Дидактические цели
Что такое функция (и что ею не является)? Прежде чем работать с формулами и конкретными семействами, стоит хорошо понять само понятие соответствия: один элемент области определения — ровно один образ. Ученик научится отличать функции от «не функций» на конечных множествах и на реальных графиках, познакомится со свойствами инъективности, сюръективности и биективности (в том числе с их подсчётом), а также научится находить область определения реальной функции — как по графику, так и по формуле.
Чему учимся
Развивается интуитивное понимание функции как соответствия, контрпримеры, которые его нарушают, три классических свойства (инъективность, сюръективность, биективность) с подсчётом, и процедура нахождения области определения реальной функции.
- Залы 1–2: понятие функции на конечных множествах (стрелки), область определения и область значений, сравнение двух функций с общей областью определения.
- Зал 3: контрпримеры — соответствия, не являющиеся функцией (двойные стрелки, развёрнутые стрелки, элементы без стрелки).
- Зал 4: признак вертикальной прямой для распознавания функций на реальных графиках.
- Залы 5–9: инъективность, сюръективность и биективность, с распознаванием и подсчётом (включая признак горизонтальной прямой для инъективности на реальных графиках и классификацию графиков реальных функций: инъективная, сюръективная, биективная или ни одна из трёх).
- Залы 10–11: область определения и значений визуально на реальных функциях, считывая их прямо с графика.
- Залы 12–13: запрещённые операции (деление на 0, квадратный корень или корень чётной степени из отрицательного числа, логарифм неположительного числа) и то, как они определяют алгебраическую область определения, различая открытые и закрытые интервалы.
- Зал 14: кусочные функции — область определения равна объединению областей определения каждого куска.
- Зал 15: область определения как пересечение интервалов, когда две запрещённые операции действуют одновременно.
- Зал 16: итоговое повторение всей лаборатории.
Ключевые математические идеи
- Функция — это однозначное соответствие: один x → ровно одно f(x). Если какому-то x соответствуют два значения, или ни одного, это не функция (или она не определена корректно).
- Область определения: множество значений, при которых функция определена. Область значений: множество значений, которые f реально принимает.
- Функция инъективна, если различные элементы всегда переходят в различные образы; проверяется на графике признаком горизонтальной прямой.
- Функция сюръективна, если каждый элемент кодомена покрыт какой-нибудь стрелкой; иногда подсчёт требует вычитания через дополнение (общее число минус те, что не удовлетворяют условию).
- Функция биективна, если она одновременно инъективна и сюръективна; между двумя множествами одинакового размера n число биекций равно n!.
- Алгебраическая область определения функции находится, избегая трёх запрещённых операций: деления на 0 (исключает точку), квадратного корня или корня чётной степени из отрицательного числа (исключает закрытый интервал, со скобкой) и логарифма неположительного числа (исключает открытый интервал, с круглой скобкой).
- В кусочной функции полная область определения — это объединение областей определения каждого куска; когда два условия действуют одновременно на одну и ту же формулу, область определения — их пересечение.
Содержание по залам
Зал 1 · Множества и стрелки
Понятие функции вводится через диаграмму стрелок между двумя множествами: каждый элемент области определения указывает ровно на один элемент кодомена. Цепочка вопросов повторяет область определения, кодомен и область значений.
Задания для ученика
- Рассмотреть диаграмму стрелок и определить область определения, кодомен, область значений и почему элемент без стрелки не входит в область определения.
- Ответить на 5 последовательных вопросов.
Зал 2 · Две функции с одной областью определения
Два соответствия «конечное → конечное» с одной областью определения, но разными областями значений, показаны рядом для сравнения.
Задания для ученика
- Вычислить область значений каждой функции по отдельности.
- Объяснить, почему у них общая область определения, но разные области значений.
Зал 3 · Это функция?
Четыре соответствия между {A, B, C} и {1, 2, 3}, показанные по одному: корректное, с двумя стрелками из одного элемента, с развёрнутой стрелкой и с элементом без стрелки.
Задания для ученика
- Определить в каждом из 4 случаев, является ли соответствие функцией.
- Указать конкретную причину, когда это не функция.
Зал 4 · Признак вертикальной прямой
Четыре мини-графика (окружность, парабола y = x², «лежащая» парабола x = y², вертикальная прямая x = 1.5), на каждом наложена пробная вертикаль.
Задания для ученика
- Определить для каждого графика, пересекает ли его пробная вертикаль больше одного раза.
- Сделать вывод, является ли каждый график функцией.
Зал 5 · Инъективные функции
Два примера соответствий (одно инъективное, другое нет) раскрываются по очереди в виде стрелок, каждое со своим вопросом и своей подсказкой при ошибке. Затем задание на подсчёт: сколько инъективных функций существует из множества из 2 элементов в множество из 3.
Задания для ученика
- Определить, инъективен ли каждый пример.
