Дидактические цели
Дощатый пол с параллельными линиями на одинаковом расстоянии d и игла, которая падает, вращаясь, немного подпрыгивает и остаётся там, где упала; пересечения вспыхивают красным. Ученик роняет иглы (а потом согнутые куски и обруч) и считает, сколько линий они пересекают; в конце муравей делает то же самое в тёмной комнатке. В каждом зале ученик ставит перед опытом и потом проверяет, угадал ли. Каждый начинает с 10 Ᵽ; выигранная ставка прибавляет 5 Ᵽ, проигранная отнимает 3 Ᵽ. Во всех шести залах ставку решает длинная серия (от 100 до 3000 повторений), которая проигрывается сама, поэтому верное решение окупается.
Экранов с объяснениями почти нет: теория подаётся в виде задач, а в залах, где вводится новая идея (геометрическая вероятность, аддитивность ожидания, обруч, относительная частота, оценка по пропорции), есть короткая рамка с теорией. Каждый зал идёт по одному сценарию: ставка, несколько бросков вручную на паркете, серия, в которой среднее устанавливается на линии, и задачи на понимание (выбрать из вариантов, дополнить дробь, записать число), которые ведут от опыта к формуле. Всё обходится без интегралов. Залы расположены так, чтобы π не появлялось, пока оно не обосновано: первые три зала работают с числом 0,637 из первого зала, а откуда оно берётся, объясняет обруч в четвёртом.
Чему учимся
Лаб ведёт ученика от вопроса «сколько игл пересекают линию?» до понимания, почему появляется π и почему среднее число пересечений зависит только от длины.
- Видеть, что вероятность пересечения зависит от поворота иглы, пользоваться геометрической вероятностью (благоприятная мера, делённая на всю меру) и остаться с вопросом, откуда берутся 63,7 % (зал 1).
- Перейти от вопроса «пересекает или нет?» к подсчёту числа пересечений и увидеть, что среднее суммы равно сумме средних, даже если куски соединены; поэтому целая игла даёт столько же, сколько две половинки, а игла длины 2d — вдвое больше, то есть в среднем больше 1 пересечения (зал 2).
- Убедиться, что игла, согнутая уголком V, или проволока любой формы дают столько же пересечений в среднем, что и прямая той же длины (зал 3).
- Доказать формулу с помощью обруча, без интегралов, как это сделал Барбье: там впервые появляется π, а результат применяется к прямой игле (те самые 2/π из зала 1) и к квадратной рамке (зал 4).
- Использовать частоту пересечений для оценки π, читать оценку и с недоверием относиться к «слишком хорошим» результатам (зал 5).
- Применить ту же формулу наоборот и измерить площадь, считая пересечения, как муравьи-разведчицы, выбирающие гнездо, и узнать оценку по пропорции (чечевица, меченые рыбы) (зал 6).
Ключевые математические идеи
- Поворот важен: игла, лежащая поперёк линий, занимает по вертикали d и пересекает всегда; параллельная не занимает ничего и почти никогда не пересекает. Под 30° она занимает по вертикали d/2: пересекает с вероятностью (d/2)/d = 1/2. Это геометрическая вероятность: «наугад» означает равномерно, а вероятность равна благоприятной мере, делённой на всю меру (как ждать меньше 5 минут автобус, который приходит каждые 20: 5/20 = 1/4). При многих иглах доля пересёкших устанавливается на 63,7 %, а откуда это число, видно в зале 4.
- Ожидание аддитивно: кусок может пересечь 0, 1, 2… линии, и средние числа пересечений складываются. Кубик даёт в среднем 3,5; два кубика — 3,5 + 3,5 = 7; а у одного кубика верхняя и нижняя грани — 3,5 + 3,5 = 7, хотя они связаны (противоположные грани всегда дают в сумме 7). Половинка иглы (d/2) даёт вдвое меньше целой; две половинки — столько же, сколько целая, и склеенные уголком V дают то же: среднее суммы равно сумме средних, лежат куски порознь или соединены. Это линейность ожидания. Игла длины 2d даёт вдвое больше, 4/π ≈ 1,27: больше 1, значит, это уже не вероятность.
- Важна только длина: для любой фигуры длины ℓ среднее число пересечений равно 2ℓ/(πd) («лапша Бюффона», доказанная Барбье в 1860 году). Уголок V чаще прямой не пересекает ни одной линии (≈ 52 % против ≈ 36 %) и иногда пересекает две (≈ 16 %), и эти два эффекта компенсируют друг друга. Проволока длиной 3d любой формы даёт втрое больше, чем игла длины d; квадратная рамка со стороной d — 4 · 2/π = 8/π ≈ 2,55.
