Дидактические цели
Производная — самая важная идея анализа, и почти всегда её вводят сразу как трудный для восприятия предел. Эта лаборатория строит её наоборот: сначала интуиция — «как быстро растёт эта функция?» — и только потом формула. Всё происходит на сетке с масштабом 1:1, чтобы ученик мог оценивать наклоны на глаз, считая клетки, прежде чем что-либо вычислять. За 32 зала проходится весь путь — от касания точки, где кривая растёт быстрее всего, до дифференцирования по правилу цепочки, понимания того, как компьютер приближённо вычисляет производную, и решения задач оптимизации. Рассчитано на старшую школу и университет.
Чему учимся
Путь идёт от наглядного к символьному и снова к прикладному. Сначала производная как «скорость роста», затем как наклон касательной, затем как предел, затем как то, что вычисляет компьютер, и, наконец, как инструмент вычислений и оптимизации.
- Увидеть производную как мгновенную скорость (спидометр машины) и распознавать, где функция растёт, убывает или становится плоской, читая знак производной по графику (залы 1–4).
- Построить производную, перетаскивая точку касания, и сопоставлять f с её производной в обоих направлениях (залы 5 и 6).
- Повторить наклон прямой и понять его как tan(угла) на сетке (зал 7).
- Перейти от средней скорости изменения (секущая) к мгновенной (касательная), устремляя h→0, и увидеть, что любая гладкая кривая почти прямая, если приблизиться достаточно сильно (залы 8–11).
- Вычислять производные по определению как предел для прямой, x², x³, 1/x и √x, придя к правилу степени; распознавать точки, где производной нет (залы 12–16).
- Понять, как компьютер приближает производную с фиксированным шагом h, и почему симметричная производная гораздо точнее правой (залы 17 и 18).
- Дифференцировать многочлены и элементарные функции, применять правила произведения, частного и цепочки с наглядным обоснованием, и проверить память и скорость распознавания в двух тестах на время (залы 19–26).
- Записать касательную, распознать вогнутые и выпуклые участки кривой и точку перегиба, изучить форму кривой через f′ и f″ и решить две геометрические задачи оптимизации (залы 27–31).
- Завершить бонусным залом без заданий: поле curl noise, построенное на частных производных, показывает, что производная создаёт и генеративное искусство (зал 32).
Ключевые математические идеи
- Производная измеряет скорость изменения функции: где она положительна, функция растёт; где отрицательна — убывает; где обращается в ноль — возможен максимум или минимум.
- Производная в точке — это наклон касательной, предел наклонов секущих, когда вторая точка приближается к первой: f′(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h)−f(x₀))/h.
- Локальная линейность: дифференцируемая функция, если посмотреть на неё вблизи, неотличима от прямой — и эта прямая является касательной; это и объясняет, почему производная годится для приближения.
- Из определения получаются элементарные производные; правило степени (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ их обобщает и распространяется на дробные и отрицательные показатели.
- Не всякая непрерывная функция дифференцируема: в изломе (как у |x|) две «полукасательные» имеют разные наклоны, и единственной касательной нет.
- Компьютер не вычисляет пределы — он приближает. Правая разность даёт ошибку, пропорциональную h; симметричная (центральная) разность даёт ошибку, пропорциональную h², поэтому она гораздо точнее при том же шаге.
- Правила дифференцирования — произведения, частного и цепочки — позволяют дифференцировать любую комбинацию известных функций.
- Знак f′ описывает возрастание/убывание, а знак f″ — выпуклость; вместе они задают форму графика, с экстремумами там, где f′=0, и точками перегиба там, где f″ меняет знак.
- В оптимизации максимумы и минимумы ищут, решая f′=0; тот же принцип минимального времени объясняет закон Снеллиуса о преломлении.
Содержание по залам
Зал 1 · Машина и спидометр
Машина едет по дороге, пока в реальном времени рисуется график положения от времени; ниже стрелка спидометра показывает мгновенную скорость. Ученик запускает анимацию с паузой и находит самый быстрый участок и участок остановки.
Задания для ученика
- Посмотреть заезд и связать крутизну кривой со стрелкой.
- Поставить на паузу в момент максимальной скорости и в момент остановки.
Зал 2 · Как быстро она растёт?
Сначала ученик касается точки, где кривая растёт быстрее всего, и двух точек, где она не растёт и не убывает. Затем с помощью кнопки воспроизведения/паузы анимация ведёт точку по f и синхронно ниже — по её производной f′, с подписями скорости.
