible.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.