- Обруч всё доказывает: обруч радиуса d имеет высоту 2d, а линии идут через d, поэтому в эту высоту всегда попадают две линии, и каждая пересекает обруч дважды: всегда 4 пересечения, даже если обруч касается линии (2 + 1 + 1). Это согнутая игла длины 2πd. Если среднее число пересечений пропорционально длине, то каждая единица длины даёт 4/(2πd) = 2/(πd) пересечения. Прямая игла длины d даёт тогда d · 2/(πd) = 2/π ≈ 0,637 — результат Бюффона (1777), без интегралов, а поскольку она пересекает не больше одной линии, это её вероятность пересечения. Обруч радиуса d/2 всегда даёт 2 пересечения. Здесь впервые появляется π, и оно берётся из длины окружности.
- π как частота: если из N игл пересекают C, то C/N ≈ 2/π, откуда π ≈ 2 · N/C. Относительная частота приближается к вероятности, но не совпадает с ней, поэтому оценка π колеблется: при 3000 иглах — в сотых. Это метод Монте-Карло: случайность помогает вычислить число, но медленно, потому что ошибка убывает как 1/√N; на каждый новый знак нужно примерно в сто раз больше игл (сотни тысяч, чтобы верно получить 3,14).
- Лаццарини (1901) сообщил, что бросил 3408 игл длиной 5/6 от d и получил 355/113 = 3,1415929, шесть верных знаков. Для такой иглы π ≈ (5/3) · N/C, а N = 3408 = 213 · 16, C = 1808 = 113 · 16 даёт ровно 355/113: достаточно было записывать результаты и остановиться в нужный момент.
- Муравьи измеряют свой дом (Мэллон и Фрэнкс, 2000): разведчица Leptothorax albipennis дважды бродит без цели в темноте по комнатке-кандидату; при первом посещении она оставляет пахучий след длины L₁, а при втором, пройдя L₂, считает, сколько раз n его пересекла. На паркете на единицу площади приходится 1/d линии, и игла длины ℓ в среднем даёт (2/π) · ℓ · (1/d) пересечений; в комнатке «линия» — это след, L₁/A на единицу площади, поэтому среднее число пересечений равно 2L₁L₂/(πA). Измеряется площадь, а не ширина: при вдвое большей площади пересечений вдвое меньше (в лабе около 12,8 за посещение в комнатке 60 × 40 мм и 6,4 в комнатке 80 × 60 мм, по 22 см за посещение). Это оценка по пропорции, как чечевица в мешке или рыбы в озере (метят 50, ловят 40, и 8 с меткой: около 250 рыб). Если между посещениями заменить половину пола чистым, муравей пересекает след вдвое реже и решает, что комнатка вдвое больше: с такой уловкой колонии выбирали комнатку вдвое меньшего размера 8 раз из 20, а без неё почти никогда (1 из 16).
Уровень: ESO и бахильерато (от 4-го класса ESO, 15 лет). Это короткий лаб серии по вероятности, рядом с «Вероятностью», «Ожиданием» и «Монти Холлом»; зал 2 использует идею о том, что ожидания складываются. На уроке хорошо проецировать на весь класс зал 1, предлагая классу сделать ставку до того, как упала хоть одна игла, и оставить вопрос, что это за 63,7 %; больше всего удивляет и отвечает на него зал 4, где обруч всегда пересекает линии 4 раза; зал 5 подходит, чтобы сравнить оценки π у разных групп и обсудить случай Лаццарини, а зал 6 показывает формулу за пределами математики.
Содержание по залам
Зал 1 · Игла
Граф Бюффон предложил эту игру в 1777 году: дощатый пол с параллельными линиями на расстоянии d и игла длины d, которая падает на него, вращаясь. Ставка: какая доля игл пересечёт линию (меньше половины, от половины до трёх четвертей или больше трёх четвертей)? Вручную роняют 8 игл со счётчиком «Пересекают: c из n», а ставку решает серия из 300 игл. Затем рамка с теорией о геометрической вероятности: когда исходы нельзя перечислить, «наугад» означает равномерно, а вероятность равна благоприятной мере, делённой на всю меру (пример с автобусом, который приходит каждые 20 минут: ждать меньше 5 минут — это 5/20 = 1/4). Игла, лежащая поперёк линий, занимает по вертикали d и пересекает всегда; параллельная не занимает ничего и почти никогда не пересекает; под 30° она занимает по вертикали d/2 и пересекает с вероятностью 1/2. Здесь π не появляется: зал заканчивается серией, установившейся почти на двух иглах из трёх (63,7 %, если игл гораздо больше), и вопросом, что это за процент и откуда он берётся, — на него отвечают следующие залы.
