Дидактические цели
Узнавать функцию по её графику, строить его от руки по неизменному методу и читать на рисунке, что происходит с функцией рядом со «сложной» точкой или когда x уходит в бесконечность. Рассчитан на старшую школу и университет; предполагается, что ученик уже знаком с производной (лаборатория derivada) и использует её здесь как один из инструментов, а не как предмет изучения.
Чему учит лаборатория
Путь идёт от восприятия (узнать семейство с первого взгляда) к процедуре (построить график по методу) и завершается понятиями (пределы и непрерывность). Пределы сначала считываются с графика — точку подводят с каждой стороны или отдаляют вид, — а затем вычисляются вручную в коротких алгебраических заданиях: подставить значение, если функция непрерывна, разложить на множители и сократить неопределённость 0/0, сравнить степени на бесконечности.
- Залы 1–5: повторение семейств функций — многочлены (квадратичная → кубическая), дробно-рациональные (гипербола и её сдвиги), показательная и логарифмическая, чётные и нечётные функции, тригонометрические (синус, косинус, тангенс, арксинус, арктангенс) — с их областью определения, областью значений, ростом или симметрией и несколькими заданиями на узнавание в каждом зале.
- Зал 6: зал-мост, где семейства собраны вместе на восьми графиках и нужно их классифицировать перед тестом.
- Залы 7–8: тест на узнавание между семействами — от графика к формуле (6 вариантов) и от формулы к графику (4 варианта).
- Залы 9–14: метод построения графика (область определения, точки пересечения с осями, знак, рост и экстремумы через f′, отдельные точки, поведение на бесконечности), объяснённый один раз и применённый к каждому семейству на пустых осях, с отметкой найденных точек на плоскости; в конце — итоговое задание с меньшим количеством подсказок для функции, выбранной случайно.
- Залы 15–21: пределы и разрывы — предел в точке и непрерывность кусочной функции, разрыв скачком (с односторонней непрерывностью), бесконечный разрыв (вертикальная асимптота), устранимый разрыв (дырка) с пределом, вычисленным через разложение на множители, пределы на бесконечности для отношения многочленов, задание на классификацию разрывов, которое заканчивается случаем без графика, и итоговое чтение графика без формулы, где собраны все явления.
Ключевые математические идеи
- У каждого семейства функций есть характерный «силуэт»: форма кривой, область определения и область значений — первая подсказка для узнавания без вычислений.
- Функция чётная, если f(−x) = f(x) (график симметричен относительно оси Y), и нечётная, если f(−x) = −f(x) (симметричен относительно начала координат); многие функции не являются ни теми, ни другими.
- Построение графика функции от руки всегда следует одной и той же процедуре: область определения → точки пересечения с осями → знак f → рост/убывание и экстремумы (знак f′) → отдельные точки → поведение на бесконечности.
- Знак f′ показывает, где функция растёт (f′>0), а где убывает (f′<0); экстремумы находятся там, где f′ равна нулю или не существует, но одного равенства нулю мало: f′ должна сменить знак.
- Предел функции в точке — это значение, к которому она стремится с обеих сторон; если функция непрерывна, достаточно подставить значение. Если односторонние пределы конечны, но не совпадают, это разрыв скачком.
- Бесконечный разрыв возникает, когда функция уходит в ±∞ рядом с точкой (вертикальная асимптота); устранимый разрыв — когда предел существует, но функция не определена (или принимает другое значение) именно в этой точке — «дырка» на графике. То, что числитель и знаменатель обращаются в ноль одновременно, ещё не определяет тип разрыва: нужно сократить дробь и посмотреть, не остался ли в знаменателе множитель, обращающийся в ноль.
- Пределы на бесконечности описывают поведение функции, когда x неограниченно растёт или убывает: отношение многочленов одной степени стремится к отношению старших коэффициентов (горизонтальная асимптота), а если степень числителя больше, функция уходит в бесконечность.
