Дидактические цели
Учебная лаборатория для средней школы (5-7 классы), по материалам PIM по арифметике. Вся арифметика делителей рассказана через одну картинку: число — это коробка простых кирпичей (60 = 2 · 2 · 3 · 5). У кирпичей всегда один и тот же цвет: 2 кирпично-красный, 3 синий, 5 зелёный, 7 жёлтый, остальные серые.
Без калькулятора: все числа не больше 200, а их кирпичи не больше 17. Лучше разложить пять маленьких чисел, чем одно огромное.
Чему учимся
- Разбивать число до простых и обнаруживать, что как ни разбивай, получаются одни и те же кирпичи (основная теорема арифметики).
- Отличать простые числа от составных (1 — ни то, ни другое) и находить их решетом Эратосфена, которое объясняет, почему достаточно вычёркивать до простого, квадрат которого помещается в таблицу.
- Признаки делимости на 2, 5 и 3 (до простых чисел, чтобы их легче узнавать).
- Раскладывать на множители лесенкой делений и записывать результат через степени.
- Делитель — это коробка внутри коробки: m делит n, когда его кирпичи лежат в коробке n, а оставшиеся образуют n/m. Решать, делится ли одно число на другое, не деля.
- НОД и НОК с помощью диаграммы из двух кругов: НОД — кирпичи в центре; НОК — все кирпичи, центральные один раз. Почему кратное 4 и 6 не обязано делиться на 24, что такое взаимно простые числа и почему НОД · НОК = a · b. Задачи про верёвки и автобусы.
- Находить все делители числа: вручную (и видеть, что некоторые теряются), таблицей двух простых, парами d · n/d и проверяя только до √n.
- Числа с нечётным количеством делителей — это полные квадраты (чётные показатели), и задача о шкафчиках.
Ключевые математические идеи по блокам
A · Кирпичи (залы 1-5). Простые числа как неделимые кирпичи, единственность разложения, решето, признаки и лесенка делений.
B · Делители (залы 6-8). m | n, если n = m · k; на языке кирпичей — кирпичи m помещаются в коробку n.
C · Общие (залы 9-13). НОД и НОК на диаграмме; НОК(b, c) | a, если b | a и c | a; взаимно простые; НОД · НОК = a · b.
D · Все делители (залы 14-20). Таблица p^a · q^b (без общей формулы — методическое решение), наименьшее число с заданной таблицей, пары, до √n, нечётное количество ⇔ полный квадрат, шкафчики.
Заметки для учителя
- Общая формула (α₁ + 1)(α₂ + 1)··· намеренно не используется: делители считают по таблице двух простых.
- У каждого зала есть объяснение в книжке на полосе заданий; в залах-открытиях (1, 12, 16, 19, 20) оно появляется после первого задания.
Содержание по залам
Зал 1 · Молоток
Разбиваем 120 молотком до кирпичей; основная теорема — в книжке после сравнения.
Задания для ученика
- Ставка: Аня бьёт 4 · 30, Луис 6 · 20 — что будет в конце? (одни и те же кирпичи).
- Разбить 120 как Аня и как Луис.
- Разбить 84 как угодно.
- Собрать коробку 168 = 2 · 84, не разбивая.
Зал 2 · Признаки делимости на 2, 3 и 5
Признаки (идут раньше простых); в книжке анимация 234 = 2 · 100 + 3 · 10 + 4 → 2 + 3 + 4 = 9 и письменный пример (153 и 130).
Задания для ученика
- Отметить кратные 2, 3 и 5 в трёх списках.
- Тест на скорость в три серии с крупным делителем: на 2 и на 5 — по пять чисел (ошибка повторяет серию), на 3 — десять.
Зал 3 · Кирпичи: простые числа
Простые (ровно два делителя), составные и единица.
Задания для ученика
- Три списка «отметьте простые» с ловушками (51, 91, 143; в третьем есть 1 и 33).
- Почему 1 — не простое.
Зал 4 · Решето Эратосфена
Анимированное решето на таблице до 50 (2 вычёркивания в секунду, паузы по 2 с), потом до 300, до 17; в конце — простые меньше 50.
Задания для ученика
- Первое новое число, которое вычеркнет 7 (49).
- Следующее простое после 7 (11).
- Нужно ли 11 в таблице до 50? (нет: 121).
Зал 5 · Открываем коробку: разложение
Лесенка делений для 132 по шагам в книжке.