Задания для ученика
- Коснуться самой крутой точки и двух плоских точек.
- Запустить анимацию f и f′ и прочитать подписи скорости.
Зал 3 · Знак производной
На кубике с одним минимумом и одним максимумом ученик закрашивает каждый участок зелёным (растёт, f′>0) или жёлтым (убывает, f′<0) и проверяет. Закрепляет связь монотонности и знака производной.
Задания для ученика
- Отметить три участка как возрастание или убывание.
- Связать рост ↔ f′>0 и убывание ↔ f′<0.
Зал 4 · Пики и впадины
На функции с двумя минимумами и одним максимумом ученик касается трёх точек, где касательная горизонтальна (f′=0). При нахождении появляется горизонтальная касательная.
Задания для ученика
- Найти вершины и впадины кривой.
- Коснуться трёх точек, где f′=0.
Зал 5 · Начерти производную сам
Ученик тянет точку касания вдоль f; на нижней панели остаётся след со значением наклона, рисуя f′ собственным пальцем. Когда кривая пройдена, поверх накладывается настоящая f′ для сравнения.
Задания для ученика
- Провести пальцем по всей кривой, отслеживая точку касания.
- Сравнить получившийся след с настоящим графиком f′.
Зал 6 · Сопоставь f и f′
Четыре раунда со сменой направления: дважды «дана f, выбери f′» (парабола, возрастающая кубика) и дважды «дана f′, выбери f» (константа, прямая −x).
Задания для ученика
- Проанализировать, где f растёт и убывает (или знак f′).
- Пройти все четыре раунда.
Зал 7 · Наклон: ступенька и угол
Сначала слайдер наклона показывает ступеньку «1 вправо, m вверх» с двумя вопросами на определение. Затем слайдер угла θ вращает прямую и показывает m = tan θ, ещё с двумя вопросами.
Задания для ученика
- Прочитать наклон как высоту ступеньки.
- Менять угол и проверить, что m = tan θ.
Зал 8 · Средняя скорость
На y = x²/2 строится секущая (серая пунктирная) между двумя точками с треугольником Δy/Δx. Ученик вычисляет среднюю скорость изменения на двух интервалах.
Задания для ученика
- Вычислить Δy и Δx между заданными точками.
- Получить среднюю скорость изменения (наклон секущей).
Зал 9 · От секущей к касательной
Слайдер h приближает вторую точку к первой. Прежние секущие превращаются в затухающий след, поворачиваясь в красную касательную; крупное число показывает, как наклон устанавливается на 2, с анимацией успеха.
Задания для ученика
- Уменьшать h и наблюдать за вращением следа секущих.
- Проверить, что наклон стремится к 2 при h→0.
Зал 10 · Приблизься: кривая почти прямая
Слайдер масштаба (1×–200×) приближает вид к точке гладкой кривой, пока она не станет похожа на прямую; при проверке накладывается касательная. Повторяется во второй точке с большей кривизной.
Задания для ученика
- Увеличить масштаб минимум до 40× в каждой точке.
- Проверить, что прямая совпадает с касательной.
Зал 11 · Оцени наклон
На гладкой кубике с касательной-подсказкой ученик оценивает наклон на глаз в трёх точках, считая клетки и выбирая приближённое значение.
Задания для ученика
- Посчитать, насколько касательная поднимается за шаг вправо.
- Выбрать верную оценку в трёх точках.
Зал 12 · Определение
Вводим f′(x₀) = lim (f(x₀+h)−f(x₀))/h. Таблица со всё меньшим h показывает, как частное приближается к 6 для f=x² и x₀=3; при наведении курсора строка подсвечивает свою секущую на графике.
Задания для ученика
- Следить за таблицей и видеть, к какому числу стремится частное.
- Записать значение предела (f′(3)=6).
Зал 13 · Производная прямой
Доказательство по пределу, что производная a·x+b равна a в любой точке. Три упражнения: 3x−5, −2x+7 и константа (производная 0).
Задания для ученика
- Проследить доказательство по пределу.
- Вычислить f′ для трёх прямых.
Зал 14 · Производная x²
Раскрытие (x+h)²−x² = 2xh+h² ⇒ f′(x)=2x. Ученик вычисляет f′(3), f′(−5) и находит, где f′=0 (вершина).
