Дидактические цели
Университетская лаборатория о численном решении уравнений, построенная вокруг единственного вопроса, который не отпускает ни один зал: хочу решить это уравнение и хочу сделать это дёшево.
Порядок здесь не топологический — определение, теорема, приложения, — а тот, в каком с задачей сталкиваются на деле. Первый зал ничего не объясняет: он показывает уравнение x² = 2cos 3x + 5, пустую таблицу и поле для ввода значений. Ни графика, ни начального отрезка, ни подсказок — ровно та ситуация, в которой оказывается человек, наткнувшийся на уравнение, которое не умеет решать. Цель — опуститься ниже 1 % ошибки за десять проб, и она откалибрована так, что при дисциплинированной стратегии это удаётся ровно за десять: зал по-настоящему жмёт, и именно эта досада делает так, что деление пополам в зале 3 воспринимается как облегчение, а не как ещё одна процедура для заучивания.
С зала 4 — когда деление пополам уже построено — всё измеряется в одной единице, одно вычисление функции, и каждый появляющийся метод заполняет карточку с тремя графами: какие условия требует, что сжимает и во сколько раз за одно вычисление. Зал 15 показывает карточку целиком, посчитанную вживую прогоном каждого метода по каждому уравнению.
Лаборатория сталкивает два метода, и только два: деление пополам и Ньютона. Один требует почти ничего и не может провалиться; другой требует многого и летит. Всё остальное — плоскость, теорема Банаха, паутина, параметр релаксации — нужно, чтобы объяснить, почему выигрывает второй и чем за это платят.
Три уравнения
Вся лаборатория держится на трёх уравнениях, возвращающихся во всех залах, чтобы сравнение методов что-то значило:
x² = 2cos 3x + 5(корень 2,446382). Главное. Замкнутой формулы нет, но правая часть живёт в [3; 7], так что отрезок можно сузить рассуждением, не потратив ни одного вычисления.ln x = 3 − x(корень 2,207940). Два очевидных способа выразить x дают две итерации с противоположными исходами:3 − ln xсходится, аe^(3−x)нет.x² = x + 1(золотое сечение). Единственное с точным решением, и потому служит эталоном для настоящего измерения ошибки.
Чему учит
- Превращать слепые пробы в метод, узнавая, что то, что делаешь по наитию — ищешь два значения с разностями разных знаков, — уже и есть деление пополам.
- Измерять стоимость метода в вычислениях функции, а не в «шагах»: это единственная единица, позволяющая сравнить два разных метода.
- Читать сжимаемость на плоскости, на фигуре, и знать, что константа должна годиться сразу для всех пар.
- Восстанавливать теорему Банаха по частям: скачки убывают геометрически, неравенство треугольника загоняет весь хвост в заранее вычислимый круг, неподвижная точка единственна.
- Переводить эту оценку в ε и N: потребовать расстояние и знать, с какого шага оно выполняется, не зная решения.
- Выбирать переписывание
x = g(x)по|g′|и изготавливать своё с параметром релаксации. - Ставить Ньютона на его место: не трюк, а тот член этого семейства, который выбирает лучший параметр в каждой точке, не нуждаясь в ответе.
- Знать, когда Ньютона использовать не следует: это единственный метод лаборатории, который может убежать, и студент должен сам найти стартовую точку, заставляющую его прыгнуть.
Ключевые математические идеи
- Единица измерения — часть результата. Метод судят по вычислениям функции, а не по «шагам»: Ньютон удваивает знаки на каждом шаге, но платит два вычисления за шаг, и именно эта бухгалтерия решает дело.
- Методы упорядочены по тому, что требуют знать заранее. Непрерывность плюс смена знака дают 0,5 за вычисление. Доказанная сжимаемость даёт ту C, какая есть. Производная плюс достаточно близкий старт дают квадратичную сходимость. Бесплатных обедов нет, и эта прогрессия — хребет лаборатории.
- Деление пополам не может провалиться и не может улучшиться — по одной и той же причине. Его множитель 1/2 не зависит от функции, потому что метод на функцию не смотрит: только на её знак.
- Сжатие — равномерное условие. На плоскости это видно лучше, чем на прямой: отображение, сплющивающее по горизонтали и растягивающее по вертикали, сближает большинство пар и всё же не является сжимающим, ведь одной расходящейся пары достаточно, чтобы никакой C < 1 не существовало.
- Оценка ошибки известна до старта.
