Дидактические цели
Как организуется муравейник без единого распределителя приказов? Почему в химической смеси появляются спирали, а в городе, который никто не планировал, — обособленные кварталы? Этот лаб для средней школы посвящён клеточным автоматам и другим моделям с локальными правилами и показывает, что простого правила, повторяемого на клетчатом поле, достаточно, чтобы из случайности возник порядок. В этом лабе особого внимания заслуживает первый зал, где из чистого шума появляются спирали; третий, с игрой «Жизнь»; пятнадцатый, где возникает сегрегация Шеллинга, и семнадцатый, где муравьи находят еду и начинают переносить её в гнездо. За каждой симуляцией следует зал, где ученик применяет то же правило вручную на маленькой сетке. Этот лаб идёт после лаба «Порядок из хаоса» (стаи и синхронность), но его можно проходить и отдельно.
Чему учимся
Ученик обнаруживает, что самоорганизация не требует центрального разума: достаточно, чтобы каждая клетка смотрела на соседей и следовала простому правилу. Путешествие чередует «вау»-симуляции с задачами на бумаге.
- Клеточные автоматы (спирали BZ, игра «Жизнь» Конвея, лес под ударами молний, куча песка, которая осыпается) изучаются как сетки, где каждая клетка шаг за шагом применяет одно и то же правило окрестности.
- Самоорганизованная критичность кучи песка иллюстрирует, почему сложные системы спонтанно оказываются на краю хаоса.
- Правило большинства разделяет смесь на растущие области, как масло и воду.
- Переход перколяции показывает, что существует критический порог плотности p, при котором внезапно появляется путь, пересекающий всю сеть.
- Модель избирателя и модель Шеллинга переносят те же идеи на общество: достаточно толерантности в 33 %, чтобы возникла пространственная сегрегация, даже если никто её не желает.
- Муравьи с феромонами и диффузно-ограниченная агрегация (DLA) завершают лаб путём, который никто не прокладывал, и фрактальными узорами нецелой размерности, порождёнными случайными блужданиями.
Ключевые математические идеи
- Локальные правила → глобальное поведение: макроскопическая сложность не закодирована ни в одной клетке.
- Клеточный автомат: дискретная сетка + функция окрестности + итерация; нотация B/S для игры «Жизнь».
- Самоорганизованная критичность: куча песка достигает критического состояния, в котором распределение лавин следует степенному закону.
- Порог перколяции: фазовый переход при p ≈ 0,593 для квадратных сетей; ниже перколирующего пути нет, выше — он почти всегда есть.
- Вероятность в модели избирателя: вероятность принять цвет равна доле соседей этого цвета.
- DLA и фрактальная размерность: разветвлённая структура имеет размерность Хаусдорфа ≈ 1,71 — результат диффузии и случайности.
- Феромон как распределённая память: локальный градиент концентрации заменяет глобальную карту.
Содержание по залам
Зал 1 · Спирали из ничего
Циклический клеточный автомат (аналог реакции Белоусова–Жаботинского): каждая клетка «поедает» соседнюю, которая на один шаг позади в цикле. Из чистого шума возникают вращающиеся спирали.
Задания для ученика
- Наблюдать образование спиралей из начального случайного состояния.
- Перезапустить несколько раз и сравнить возникающие узоры.
Зал 2 · Сетка и соседи
Формальное введение в клеточные автоматы: сетка, окрестность Мура (8 соседей) и ручное применение «правила 5» на мини-сетке 3×3.
Задания для ученика
- Выявить 8 соседей клетки на сетке.
- Рассчитать следующее состояние каждой клетки, применив правило циклического автомата.
Зал 3 · Суп, из которого рождаются существа
Игра «Жизнь» Конвея: из случайного «супа» возникают планеры, осцилляторы и устойчивые структуры всего по двум правилам (рождение при 3 соседях; выживание при 2 или 3).
Задания для ученика
- Наблюдать, какие устойчивые или периодические структуры возникают спонтанно.
- Отредактировать сетку, разместив планер, и посмотреть, как он движется.
Зал 4 · Применяем B3/S23 вручную
Поклеточная викторина: учащийся отмечает следующее состояние конфигурации Игры «Жизнь», используя обозначения B3 (рождается при 3) и S23 (выживает при 2 или 3).
Задания для ученика
- Подсчитать живых соседей каждой клетки.
- Применить B3/S23 и отметить новое состояние сетки.
Зал 5 · Лес, дождь и молнии
Модель лесного пожара: деревья случайно вырастают, молнии изредка ударяют, а огонь распространяется по связным деревьям. Возникает динамическое равновесие между плотностью и катастрофой.
Задания для ученика
- Наблюдать баланс между ростом и уничтожением.
- Изменить частоту молний и посмотреть, как меняется средняя плотность леса.
Зал 6 · Сожги этот лес вручную
Викторина: для заданной сетки с деревьями и огнём учащийся вычисляет следующее состояние, применяя правила (дерево с горящим соседом → горит; горит → пусто) без роста и молний.
Задания для ученика
- Определить деревья, у которых есть хотя бы один горящий сосед.
- Отметить итоговое состояние всей сетки после одного шага.