Содержание по залам
Зал 1 · Семейства: многочлены
Повторение квадратичных и кубических функций по двум графикам с пояснениями: f(x) = 0,55x^2 − 2 (область определения ℝ, область значений [−2, ∞), один минимум) и f(x) = 0,3x^3 − 1 (область определения и область значений ℝ, всегда возрастает; у других кубических функций есть участок убывания между двумя экстремумами). Затем шесть заданий с выбором ответа по двум новым графикам: определить семейство параболы, ветви которой направлены вниз, её область значений ((−∞, 3]) и область определения (ℝ); узнать кубическую функцию и её область значений (ℝ); и в завершение найти точки пересечения −0,6x^2 + 3 с осью X (x = ±√5). У каждого неверного ответа своя подсказка.
Задания для ученика
- Узнать квадратичную функцию и указать её область значений ((−∞, 3]) и область определения (ℝ).
- Узнать кубическую функцию и указать её область значений (ℝ).
- Найти точки пересечения −0,6x^2 + 3 с осью X (x = ±√5).
Зал 2 · Семейства: дробно-рациональные функции
Гипербола y = 4/x (k положительно: I и III четверти; область определения ℝ\{0}, полюс в начале координат) и её сдвинутый вариант (ax + b)/(cx + d) с нулём в x = −b/a, вертикальной асимптотой x = −d/c и горизонтальной y = a/c. Задания по f(x) = (2x + 6)/(4x − 8): область определения (ℝ\{2}), вертикальная асимптота (x = 2) и горизонтальная (y = 0,5). Затем нужно узнать уравнение гиперболы во II и IV четвертях (−12/x) и выбрать из четырёх дробно-рациональных функций ту, у которой горизонтальная асимптота y = 3 ((3x + 1)/(x − 2)). Подсказки отделяют нуль функции от вертикальной асимптоты и напоминают, что вертикальная асимптота записывается как x = …, а горизонтальная — как y = ….
Задания для ученика
- Указать область определения и асимптоты (2x + 6)/(4x − 8) (ℝ\{2}, x = 2, y = 0,5).
- Выбрать уравнение гиперболы во II и IV четвертях (−12/x).
- Выбрать дробно-рациональную функцию с горизонтальной асимптотой y = 3.
Зал 3 · Семейства: показательная и логарифмическая функции
Показательная функция 2^x (область определения ℝ, область значений (0, ∞), проходит через (0, 1), горизонтальная асимптота y = 0) и логарифм log₂(x), обратная к ней функция (область определения (0, ∞), область значений ℝ, проходит через (1, 0), вертикальная асимптота x = 0); от основания зависит, возрастают они или убывают. Шесть заданий: узнать показательную функцию (1,5^x) и указать её область определения (ℝ) и область значений ((0, ∞)); узнать логарифм (по основанию 3) и его область определения ((0, ∞)); и указать область определения log₂(x − 3), то есть (3, ∞).
Задания для ученика
- Узнать показательную функцию и указать её область определения и область значений.
- Узнать логарифм и указать его область определения.
- Указать область определения log₂(x − 3) ((3, ∞)).
Зал 4 · Чётные и нечётные функции
Два определения, у каждого свой пример: чётная, если f(−x) = f(x), график симметричен относительно оси Y (x^2); нечётная, если f(−x) = −f(x), график симметричен относительно начала координат (x^3). Задания: отметить среди четырёх графиков все чётные (x^2 и cos x) и все нечётные (x^3 и sin x); решить, какой будет произведение чётной и нечётной функций (нечётным); классифицировать x^3 + 1 (ни чётная, ни нечётная); и найти f(0), если f нечётная и определена в 0 (f(0) = 0).
Задания для ученика
- Отметить чётные графики (x^2, cos x) и нечётные (x^3, sin x).
- Решить, каким будет произведение чётной и нечётной функций (нечётным).
- Классифицировать x^3 + 1 (ни чётная, ни нечётная).
- Найти f(0) для нечётной функции, определённой в 0 (0).
Зал 5 · Семейства: тригонометрические функции
Пять графиков с пояснениями: синус и косинус (ограничены от −1 до 1, период 2π; синус нечётный, косинус чётный), тангенс (период π, вертикальные асимптоты в точках π/2 + kπ), арксинус (область определения [−1, 1]) и арктангенс (область определения ℝ, область значений (−π/2, π/2)). Задания: узнать по графику синус, косинус и тангенс; решить, что синус нечётный; выбрать функцию, которая всё ближе подходит к значению, но никогда его не достигает (арктангенс); и найти период sin(3x) (2π/3).
