Топологические пространства: открытые множества, базы и сравнение

Лабораторная по топологии для второго курса. Топология — это список множеств, которые называют открытыми, и ничего больше: лабораторная заставляет студента построить её собственными руками, прежде чем ею пользоваться. Сначала на множестве из трёх точек (●, ■, ★), нарисованных в вершинах треугольника, где каждое открытое множество — это картошина, охватывающая свои точки; затем на прямой и на плоскости, с топологиями, которые встречаются в любом курсе: стандартной, Зоргенфрея, правых лучей, кофинитной, дискретной и лексикографической.

Примеры и задачи отличаются от тех, что в конспектах курса: лабораторная служит дополнительной практикой и не повторяет теорию.

Чему вы научитесь

• Решать, является ли семейство топологией, и, если нет, указывать, какое объединение или какое пересечение отсутствует.
• Строить порождённую топологию по заданным множествам: наименьшую, которая их содержит, замыкая относительно объединений и пересечений.
• Что на трёх точках существует 29 топологий и всего 9 типов, если переименовывать точки.
• Замкнутые множества как дополнения открытых и то, что открытое и замкнутое не противоположны.
• Что такое база (два условия), какую топологию она порождает и какова наименьшая база конечного пространства.
• Распознавать, является ли семейство подмножеств ℝ топологией, и находить контрпример, когда это не так.
• Пять опорных топологий прямой по виду их базисных открытых множеств и решать, является ли множество открытым, замкнутым, и тем и другим или ни тем ни другим в каждой из них.
• Индуцированную топологию: множество не просто открыто, оно открыто во вселенной.
• Сравнение топологий: сильнее — значит больше открытых множеств; критерий вписывания базисного множества одной топологии в базисное множество другой («кирпичик»).
• Лексикографический порядок на плоскости, его интервалы и то, что его топология строго сильнее обычной.

Ключевые математические идеи

• Открытое — значит, быть в списке. В определении нет ничего геометрического: геометрия появляется при выборе списка.
• Недостающее не выбирают. Если семейство содержит A и B, то топология должна содержать A ∪ B и A ∩ B; поэтому порождённая топология единственна.
• Сравнивать топологии — значит сравнивать окрестности. 𝒯 ⊂ 𝒯′ тогда и только тогда, когда вокруг каждой точки внутри каждого базисного множества из 𝒯 помещается базисное множество из 𝒯′, которое её содержит. Круги, квадраты и ромбы дают одну и ту же топологию, потому что вписываются друг в друга.
• В топологии Зоргенфрея проблемы создают правые концы. (a; b) — объединение интервалов [x; b), но никакой (c; d), содержащий a, не помещается в [a; b).
• Карта прямой. тривиальная ⊂ {SRD, кофинитная} ⊂ стандартная ⊂ Зоргенфрея ⊂ дискретная, причём SRD и кофинитная несравнимы.
• На лексикографической плоскости окрестности — вертикальные отрезки. Вертикальная прямая x = 0 открыта, а горизонтальная — нет.

Источники и благодарности

Обозначения и порядок изложения следуют конспектам курса топологии U-tad (темы 3 и 4). Общая литература: J. R. Munkres, Topology (2-е изд., 2000), главы 2 и 3; L. A. Steen, J. A. Seebach, Counterexamples in Topology (1978) — для топологий прямой и упорядоченного квадрата.

Заметки для занятия

• «Соберите топологии на трёх точках» хорошо работает как соревнование для пар: кто быстрее найдёт все 9 типов?
• «Критерий кирпичика» понятен сразу, когда его показывают на проекторе, с анимацией, где круг покрывается квадратами.
• «Покрыть шар отрезками» одной картинкой показывает, почему лексикографическая топология сильнее обычной: стоит заранее спросить, открыта ли прямая x = 0.