Зал 7 · Песчаная куча на краю
Модель самоорганизованной критичности (Бак–Танг–Висенфельд): зёрна добавляются по одному; когда столбик превышает 4, он обрушивается и раздаёт зёрна соседям, вызывая лавины всех размеров.
Задания для ученика
- Добавлять зёрна и наблюдать малые и большие лавины.
- Убедиться, что система всегда возвращается к краю нестабильности.
Зал 8 · Решаем лавину
Викторина: для заданной числовой сетки учащийся применяет правило обрушения (клетка ≥ 4 теряет 4 и раздаёт по 1 каждому соседу) до тех пор, пока ни одна клетка не превышает порог.
Задания для ученика
- Найти клетки, запускающие первоначальное обрушение.
- Распространить лавину шаг за шагом и рассчитать итоговое состояние.
Зал 9 · Масло и вода, которые разделяются
Модель Изинга / спинодальный распад по правилу большинства: каждая клетка копирует цвет, преобладающий среди 4 соседей. Из случайной смеси вырастают домены, напоминающие разделение фаз.
Задания для ученика
- Наблюдать, как маленькие домены исчезают, а большие растут.
- Сравнить начальное случайное состояние с состоянием после 50–100 шагов.
Зал 10 · Что говорит большинство?
Викторина по правилу большинства: учащийся определяет следующий цвет каждой клетки в зависимости от того, не менее скольких из 4 соседей (север, юг, восток, запад) совпадают по цвету.
Задания для ученика
- Подсчитать соседей каждого цвета для каждой клетки.
- Отметить новое состояние сетки, применив правило большинства.
Зал 11 · Порог, который соединяет всё
Переход перколяции: клетки заполняются случайно с вероятностью p. Учащийся исследует, при каком пороге появляется кластер, пересекающий весь экран сверху вниз (p ≈ 0,593, а не 0,5).
Задания для ученика
- Изменять p и наблюдать, когда появляется первый непрерывный путь.
- Записать приближённое значение p, при котором происходит переход.
Зал 12 · Иди по пути
Викторина на связность: для частично заполненной сетки учащийся определяет, существует ли путь из чёрных клеток от верхней строки до нижней, используя только движения вверх/вниз/влево/вправо.
Задания для ученика
- Проследить возможный путь (или доказать его отсутствие) на сетке.
- Ответить «да» или «нет» с обоснованием.
Зал 13 · Избиратели, которые заражаются
Модель избирателя: каждая клетка периодически выбирает случайного соседа и перенимает его цвет. Учащийся наблюдает, сохраняется ли разнообразие мнений или система сходится к одному цвету.
Задания для ученика
- Наблюдать время до схождения при разных размерах сетки.
- Сравнить с моделью большинства из зала 16.
Зал 14 · Считаем вероятности
Количественная викторина: клетка с 4 соседями заданных цветов выбирает одного случайно, чтобы скопировать его цвет. Учащийся вычисляет вероятность принять каждый из возможных цветов.
Задания для ученика
- Подсчитать соседей каждого цвета.
- Выразить вероятность принять каждый цвет в виде дроби.
Зал 15 · Сегрегация Шеллинга
Модель Шеллинга (1971): агент переезжает, если менее T% его соседей принадлежат к его группе. Уже при очень высоких порогах толерантности возникают гетто, показывая, как индивидуальное предпочтение порождает неожиданную коллективную сегрегацию.
Задания для ученика
- Изменить порог T и наблюдать, когда появляется сегрегация.
- Поразмышлять о разнице между индивидуальным предпочтением и коллективным результатом.
Зал 16 · Этот переедет?
Прикладная викторина по правилу Шеллинга при T = 33%: учащийся анализирует район и отмечает, какие агенты переедут, потому что менее 1/3 их соседей принадлежат к их группе.
Задания для ученика
- Вычислить долю соседей той же группы для каждого агента.
- Отметить неудовлетворённых агентов, которые переезжают.
Зал 17 · Муравьи, находящие дорогу
Модель стигмергии с феромонами: каждый муравей оставляет след и предпочитает пути с большей концентрацией феромона. Без карты и без командира возникает оптимальный маршрут между гнездом и едой. Объяснение правила «выбрать соседку с наибольшим феромоном» встроено в этот зал.
Задания для ученика
- Наблюдать, как постепенно усиливается самый короткий путь.
- Заблокировать активный путь и посмотреть, найдут ли муравьи альтернативный маршрут.
Зал 18 · Фрактал из случайных блужданий
Диффузионно-лимитированная агрегация (DLA): частицы, блуждающие случайным образом, прилипают, коснувшись центрального кластера. Из одного зерна вырастает ветвистая фрактальная структура нецелой размерности (~1,71).
Задания для ученика
- Наблюдать пошаговое формирование фрактала.
- Заметить, почему ветви растут быстрее, чем заполняются внутренние пустоты.
Зал 19 · Прилипнет ли здесь?
Заключительная викторина: для сетки с уже сформированным кластером DLA учащийся отмечает все клетки, в которых случайный путник прилип бы, если бы наступил на эту клетку (то есть все клетки, смежные с кластером).
Задания для ученика
- Найти внешний периметр кластера.
- Отметить ровно те пустые клетки, которые смежны хотя бы с одной клеткой кластера.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.