Objetivos didácticos
¿Por qué un leopardo tiene manchas y una cebra tiene rayas? No es azar: es matemática. Este lab de bachillerato recorre el modelo de reacción-difusión de Turing (implementado con las ecuaciones de Gray-Scott) y demuestra que dos sustancias que se difunden e interactúan a distintas velocidades bastan para generar, desde cero, los patrones que cubren la piel de los animales. A lo largo de las salas los alumnos aprenderán a crear patrones manejando los parámetros de la reacción física y terminarán pintando siluetas de animales reales.
Qué se aprende
La intuición de que reglas locales sencillas producen estructuras globales complejas, controlando parámetros continuos en lugar de discretos.
- Bloque A (salas 1-5): se introduce la difusión 1D con slider, luego los tres regímenes cualitativos de Gray-Scott sin difusión (equilibrio, oscilación, extinción), y finalmente se combina reacción + difusión para ver emerger el patrón. La sala de asimetría muestra que el cociente de velocidades d = D_U/D_V debe superar un umbral crítico (~6) para que aparezca estructura.
- Bloque B (salas 6-8): el alumno ajusta f y k para generar exactamente manchas (leopardo, jirafa) o rayas (cebra, tigre, abeja). La sala de anisotropía añade el ángulo θ para orientar las rayas.
- Recapitulación (sala 9): combinar todos los controles sobre la silueta de cebra para generar rayas en ella.
- Bloque D (salas 10-12): extensiones — filotaxis (ángulo áureo 137.5° de la auxina), conchas marinas con el modelo de Gierer-Meinhardt (eje temporal = crecimiento), y embrión en expansión donde el dominio crece y el patrón se reorganiza dejando defectos (bifurcaciones, finales de raya).
Ideas matemáticas clave
- Ecuaciones de reacción-difusión de Gray-Scott: ∂U/∂t = D_U·∇²U − UV² + f(1−U) y simétricamente para V, con parámetros de alimentación f y decaimiento k.
- Inestabilidad de Turing: un estado homogéneo estable en reacción pura se vuelve inestable cuando se añade difusión asimétrica; condición necesaria D_V > D_U (el inhibidor difunde más rápido que el activador).
- Espacio de fases (f, k): regiones del plano que corresponden a manchas, rayas, laberintos, oscilaciones y extinción — exploradas visualmente en la simulación 2D.
- Ángulo áureo: el ángulo de 137.5° maximiza el empaquetamiento de espirales en girasoles, piñas y demás plantas. La difusión de auxina actúa como inhibidor lateral.
- Modelo de Gierer-Meinhardt (conchas): crecimiento en el tiempo produce el registro fósil del patrón fila a fila, reproduciendo géneros Conus, Oliva y otros.
- Defectos topológicos: cuando el dominio crece más rápido que el patrón se reorganiza, aparecen bifurcaciones y terminaciones de raya — los mismos defectos visibles en huellas dactilares.
Contenidos por salas
Sala 1 · Difusión: el café en la leche
Intuición visual de difusión: el alumno hace clic en la taza para soltar gotas de leche y observa cómo se dispersan solas. Un slider controla la velocidad de difusión. Es la base matemática de todo el laboratorio.
Tareas para el alumno
- Hacer clic en la taza para soltar gotas y observar cómo se esparcen.
- Mover el slider de velocidad y comparar difusión lenta vs. rápida.
Sala 2 · Reacción sin difusión: 3 destinos
Una única celda con las ecuaciones de Gray-Scott sin difusión. Al mover los parámetros f y k se alcanzan tres regímenes cualitativos: equilibrio estable, oscilación permanente o extinción de V.
Tareas para el alumno
- Explorar el plano (f, k) con los presets y observar cada régimen.
- Identificar en qué zona del plano aparece equilibrio, oscilación y extinción.
Sala 3 · Reacción + difusión = patrón
Comparación lado a lado: a la izquierda solo difusión (todo se mezcla uniformemente), a la derecha reacción más difusión. Las mismas semillas producen un patrón emergente solo cuando coexisten ambos procesos.
Tareas para el alumno
- Observar ambas simulaciones en paralelo y describir la diferencia.
- Pulsar reset varias veces y confirmar que el patrón siempre emerge en el lado derecho.