Задания для ученика
- Проследить раскрытие предела до 2x.
- Вычислить f′ в нужных точках.
Зал 15 · Три двери: x³, 1/x, √x
Ученик сам выбирает порядок открытия трёх дверей, в каждой — свой предел и свой алгебраический приём (бином, общий знаменатель, сопряжённое). После всех трёх открывается правило степени xⁿ → n·xⁿ⁻¹.
Задания для ученика
- Пройти три предела в любом порядке.
- Применить правило степени, включая дробные и отрицательные показатели.
Зал 16 · Где производной нет
Три кривые (|x|, ∛x и x²) со слайдерами, приближающими точку слева и справа (левый — по модулю, как и правый); два крупных числа показывают оба наклона. Сначала объясняется, что производная существует, когда односторонние пределы совпадают и конечны, а один вопрос на кривую решает, существует ли единственная касательная, с выводом крупным текстом и кнопкой «Понятно».
Задания для ученика
- Сравнить наклон слева и справа на каждой кривой.
- Решить, существует ли единственная касательная.
Зал 17 · Производная, которую вычисляет компьютер
Со слайдером фиксированного h ученик видит правую секущую рядом с настоящей касательной и число ошибки, уменьшающееся при снижении h; мини-график показывает, что при слишком малом h ошибка снова растёт.
Задания для ученика
- Двигать h и наблюдать, как секущая приближается к касательной.
- Найти h с наименьшей суммарной ошибкой.
Зал 18 · Правая разность против центральной
На одной кривой сравниваются настоящая касательная, правая секущая и симметричная (центральная) секущая, с таблицей чисел в реальном времени. Финальное задание: добиться правой разностью точности, которую центральная даёт при h=0.5.
Задания для ученика
- Сравнить, какая секущая лучше следует за касательной при изменении h.
- Найти h для правой разности, дающий такую же точность, как центральная.
Зал 19 · Степень, константа и сумма
Линейность производной: (c·u)′=c·u′, (u+v)′=u′+v′, (c)′=0. Несколько производных многочленов и одно уравнение f′=0.
Задания для ученика
- Дифференцировать многочлены почленно.
- Вычислить f′ и решить f′=0.
Зал 20 · Синус и косинус
Ученик, ведя пальцем, чертит производную sin x; по завершении раскрывается, что это cos x. Затем он отмечает на самом синусе точки, где тот убывает быстрее всего, и точки, где не растёт и не убывает. Всё скрывается, и процесс повторяется с cos x: начертить его производную (−sin x), решить, положительна она или отрицательна на (0,π), и отметить, где косинус растёт быстрее всего.
Задания для ученика
- Начертить производную sin x, ведя пальцем, и отметить её ключевые точки.
- Повторить весь процесс с cos x.
Зал 21 · Экспонента и логарифм
Ученик, ведя пальцем, чертит производную eˣ и обнаруживает, что она совпадает с самой кривой. Затем чертит производную ln x и определяет, на какую известную функцию она похожа (варианты: x², √x, 1/x, 1/x²). Завершается двумя вычислениями.
Задания для ученика
- Начертить производную eˣ и убедиться, что это она сама.
- Начертить производную ln x, определить её как 1/x и вычислить в точке.
Зал 22 · Тест на скорость: базовые производные
Показана таблица 10 базовых производных (x², x³, x⁵, 1/x, √x, ln x, eˣ, sin x, cos x, tan x), и когда ученик готов, начинается обратный отсчёт. В каждом раунде нужно выбрать верную производную из 5 вариантов, пока не закончилось время: правильный ответ сокращает лимит времени на 300 мс и добавляет 1 очко, ошибка добавляет 400 мс и отнимает 1 очко. Все 10 раундов нужно завершить с положительным счётом.
Задания для ученика
- Запомнить таблицу базовых производных.
- Пройти 10 раундов на время с положительным счётом.
Зал 23 · Правило произведения
Прямоугольник со сторонами u и v увеличивается слайдером Δ, показывая две полосы u·Δv и v·Δu и пренебрежимо малый угол Δu·Δv, откуда берётся приращение площади и (f·g)′ = f′·g + f·g′. Упражнения используют произведения экспоненты или логарифма на многочлен, чтобы их нельзя было решить раскрытием скобок.
Задания для ученика
- Увеличить стороны прямоугольника и определить полосы и угол.