Задания для ученика
- Узнать по графику синус, косинус и тангенс.
- Решить, чётный синус или нечётный (нечётный).
- Выбрать функцию, которая приближается к значению, не достигая его (арктангенс).
- Найти период sin(3x) (2π/3).
Зал 6 · Узнайте семейство
Переходный зал перед тестом: восемь графиков, по одному из каждого семейства (квадратичная, кубическая, дробно-рациональная, показательная, логарифмическая, синус, косинус и тангенс), в случайном порядке и в разных вариантах. Для каждого нужно выбрать семейство из шести вариантов; если ответ — синус, среди вариантов всегда есть косинус, и наоборот, а подсказка обращает внимание на то, проходит ли кривая через начало координат. Завершает зал обобщающее задание: какое семейство может одновременно иметь вертикальную и горизонтальную асимптоты (дробно-рациональное).
Задания для ученика
- Определить семейство восьми графиков.
- Выбрать семейство, у которого могут быть одновременно вертикальная и горизонтальная асимптоты (дробно-рациональное).
Зал 7 · Тест: от графика к формуле
Восемь раундов, выбранных случайно из банка в тринадцать функций: показан график, и нужно выбрать формулу из шести. Отвлекающие варианты берутся из других семейств или из того же с одним изменением (знак, основание, котангенс вместо тангенса…), и у каждого своя подсказка. В последнем раунде все варианты — одна и та же парабола, сдвинутая по-разному, поэтому узнать семейство мало: нужно прочитать вершину и выбрать −(x − 1)^2 + 2.
Задания для ученика
- Выбрать формулу для восьми графиков.
- Прочитать вершину сдвинутой параболы и выбрать −(x − 1)^2 + 2.
Зал 8 · Тест: от формулы к графику
Наоборот по сравнению с прошлым залом: дана формула, и нужно выбрать график из четырёх, в восьми случайных раундах. Если формула тригонометрическая, среди вариантов есть и другие тригонометрические графики, чтобы не хватало одного того, что кривая волнистая. После третьей ошибки в раунде показывается ответ. Последний раунд — 1/(x − 2) + 1 против трёх сдвигов той же гиперболы, у каждого своя подсказка.
Задания для ученика
- Выбрать график для восьми формул.
- Найти 1/(x − 2) + 1 среди сдвигов той же гиперболы.
Зал 9 · Метод построения графика функции
Шесть шагов метода, по одному на экран, на примере f(x) = x^3 − 3x: область определения, точки пересечения с осями (0 и ±√3), знак, рост и экстремумы через f′ (максимум в (−1, 2), минимум в (1, −2)), отдельные точки и поведение на бесконечности; на графике отмечается то, что найдено на каждом шаге. Затем три задания: на каком шаге используется производная (на 4-м), где обращается в нуль производная g(x) = x^3 − 12x (x = ±2) и гарантирует ли f′(a) = 0 максимум или минимум (нет: нужно, чтобы f′ меняла знак, как показывает x^3 в нуле).
Задания для ученика
- Пройти шесть шагов метода на примере x^3 − 3x.
- Сказать, на каком шаге используется производная (на 4-м).
- Найти, где обращается в нуль производная x^3 − 12x (x = ±2).
- Решить, гарантирует ли f′(a) = 0 экстремум (не всегда).
Зал 10 · Постройте график: многочлен
Метод применяется к g(x) = x^3 − 3x^2 на пустых осях: кривая рисуется только в конце. Ученик по порядку отвечает: область определения (ℝ) и точка пересечения с осью Oy ((0, 0)), которую он затем ставит щелчком на плоскости; отмечает точки пересечения с осью Ox среди нескольких кандидатов (x = 0 и x = 3); находит, где обращается в нуль g′(x) = 3x^2 − 6x (x = 0 и x = 2), и решает, что находится в x = 2 (минимум); вычисляет g(2) = −4 и ставит эту точку. В конце рисуется полный график с отмеченными находками.