Sala 4 · La asimetría es clave
Si U y V difunden a la misma velocidad no aparece ningún patrón. El slider controla el cociente d = D_U/D_V; al superarlo hay un umbral crítico (≈ 6) a partir del cual emerge estructura. Al soltar el slider la simulación se re-siembra.
Tareas para el alumno
- Subir d lentamente hasta que aparezca el primer patrón.
- Anotar (o estimar) el valor umbral de d en el que emerge la estructura.
Sala 5 · Tu primera Gray-Scott
Exploración libre sobre la simulación 2D completa de Gray-Scott. Los mismos parámetros f y k del plano de fase producen paisajes muy distintos: manchas, rayas, burbujas, laberinto.
Tareas para el alumno
- Mover f y k libremente y registrar al menos tres patrones visualmente distintos.
- Intentar encontrar la zona que produce manchas y la que produce rayas.
Sala 6 · Diseña: manchas
Reto de diseño: encontrar f y k que generen manchas. Al lograr el patrón correcto se aplica a la galería de siluetas (leopardo, jaguar, jirafa) con textura tile a 0.3×, y se puede repintar.
Tareas para el alumno
- Ajustar f y k hasta que classifyPhase detecte manchas.
- Observar el mismo patrón proyectado sobre leopardo, jaguar y jirafa.
Sala 7 · Diseña: rayas
Reto de diseño: encontrar f y k que generen rayas. La galería muestra el patrón logrado sobre siluetas de cebra, tigre y abeja. La misma zona del plano (f, k) da las rayas de varios animales.
Tareas para el alumno
- Ajustar f y k hasta que classifyPhase detecte rayas.
- Comparar el aspecto de las rayas en la cebra vs. el tigre vs. la abeja.
Sala 8 · Anisotropía: orientar las rayas
Si la difusión es más rápida en una dirección, las rayas se alinean. Un slider controla el ángulo θ y otro la intensidad de la anisotropía; al moverlos las rayas rotan visiblemente.
Tareas para el alumno
- Mover θ de 0° a 180° y observar la rotación de las rayas.
- Encontrar el ángulo que produce rayas verticales y el que produce rayas horizontales.
Sala 9 · Capstone: pinta tu cebra
Desafío final: combinar f, k, anisotropía y ángulo θ para obtener rayas que encajen en la silueta de cebra (escalada ×1.6). La validación es cualitativa: ¿son rayas? ¿están orientadas? ¿cubren bien la silueta?
Tareas para el alumno
- Ajustar todos los parámetros hasta lograr rayas realistas sobre la cebra.
- Completar el checklist cualitativo de validación.
Sala 10 · Filotaxis y el ángulo áureo
Extensión botánica: la difusión de auxina en plantas genera la distribución en espiral de hojas y semillas. El ángulo áureo 137.5° da el empaquetamiento más denso; el alumno lo descubre variando el ángulo.
Tareas para el alumno
- Mover el ángulo de disposición y observar cómo cambia el patrón de puntos.
- Confirmar que 137.5° maximiza la cobertura y da la espiral de Fibonacci.
Sala 11 · Conchas marinas (reacción-difusión en la silueta)
Reacción-difusión de Gray-Scott corriendo dentro de la silueta de la concha: el patrón se siembra en el contorno y crece hacia dentro. Cada zona se tiñe según cuándo la alcanzó el frente (crema en el borde, marrón en el centro), como las líneas de crecimiento reales, con la textura de Turing superpuesta. Tres presets (f, k): laberinto (Conus textile), moteado (Conus marmoreus) y anillos.
Tareas para el alumno
- Probar los tres presets y relacionar cada textura con un tipo de concha.
- Ajustar f y k para encontrar otras texturas (manchas, laberinto, anillos).
Sala 12 · Embrión que crece
Si el dominio crece mientras se forma el patrón, las rayas se reorganizan dejando defectos (bifurcaciones y terminaciones). Pulsar "Crecer" resamplea U y V bilineal con factor 1.18 sin alterar f ni k, lo que imita el desarrollo embrionario real. Así se forman las huellas dactilares.
Tareas para el alumno
- Dejar que se forme un patrón estable y luego pulsar "Crecer" varias veces.
- Observar los defectos (bifurcaciones y finales de rayas) que aparecen con cada ciclo de crecimiento.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.