Задания для ученика
- Поставить на то, какая доля игл пересечёт линию.
- Выбрать, какие иглы пересекают линию чаще (те, что падают поперёк линий).
- Записать вероятность того, что игла под 30° пересечёт линию (1/2).
Зал 2 · Две половинки иглы
Теперь спрашиваем не о том, пересекает ли игла линию, а о том, сколько всего пересечений: кусок может пересечь 0, 1, 2 линии или больше. Игла длины d сравнивается с двумя половинками длины d/2, каждая из которых падает сама по себе. Ставка: что даёт в среднем больше пересечений — целая игла, две половинки или одинаково? Вручную играют 4 броска (в каждом падает целая игла, а затем две половинки на тот же пол), со счётчиком пересечений каждой; ставку решает серия из 3000 бросков каждой, и если средние различаются меньше чем на 0,05, они считаются равными. Затем рамка с теорией: ожидание — это то, что выходит в среднем при многих повторениях (кубик даёт 3,5), и оно аддитивно: ожидание суммы равно сумме ожиданий (два кубика, 3,5 + 3,5 = 7), даже если слагаемые связаны (у одного кубика верхняя и нижняя грани дают в среднем 3,5 + 3,5 = 7, и действительно противоположные грани всегда дают в сумме 7). Целая игла — это две склеенные половинки, поэтому она даёт столько же, сколько две отдельные. Число π ещё не появляется: используется 0,637 из первого зала. Зал заканчивается тем, что среднее число пересечений пропорционально длине.
Задания для ученика
- Поставить на то, что даёт в среднем больше пересечений: целая игла, две половинки или одинаково.
- Выбрать, почему целая игла даёт в среднем столько же пересечений, сколько две отдельные половинки (это две склеенные половинки, и каждая склеенная пересекает в среднем столько же, сколько отдельная).
- Выбрать, сколько пересечений в среднем даёт игла длины 2d (около 1,27: вдвое больше; больше 1, значит, это уже не вероятность).
Зал 3 · Согнутая игла
Прямая игла длины d против такой же длины, согнутой уголком V, с двумя звеньями по d/2. Прямая пересекает не больше одной линии; уголок может пересечь две. Ставка: что даёт в среднем больше пересечений — прямая, уголок или одинаково? Вручную играют 4 броска, со счётчиком пересечений каждой и числа случаев, когда уголок пересекает две линии, а ставку решает серия из 3000 бросков каждой (если средние различаются меньше чем на 0,05, они считаются равными). В этом зале нет рамки с теорией, потому что идея та же, что в предыдущем. Затем таблица с долями бросков с 0, 1 и 2 пересечениями: уголок чаще не пересекает ничего (≈ 52 % против ≈ 36 %) и иногда пересекает две линии (≈ 16 %), и эти два эффекта компенсируют друг друга. Уголок — это две склеенные половинки иглы, и каждая в среднем пересекает столько же, сколько отдельная. Проволока длиной 3d, скрученная как угодно, даёт втрое больше, чем прямая игла длины d; это «лапша Бюффона»: среднее число пересечений зависит только от длины.
Задания для ученика
- Поставить на то, что даёт в среднем больше пересечений: прямая, уголок или одинаково.
- Объяснить, как прямая и уголок могут давать одинаково (уголок чаще не пересекает ничего, и это компенсирует его двойные пересечения).
- Выбрать, сколько пересечений в среднем даёт проволока длиной 3d любой формы (втрое больше прямой иглы длины d).
Зал 4 · Обруч всё доказывает
Вместо иглы — обруч: окружность радиуса d, равного расстоянию между линиями; это игла, согнутая в круг. Ставка: сколько раз он пересечёт линии, когда упадёт (зависит от падения, от 2 до 4; всегда 4; или всегда 2)? Вручную роняют 5 обручей со счётчиком пересечений каждого, и они же решают ставку, без серии, потому что случайность тут ни при чём: всегда выходит 4. Высота обруча 2d, а линии идут через d, поэтому в эту высоту всегда попадают две линии, и каждая пересекает его дважды; даже если обруч касается одной из линий, получается 2 + 1 + 1 = 4. Затем рамка с теорией: обруч — это согнутая игла длины 2πd, дающая 4 пересечения, поэтому каждая единица длины в среднем даёт 4/(2πd) = 2/(πd) пересечения, и именно так входит π — из длины обруча; если игла пересекает не больше одной линии, её среднее число пересечений — это вероятность пересечения. Это доказательство Барбье (1860), без интегралов; Бюффон получил результат в 1777 году с помощью интегралов.