Задания для ученика
- Указать область определения и точку пересечения с Oy и поставить её на плоскости.
- Отметить точки пересечения с Ox (x = 0 и x = 3).
- Найти нули g′ (x = 0 и x = 2) и классифицировать x = 2 (минимум).
- Вычислить g(2) (−4) и поставить минимум.
Зал 11 · Постройте график: дробно-рациональная функция
Метод применяется к h(x) = (−x − 1)/(x + 2), тоже на пустых осях: область определения (ℝ\{−2}), точка пересечения с осью Ox ((−1, 0), её ставят на плоскости), горизонтальная асимптота (y = −1) и то, куда уходит h сразу справа от полюса (+∞), если отдельно посмотреть на знаки числителя и знаменателя. В конце появляется полный график.
Задания для ученика
- Указать область определения (ℝ\{−2}).
- Найти и поставить точку пересечения с Ox ((−1, 0)).
- Указать горизонтальную асимптоту (y = −1).
- Решить, куда уходит h сразу справа от x = −2 (+∞).
Зал 12 · Постройте график: показательная и логарифмическая функции
Метод применяется к k(x) = 2^x − 1: область определения (ℝ), точка пересечения с осью Oy ((0, 0), её ставят на плоскости), к чему стремится k при x → −∞ (к −1, горизонтальная асимптота) и есть ли у неё максимумы или минимумы (нет, она возрастает: производная показательной функции никогда не обращается в нуль). Экстремумов нет, и форму графика задаёт асимптота.
Задания для ученика
- Указать область определения и поставить точку пересечения с Oy ((0, 0)).
- Указать предел при x → −∞ (−1).
- Решить, есть ли у k экстремумы (нет).
Зал 13 · Постройте график: тригонометрическая функция
Метод применяется к m(x) = sin(x) на [0, 2π]: область определения (ℝ), точки пересечения с осью Ox (0, π и 2π, их ставят на плоскости), нули m′(x) = cos(x) (π/2 и 3π/2) и что находится в π/2 (максимум, его тоже ставят). На итоговом графике отмечен также минимум в 3π/2.
Задания для ученика
- Указать область определения (ℝ).
- Найти и поставить точки пересечения с Ox на [0, 2π] (0, π, 2π).
- Найти нули производной (π/2 и 3π/2).
- Классифицировать и поставить точку при x = π/2 (максимум).
Зал 14 · Итоговое задание
Весь метод на функции, которая выпадает случайно из четырёх, по одной на семейство: −x^3 + 3x, −2/(x − 1), 3^x − 4 или cos(x). На каждую функцию три вопроса, с меньшей подсказкой, чем в прошлых залах (область определения или значений, точки пересечения, нули производной, асимптоты или поведение у полюса); в трёх из четырёх вариантов нужно ещё поставить точку на плоскости. В конце рисуется полный график.
Задания для ученика
- Применить метод к выпавшей функции.
- Поставить на плоскости нужные точки (экстремум или точки пересечения).
Зал 15 · Предел в точке: приближение с двух сторон
Два ползунка, красный и зелёный, подводят одну точку к x = 1 слева, а другую справа на графике f(x) = x^2 − x + 1 и показывают значение f в каждой. Когда обе доходят, появляется вывод: оба односторонних предела совпадают с f(1), значит, функция непрерывна в x = 1. Задания: предел x^2 − x + 1 при x → 2 (3, подстановкой, раз функция непрерывна) и значение a, при котором непрерывна в x = 1 функция, равная x^2 − x + 1 при x < 1 и 2x + a при x ≥ 1 (a = −1).
Задания для ученика
- Подвести обе точки к x = 1 и сравнить односторонние пределы с f(1).
- Найти предел x^2 − x + 1 при x → 2 (3).
- Найти значение a, при котором кусочная функция непрерывна (−1).
Зал 16 · Разрыв скачком
Кусочная функция: x + 1 слева от 1 и x − 1 справа, с выколотой точкой (1, 2) и закрашенной (1, 0). Четыре вопроса подряд: предел слева (2), предел справа (0), существует ли предел в x = 1 (нет, они не совпадают) и непрерывна ли f справа в x = 1 (да: f(1) совпадает с пределом справа). В конце дано определение: конечные, но разные односторонние пределы — это разрыв скачком.