C^m/(1−C)·d(x₀,x₁)требует лишь константы и первого скачка, оба измеримы с самого начала. Ни один другой метод лаборатории этого не даёт, а на плоскости это рисуется как круг, содержащий весь хвост пути. - Ньютон неизбежен, а не остроумен. В семействе
g_λ(x) = x − λ f(x)лучшее λ равно1/f′(x*)— и оно бесполезно, ведь требует знать решение. Пересчёт в точке, где стоишь,λₙ = 1/f′(xₙ), даёт в точности формулу Ньютона. Цена — второе вычисление за шаг. - Брауэр — противоположный конец от Банаха. Требует только непрерывности и даёт чистое существование: ни единственности, ни алгоритма, ни сходимости итерации.
Заметки для аудитории
- Лучше всего проецируются залы 1, 5, 12 и 15. Зал 1 можно играть всей группой, когда класс диктует значения: как только кто-то предложит сузить диапазон, пользуясь тем, что косинус не превышает 1, лаборатория уже сделала половину работы.
- Зал 5 (отображение, которое сплющивает и растягивает кошачью морду) запоминается сильнее всего. Попроси класс найти пару точек, расходящуюся сильнее всего, прежде чем что-либо говорить; типичная ошибка — искать её по горизонтали.
- Зал 7 объясняет себя сам, шаг за шагом зажигая на рисунке те расстояния, о которых говорит каждое неравенство. Стоит останавливать его на каждом шаге и просить класс предугадать следующий.
- Зал 12 — шарнир лаборатории, и на него стоит выделить время. Если студент находит окно λ слайдером до того, как увидит условие
|1 − λf′| < 1, формула Ньютона потом читается совершенно иначе. - Зал 15 закрывает тему: дай классу поставить на порядок до того, как таблица откроется, и задержись на строке с оптимальным λ, которое бьёт всех и бесполезно.
- Блок на плоскости (залы 5-8) можно дать отдельно как наглядное введение в теорему Банаха, без остальной лаборатории.
- Труднее всего залы 1 и 12. Первый — потому что нарочно досаждает; двенадцатый — потому что требует понять, что итерацию можно спроектировать, а не принимать какой досталась.
Содержание по залам
Зал 1 · На глаз
Вся лаборатория в миниатюре и без всякой помощи: написанное уравнение x² = 2cos3x + 5, пустая таблица и поле для ввода значений. Графика нет намеренно — с кривой перед глазами найти решение значит ткнуть пальцем, — нет ни начального отрезка, ни подсказок. Каждое проверенное значение добавляет строку с обеими сторонами, их разностью и относительной ошибкой, и подсвечивает лучшую попытку. Цель — опуститься ниже 1 % за десять проб, и всё откалибровано так, что при дисциплинированной стратегии это удаётся ровно за десять с холодного старта. На десятой без успеха появляется единственная подсказка, не стоящая ни одного вычисления, — правая часть живёт в [3;7], значит и x² тоже, — и пробовать можно дальше: зал никогда не запирает.
Задания для ученика
- Опуститься ниже 1 % ошибки за десять проб.
- Понять по колонке разности, какая стратегия на деле применялась.
Зал 2 · Запереть решение
Теорема, стоявшая за пробами: если f непрерывна и меняет знак между a и b, то между ними она обращается в нуль. По таблице значений f в пяти точках студент должен сказать, на каких отрезках Больцано гарантирует решение. Ловушка — последний, с двумя положительными концами и двумя решениями внутри: теорема их не видит, и это не делает её ложной. Она даёт гарантии, а не перепись.
Задания для ученика
- Отметить отрезки, где Больцано гарантирует решение.
- Отличить гарантию от наличия на отрезке-ловушке.
Зал 3 · Делить пополам
Метод следует прямо из прошлой теоремы. На тригонометрическом уравнении, запертом в [2;3], со знаками f под каждым концом и под серединой, студент шесть раз выбирает половину; выбор той, где смена знака не сохраняется, вызывает объяснение, почему решение осталось бы снаружи. Стопка полос делает сжатие наглядным. В конце — деталь, делающая метод конкурентоспособным: концы унаследованы, так что каждый разрез стоит одного вычисления.
Задания для ученика
- Шесть раз правильно выбрать половину со сменой знака.
- Определить, сколько новых вычислений стоит каждый разрез.
Зал 4 · Во что тебе это обошлось?
Устанавливается единица измерения всей лаборатории: одно вычисление функции, которое в настоящей задаче может быть многочасовой симуляцией. Только что сделанные пробы перерисовываются как ошибка против вычислений в логарифмической шкале рядом с прямой идеального деления пополам. Если записи проб нет, показывается типичная. В конце открывается карточка, которую будет заполнять каждый метод: какие условия требует, что сжимает и во сколько раз за вычисление.
Задания для ученика
- Сравнить собственную последовательность с идеальным делением пополам.