- Продифференцировать каждый множитель и собрать по правилу.
Зал 24 · Правило частного
Формулируем (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² и применяем в трёх упражнениях с алгебраическими дробями, с предупреждением о порядке вычитания.
Задания для ученика
- Применять правило частного шаг за шагом.
- Вычислить h′ в нужной точке.
Зал 25 · Правило цепочки
Анимация шестерёнок (x вращает g, g вращает f) показывает, что скорости перемножаются: (f∘g)′ = f′(g(x))·g′(x). Три упражнения на применение.
Задания для ученика
- Посмотреть анимацию шестерёнок и вывести умножение скоростей.
- Продифференцировать три предложенных случая.
Зал 26 · Тест на скорость: правило цепочки
Обратный отсчёт и 10 раундов на время: для каждой функции (cos(3x), ln(5x+1), √(2−x), e^(x²), (3−x²)¹⁰ и ещё пяти) нужно выбрать её производную из 5 очень похожих вариантов, пока не закончилось время. Та же система очков и времени, что в зале 22: раунд нужно завершить с положительным счётом.
Задания для ученика
- Узнавать с первого взгляда производную функций с правилом цепочки.
- Пройти 10 раундов на время с положительным счётом.
Зал 27 · Урок: касательная прямая
Сначала полностью разбирается пример (y = x²/2, x₀=2), затем ученик повторяет самостоятельно с функцией отрицательного наклона: вычисляет f(x₀), f′(x₀) и ставит точку касания на графике перед тем, как увидеть прямую.
Задания для ученика
- Разобрать показанный пример.
- Вычислить f(x₀) и f′(x₀) для второго примера, поставить точку и увидеть касательную.
Зал 28 · Вогнутая и выпуклая
На двух участках одной и той же кривой ученик сравнивает кривую с отрезком (секущей), соединяющим её концы: вогнутая, если кривая выше отрезка, выпуклая, если ниже. Объясняется связь со второй производной, и предлагается найти на глаз точку перегиба, где меняется вогнутость.
Задания для ученика
- Классифицировать оба участка как вогнутый или выпуклый, сравнивая с отрезком.
- Найти на глаз точку перегиба.
Зал 29 · Форма кривой
Три расположенные друг над другом синхронные панели — f, f′ и f″ — с вертикальной линией, проходящей через них. Задание 1: коснуться f′ там, где она пересекает 0 (экстремумы). Задание 2, открывается следом: коснуться f″ там, где она пересекает 0 (перегиб). Объясняется, что смена знака f′ отмечает экстремумы, а f″ — перегиб, и в конце — три вопроса о знаке.
Задания для ученика
- Задание 1: отметить два экстремума на панели f′.
- Задание 2: отметить точку перегиба на панели f″ и ответить на вопросы о знаке.
Зал 30 · Коробка наибольшего объёма
Из листа 12×12 ученик вырезает квадраты со стороной x по углам (слайдер, без видимых чисел) и складывает; показаны коробка и кривая V(x). Сначала он выбирает верную формулу V′(x) среди четырёх вариантов, и только потом приравнивает её к 0 и решает, находя оптимальный вырез x=2 с V=128 см³.
Задания для ученика
- Выбрать верную формулу V′(x).
- Приравнять к 0, решить и проверить максимум V(2)=128.
Зал 31 · Спасатель
Спасатель бежит по песку со скоростью 6 м/с и плывёт со скоростью 2 м/с: время не минимизируется по прямой линии. Назвав x горизонтальное расстояние до точки входа, ученик выбирает из 4 вариантов расстояние по песку, а затем по воде. Раскрываются формулы T(x) и T′(x), и с помощью слайдера нужно точно, с точностью до десятых, найти x, минимизирующий время. При успехе раскрывается, что это условие — закон Снеллиуса о преломлении (принцип Ферма), со схемой светового луча.
Задания для ученика
- Определить выражения для двух расстояний через x.
- Точно найти x, минимизирующий T(x), и связать его с законом Снеллиуса.
Зал 32 · Генеративное искусство с производными
Бонусный зал без заданий: поле curl noise, построенное на частных производных потенциальной функции ψ(x,y), рисует анимированные вихри, у которых никогда нет источников или стоков, с кнопкой для регенерации узора.
Задания для ученика
- Понаблюдать, как частные производные создают поток без источников и стоков.
- Регенерировать узор и исследовать результат.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.