Задания для ученика
- Прочитать оба односторонних предела в x = 1 (2 и 0).
- Решить, существует ли предел (нет).
- Решить, непрерывна ли f справа в x = 1 (да).
Зал 17 · Бесконечный разрыв
f(x) = 1/(x − 2) на двух панелях с проведённой асимптотой: один ползунок подводит точку слева, другой справа, а вертикальная ось перемасштабируется, следуя за ними к −∞ и к +∞. Сначала нужно выбрать, что происходит с f(x) около 2 (уходит в бесконечность: вертикальная асимптота); затем — предел слева (−∞) и какая из четырёх функций имеет бесконечный разрыв в x = 3 (1/(x − 3)^2; из остальных две сокращаются и оставляют лишь дырку, а у третьей полюс в −3).
Задания для ученика
- Подвести точки с двух сторон и описать, что происходит с f.
- Указать предел слева в x = 2 (−∞).
- Выбрать функцию с бесконечным разрывом в x = 3 (1/(x − 3)^2).
Зал 18 · Устранимый разрыв
f(x) = (x^2 − 4)/(x − 2), формула видна, и два ползунка подводят точки к дырке в x = 2. Вопросы: определена ли f(2) (нет) и существует ли предел при x → 2 (да, он равен 4, хотя f(2) не существует). Вывод: достаточно определить f(2) = 4, чтобы закрыть дырку. Третье задание, вручную: предел (x^2 − 3x + 2)/(x − 1) при x → 1 через разложение на множители и сокращение (−1).
Задания для ученика
- Решить, определена ли f(2) (нет).
- Решить, существует ли предел в x = 2, и указать его (4).
- Найти предел (x^2 − 3x + 2)/(x − 1) при x → 1 (−1).
Зал 19 · Пределы на бесконечности
f(x) = (2x + 1)/(x − 1) с ползунком охвата, который отдаляет вид от x = ±5 до x = ±400; прямая y = 2 проведена пунктиром. Ученик вписывает, к какому значению стремится f(x) при x → ±∞ (2), и появляется название: горизонтальная асимптота. Задания: предел (3x − 5)/(6x + 1) на +∞ (1/2, отношение коэффициентов при x, когда степени числителя и знаменателя равны) и предел (x^2 + 1)/(x − 1) (+∞, потому что степень числителя больше).
Задания для ученика
- Отдалить вид и вписать, к чему стремится f(x) (2).
- Найти предел (3x − 5)/(6x + 1) на +∞ (1/2).
- Найти предел (x^2 + 1)/(x − 1) на +∞ (+∞).
Зал 20 · Классифицируйте разрыв
Три графика в случайном порядке — скачок, вертикальная асимптота и дырка, — которые нужно отнести к разрыву скачком, бесконечному или устранимому. Последний случай без графика: f(x) = (x^2 − 4)/(x^2 − 4x + 4) в x = 2. Он кажется устранимым, потому что множитель (x − 2) сокращается, но в знаменателе (x − 2)^2, и один множитель остаётся внизу: разрыв бесконечный.
Задания для ученика
- Классифицировать три разрыва по графикам.
- Без графика классифицировать разрыв (x^2 − 4)/(x^2 − 4x + 4) в x = 2 (бесконечный).
Зал 21 · Прочитайте график: всё вместе
Кусочная функция, нарисованная без формулы, собирает весь блок: вертикальная асимптота в x = −2, скачок в x = 1, дырка в x = 4, горизонтальная асимптота y = 3, относительный максимум в x = −8 и относительный минимум в x = −5. Ученик находит каждое явление, выбирая из четырёх значений, без всяких вычислений, а в конце считает, в скольких точках функция разрывна (в 3: экстремумы и горизонтальная асимптота кривую не разрывают).
Задания для ученика
- Найти вертикальную асимптоту, скачок и дырку (x = −2, 1 и 4).
- Указать горизонтальную асимптоту (y = 3).
- Найти относительные максимум и минимум (x = −8 и x = −5).
- Посчитать точки разрыва (3).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.