- Вычислить, сколько вычислений нужно делению пополам, чтобы [2;3] стал короче одной миллионной.
Зал 5 · Уходим с прямой
Открытие блока на плоскости: фигура, которая сжимается, читается с первого взгляда, а график — нет. Кошачья морда и её образ при T(v) = Av + b, где A = diag(0,5 · 1,3): сплющивает вдвое по горизонтали и растягивает на 30 % по вертикали. Две светящиеся перетаскиваемые точки измеряют отношение расстояний до и после, а показание запоминает наибольшее увиденное. Задача — исследовать и найти наибольшее возможное отношение, которое оказывается равным 1,3 при точках на одной вертикали. Только тогда появляется определение сжимающего отображения, где «для всех пар» уже выстрадано: это отображение сближает большинство пар и всё же сжимающим не является.
Задания для ученика
- Подвигать точки и найти наибольшее возможное отношение расстояний.
- Отметить, что верно об отображении, зная, что определение требует одной C меньше 1 для всех пар.
Зал 6 · Куда девается кот
Переходим к подобию, которое действительно сжимает: поворот на 30°, сжатие до 0,6 и сдвиг. Поскольку поворот и сдвиг расстояний не меняют, любая пара сближается в одно и то же число раз. Зал начинается с уже нарисованным образом, чтобы было видно, что делает преобразование, прежде чем на что-то ставить; затем студент щёлкает там, где, по его мнению, соберутся последующие коты, и каждый промах добавляет ещё один образ как подсказку. При попадании открывается, что эта точка — решение v = Av + b, то есть линейной системы два на два.
Задания для ученика
- Поставить на то, где соберутся коты, до начала итерации.
- Вычислить, сколько образов нужно, чтобы рисунок стал меньше 0,01.
Зал 7 · Почему оно куда-то приходит
Постепенное объяснение в четыре шага, с подсветкой на рисунке тех расстояний, о которых говорит каждое неравенство. Шаг 1: скачок от x₁ к x₂ — образ скачка от x₀ к x₁, значит не длиннее C прежних, и оба скачка загораются со своими длинами. Шаг 2: то же ступенькой ниже, и сцепление даёт C². Шаг 3: неравенство треугольника, с хордой от x₀ к x₃ рядом с тремя скачками. Шаг 4: «аналогично» — общий случай и сумма геометрического ряда. Вывод, что оценку можно сделать сколь угодно малой, подводит к заданию, а его решение открывает слайдер: студент требует ε, а рисунок отвечает достаточным N и соответствующим шаром.
Задания для ученика
- Пройти четыре шага и увидеть, как загорается каждое расстояние.
- Вычислить, сколько шагов гарантируют расстояние до предела меньше 0,001.
- Потребовать разные ε и прочитать нужное N в каждом случае.
Зал 8 · Одна, и только одна
Сто начальных точек по всей плоскости итерируют одновременно и все сходятся в одно место. Затем единственность, доказанная без итераций и рисунков: четыре шага, которые студент расставляет по порядку, записанные через d(·,·), а не вычитанием точек, чтобы годились и на плоскости, и на прямой, и всюду, где есть расстояние. В конце — полная формулировка теоремы Банаха.
Задания для ученика
- Поитерировать облако из ста точек и увидеть, что исход не зависит от старта.
- Расставить по порядку четыре шага доказательства единственности.
Зал 9 · Тот же рисунок, на прямой
Возвращение в одно измерение: то, что на плоскости было скучивающимся котом, здесь — пересечение с диагональю y = x. Слайдер поднимает и опускает кубику, и студент считает пересечения сам — зелёные точки появляются только после ответа; при сдвиге два пересечения сливаются и исчезают, чего на плоскости быть не могло. Вторая часть: у x² на открытом интервале (0;1) нет ни одной неподвижной точки, и это одномерная версия того, чем на плоскости была полнота.
Задания для ученика
- Сосчитать пересечения кривой с диагональю.
- Определить, сколько неподвижных точек у x² на открытом интервале (0;1).
Зал 10 · Паутина
Подняться до кривой, отскочить от диагонали, повторить. Кандидаты — не игрушечные прямые, а настоящие переписывания уравнений лаборатории —3 − ln x, e^(3−x), x² − 1, 1 + 1/x и √(1+x)—, все кривые, так что наклон меняется и выходит на первый план главное: решает наклон В точке пересечения. Стенд занимает всю ширину зала и анимируется сам — по десять шагов при каждом выборе функции или сдвиге начальной точки; кнопок шага нет. Зал не пускает дальше, пока не пробованы все пять, и красным показывает, сколько осталось. И только потом спрашивает — о том, что только что увидел.