Задания для ученика
- Две проверки простых (во второй есть 1).
- Лесенка как в тетради для 84, 90, 126, 231 и 168: каждая клетка проверяется при выходе из неё; начать с большого простого можно, но советуем начинать с маленьких.
Зал 6 · Делители на глаз
Что такое делитель: n = m · k.
Задания для ученика
- 99, 75 и 91: отметить делители в списке и написать недостающий (3, 5, 13).
Зал 7 · Коробка внутри коробки
m | n, когда кирпичи m лежат в коробке n; оставшиеся образуют n/m.
Задания для ученика
- Вынуть из 180 делитель между 40 и 50 (45) и сказать, что осталось (4).
- 168: нечётный делитель больше 10 (21; осталось 8).
- 150: чётный делитель между 20 и 40 (30; осталось 5).
Зал 8 · Поместится или нет?
Решаем, не деля, по двум коробкам.
Задания для ученика
- Шесть вопросов да/нет (12 | 180, 8 | 60…).
- На какое наименьшее число умножить 60, чтобы оно делилось на 8 (2).
Зал 9 · Общие кирпичи
Диаграмма из двух кругов с общими кирпичами в центре (36 и 60).
Задания для ученика
- Перенести в центр общие кирпичи 42 и 56, 30 и 45, 48 и 72.
Зал 10 · Наибольший общий делитель
НОД = кирпичи в центре.
Задания для ученика
- НОД 98 и 140, 120 и 168, 84 и 126.
- Верёвки 90 и 150 см: самый длинный кусок (30) и число кусков (8).
Зал 11 · Наименьшее общее кратное
НОК = все кирпичи, центральные один раз.
Задания для ученика
- НОК 14 и 21, 20 и 30, 36 и 54, 24 и 40.
- Автобусы каждые 12 и 18 минут (36).
Зал 12 · Ловушка с 4 и 6
Сначала задание, потом теория: НОК(b, c) | a; взаимно простые.
Задания для ученика
- Кратно 4 и 6 — кратно ли 24? (нет: 12); 6 и 7; 6 и 9; 8 и 15.
- Пара взаимно простых (8 и 15).
- Кратно 10 и 15: наверняка кратно 30.
Зал 13 · НОД · НОК
НОД · НОК = a · b на диаграмме.
Задания для ученика
- Найти второе число: (6, 180, 36) → 30, (4, 120, 24) → 20, (5, 150, 30) → 25.
- НОК через НОД: 18 и 24, 28 и 42.
Зал 14 · Все делители
Открытие: отмечаем вручную в сетке; говорится только, сколько не хватает или лишних.
Задания для ученика
- Все делители 84 и 96.
Зал 15 · Таблица делителей
Таблица 200 = 2³ · 5² (4 × 3), интерактивная в книжке.
Задания для ученика
- Ставка: у кого больше делителей, у 64 или у 60?
- Заполнить таблицы 72 и 98.
- Посчитать по воображаемой таблице: 48, 100, 54.
Зал 16 · Таблицы на заказ
Большие показатели — у маленьких простых (теория после первого задания).
Задания для ученика
- Наименьшее число с таблицей из 6, 9, 8 и 10 клеток (12, 36, 24, 48).
Зал 17 · Делители ходят парами
d ↔ n/d дугами (36 анимировано в книжке).
Задания для ученика
- Разбить на пары делители 60 и 100.
- Пара для 12 в 144, 8 в 120, 14 в 196, 15 в 180.
Зал 18 · До корня
В каждой паре одно число ≤ √n: достаточно проверять простые до √n.
Задания для ученика
- До какого простого проверять 187? (13).
- Простые ли 151, 169, 187, 191?
Зал 19 · Нечётное число делителей
Открытие: нечётное количество ⇔ полный квадрат ⇔ чётные показатели.
Задания для ученика
- Два списка «отметьте числа с нечётным количеством делителей».
- Какая коробка — квадрат; на что умножить 18 (2).
Зал 20 · Шкафчики
Финальная миссия: 200 шкафчиков и 200 учеников, анимация с ×4 и «Посмотреть ещё раз».
Задания для ученика
- Ставка: сколько останется открытыми (14).
- Сколько раз трогают шкафчик 36 (9) и почему он открыт.
- Шкафчики, которые трогают ровно 3 раза (6); последний открытый (196).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.