Задания для ученика
- Поставить на то, сколько раз пересечёт линии обруч радиуса d.
- Выбрать, сколько раз пересекает линии обруч радиуса d/2 (всегда 2: внутри него всегда одна линия).
- Вычислить среднее число пересечений прямой иглы длины d (d · 2/(πd) = 2/π ≈ 0,637, те самые 63,7 % из первого зала).
- Вычислить среднее число пересечений квадратной рамки со стороной d (4 · 2/π = 8/π ≈ 2,55).
Зал 5 · π падает с неба
После обруча известно, что линию пересекают 2/π игл длины d, и этим можно воспользоваться наоборот, чтобы вычислить π подсчётом: при N иглах и C пересечениях C/N ≈ 2/π. Ставка: где окажется оценка π при 3000 иглах (ниже 3,0, от 3,0 до 3,3 или выше 3,3)? Вручную роняют 6 игл со счётчиком «игл», «пересекают» и «π ≈», а ставку решает серия из 3000 игл, оценка которой рисуется на графике, где π — пунктирная линия. Затем рамка с теорией об относительной частоте: она приближается к вероятности, но не совпадает с ней, и позволяет оценить величину, входящую в вероятность (пример с дротиками, брошенными в квадрат со стороной 2 с кругом радиуса 1: π/4, а 785 из 1000 дают π ≈ 3,14). Выражая, получаем π ≈ 2 · N/C. В 1901 году Лаццарини сообщил о 3408 иглах (длиной 5/6 от d) и 355/113 = 3,1415929, шесть верных знаков: для такой иглы π ≈ (5/3) · N/C, а 3408 и 1808 — это 213 и 113, умноженные на 16, так что он остановился ровно тогда, когда счёт дал 355/113. При 3000 иглах оценка колеблется в сотых: на каждый новый знак нужно примерно в сто раз больше игл. Это первый метод Монте-Карло.
Задания для ученика
- Поставить на то, где окажется оценка π при 3000 иглах.
- Выразить π из C/N ≈ 2/π (π ≈ 2 · N/C).
- Решить, что вероятнее всего в опыте Лаццарини (он остановился ровно тогда, когда счёт дал 355/113).
- Выбрать, сколько игл нужно, чтобы почти наверняка получить два знака (сотни тысяч).
Зал 6 · Муравьи измеряют свой дом
Муравьи Leptothorax albipennis живут в плоских трещинах скал. Когда колония переселяется, разведчица входит в темноте в комнатку-кандидата, которую видно сверху, и бродит по ней без цели, от стенки к стенке: при первом визите она оставляет пахучий след, а при втором считает, сколько раз пересекает этот след (Мэллон и Фрэнкс, 2000). Так она измеряет площадь пола, а не ширину. Две комнатки: одна 60 × 40 мм, другая вдвое большей площади (80 × 60 мм), и за визит муравей проходит 22 см. Ставка: в большой пересечений будет вдвое больше, столько же или вдвое меньше? Вручную смотрят 2 обхода в обеих комнатках, где пересечения вспыхивают, а ставку решают 100 визитов в каждую (около 12,8 пересечения за визит в малой и 6,4 в большой). Затем рамка с теорией: чтобы оценить общее количество, которое нельзя сосчитать, используют пропорцию (пример с чечевицей в мешке весом 3 кг: 100 штук весят 6 г, значит, их около 50 000). Это игла Бюффона: на паркете на единицу площади приходится 1/d линии, и игла длины ℓ в среднем даёт (2/π) · ℓ · (1/d) пересечений; в комнатке «линия» — это первый след длины L₁ на площади A, и среднее число пересечений равно 2L₁L₂/(πA). Это видно на другом примере пропорции — отлове и повторном отлове рыб: метят 50, ловят 40, и 8 с меткой, значит, рыб около 250. Наконец, подвох опыта: если половину пола заменить чистым, разведчица пересекает след вдвое реже и решает, что комнатка вдвое больше; с такой уловкой колонии выбирали комнатку вдвое меньшего размера 8 раз из 20, а без неё почти никогда (1 из 16).
Задания для ученика
- Поставить на то, сколько раз муравей пересечёт свой след в комнатке вдвое большей площади.
- Выбрать, почему он пересекает след вдвое реже (тот же след на вдвое большей площади вдвое менее плотный).
- Выбрать формулу среднего числа пересечений 2L₁L₂/(πA), исходя из формулы для паркета.
- Оценить, сколько рыб в озере, если помечено 50, а в улове из 40 с меткой 8 (около 250).
- Предсказать, какой вывод сделает разведчица, если между визитами половину пола заменить чистым (что комнатка вдвое больше).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.