Задания для ученика
- Попробовать все пять переписываний и увидеть, какие стягиваются к решению.
- Отметить сходящиеся и сказать, что их отличает.
Зал 11 · Конус наклонов
Практическая проблема: мы не знаем, где пересечение, и потому не можем вычислить там производную; надо оценить её на всём отрезке. И картинка та же, что на плоскости: конус наклонов ±C с подвижным якорем. На g(x) = 3 − ln x в [1,5;3] студент сужает конус до предела и находит sup|g′| = 2/3. В конце — список того, что надо проверить для применения Банаха, включая вечно забываемое условие: что g отображает отрезок в себя.
Задания для ученика
- Найти самую узкую C, двигая якорь и конус.
- Отметить всё, что надо проверить для применения Банаха на отрезке.
Зал 12 · Сделать ту, что сходится
Шарнир лаборатории. Вместо того чтобы довольствоваться тем переписыванием, какое досталось, студент делает своё: g_λ(x) = x − λ·f(x) — целое семейство с одной ручкой, и все его неподвижные точки — решение. При движении λ паутина перерисовывается сама и переходит от побега к медленной сходимости и почти к прыжку, а наклон в решении читается вживую. Окно — 0 < λ < 2/f′(x*) ≈ 0,198, оптимум — λ = 1/f′(x*) ≈ 0,0989; после ответа оптимальная итерация рисуется зелёным поверх</u> студенческой, чтобы сравнение не зависело от памяти. И вот загвоздка, делающая следующий зал неизбежным: чтобы вычислить это λ, нужно знать решение.
Задания для ученика
- Найти наибольшее λ, при котором итерация ещё сходится.
- Вычислить λ, обнуляющее наклон в решении, и сравнить со своим.
Зал 13 · Ньютон без фокусов
Выход укладывается в строку: не знаешь решения — бери точку, в которой стоишь. Подстановка λₙ = 1/f′(xₙ) в релаксированную итерацию даёт ровно формулу Ньютона: не отдельный трюк, а тот член семейства, который выбирает лучший параметр в каждой точке, не нуждаясь в ответе. Затем геометрия: касательные строятся одна за другой на тригонометрическом уравнении, и после каждой рисунок плавно приближается — полсекунды, глубоко, — потому что со второй пересечения ложатся ближе пикселя друг к другу. Задание — на понимание, а не на арифметику: какая прямая строится и куда смотреть.
Задания для ученика
- Пройти вывод и построить касательные с их приближением.
- Понять, как строится следующее приближение.
Зал 14 · Чего стоит Ньютон
Квадратичная сходимость удваивает число верных знаков на каждом шаге, и платится это тремя монетами: нужна производная, и каждый шаг стоит двух вычислений; производная не должна обращаться в нуль вблизи пути; и гарантия есть, только если стартовать достаточно близко. Задача — найти начальную точку, из которой Ньютон убегает за пределы участка, а таких хватает, ведь f′ внутри обращается в нуль. Общее у них то, что касательная почти горизонтальна, и пересечение улетает.
Задания для ученика
- Вычислить, сколько верных знаков будет через три шага после двух.
- Найти начальную точку, из которой Ньютон убегает, и понять, что у таких точек общего.
Зал 15 · Табло
Полная карточка: четыре метода на три уравнения, и в каждой ячейке число вычислений до шести верных знаков, посчитанное вживую реальным прогоном каждого метода. Студент ставит на порядок до того, как таблица откроется. Строка с оптимальным λ намеренно со звёздочкой: она бьёт всех и бесполезна, ведь вычислить это λ можно, лишь зная решение. Это водяной знак всей лаборатории: методы упорядочены по тому, что требуют знать заранее, а не по тому, насколько умно выглядят. В конце — выбор метода для конкретной ситуации.
Задания для ученика
- Предсказать порядок трёх методов до того, как увидеть таблицу.
- Выбрать подходящий метод для дорогого в вычислении уравнения без производной и с известной сменой знака.
Зал 16 · Когда сжать нельзя
Завершение. Край шкалы: требовать от функции только непрерывности. Теорема Брауэра с анимированной чашкой кофе и предупреждением, что в размерности два и выше доказательство не элементарно. Она сравнивается с Банахом колонка за колонкой — что каждая требует против того, что даёт, — и лаборатория закрывается тем же вопросом, с которого началась: что общего у проб первого зала, деления пополам, золотого поиска и итерации. Ответ — множитель сжатия за вычисление.
Задания для ученика
- Отметить все верные утверждения при сравнении Брауэра с Банахом.
- Определить, что общего у четырёх методов лаборатории.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.