- Вычислить, сколько инъективных функций существует из {1,2} в {a,b,c}.
Зал 6 · Признак горизонтальной прямой
Четыре графика реальных функций (y = x², y = x³/3, y = |x|, y = 2x − 1) раскрываются по очереди, на каждом пробная горизонталь, чтобы определить, инъективны ли они.
Задания для ученика
- Определить для каждого графика, пересекает ли его пробная горизонталь больше одного раза.
- Сделать вывод, инъективна ли каждая функция.
Зал 7 · Сюръективные функции
Два примера соответствий раскрываются по очереди, каждое со своим вопросом и своей подсказкой при ошибке. Затем более сложное задание на подсчёт: сколько сюръективных функций существует из {a, b, c} в {0, 1}.
Задания для ученика
- Определить, сюръективен ли каждый пример.
- Вычислить, сколько сюръективных функций существует из {a,b,c} в {0,1} (через дополнение: 2³ − 2).
Зал 8 · Биективные функции
Два примера соответствий (биективное, либо ни инъективное, ни сюръективное) раскрываются по очереди. Затем задание на подсчёт через факториал: сколько биекций существует между двумя множествами по 4 элемента.
Задания для ученика
- Определить, биективен ли каждый пример.
- Вычислить 4! и объяснить, почему это число биекций.
Зал 9 · Инъективная, сюръективная, биективная или никакая
Сначала разбирается пример: f(x) = x² не инъективна, потому что f(1) = f(−1), и не сюръективна на ℝ, потому что не принимает отрицательных значений, — значит, это ни одна из трёх. Затем по одному, в случайном порядке, показываются графики восьми реальных функций с кодоменом ℝ: x³ − x, 9 − x², 2ˣ, log₂ x (с областью определения x > 0), sin x, 2x − 5, |x| − 3 и arctg x. Для каждой ученик выбирает: инъективная, сюръективная, биективная или ни одна из трёх; к каждому ответу даётся своё пояснение.
Задания для ученика
- Отнести каждый из 8 графиков к инъективным, сюръективным, биективным или ни к одному из этих классов.
- Обосновать каждый ответ признаком горизонтальной прямой и проверкой, принимает ли функция все значения из ℝ.
Зал 10 · Исследуем y = √(9 − x²)
Учащийся двигает ползунок x и наблюдает в реальном времени, как изменяется f(x) на графике функции y = √(9 − x²) (полуокружность). Область определения и область значений считываются непосредственно с графика.
Задания для ученика
- Перемещать x по всей допустимой области и наблюдать, как меняется f(x).
- Определить область определения и область значений функции, читая их с графика.
Зал 11 · Ещё область определения и значений
Ещё два исследователя по очереди: g(x) = √(x + 4), область определения которой не ограничена сверху, и h(x) = 4 − x², область определения которой — ℝ, но область значений ограничена сверху.
Задания для ученика
- Определить область определения и область значений g(x) = √(x + 4).
- Определить область определения и область значений h(x) = 4 − x².
Зал 12 · Запрещённые операции
Вводятся три операции, ограничивающие область определения: деление на 0, квадратный корень (или корень чётной степени) из отрицательного числа и логарифм неположительного числа, с тремя разобранными примерами. Подчёркивается, что чётные корни дают закрытые интервалы (квадратные скобки), а логарифмы — открытые (круглые скобки).
Задания для ученика
- Вычислить область определения f(x) = 3/(x − 2).
- Вычислить область определения f(x) = √(x − 5).
- Вычислить область определения f(x) = ln(x − 3).
Зал 13 · Практика: область определения с одним запретом
Ещё четыре задания на область определения с одной запрещённой операцией: простое деление, корень, логарифм и деление с квадратным знаменателем (две исключённые точки). Неверные варианты нарочно смешивают открытые и закрытые интервалы.
Задания для ученика
- Вычислить область определения f(x) = 5/(x + 3).
- Вычислить область определения g(x) = √(2x − 6).
- Вычислить область определения h(x) = ln(4 − x).
- Вычислить область определения k(x) = 4/(x² − 9).
Зал 14 · Кусочные функции
Представлена f(x) = √(x+2) при x ≤ 1, x−1 при x>1. Учащийся вычисляет область определения каждого куска отдельно и проверяет, что полная область определения — их объединение.
Задания для ученика
- Вычислить область определения первого куска.
- Вычислить область определения второго куска.
- Объединить обе области определения, чтобы получить полную.
Зал 15 · Область определения как пересечение интервалов
Представлена f(x) = √(x − 1) + √(6 − x), с двумя одновременными запрещёнными операциями. Учащийся вычисляет каждое условие отдельно и пересекает их.
Задания для ученика
- Вычислить условие для первого подкоренного выражения.
- Вычислить условие для второго подкоренного выражения.
- Пересечь оба условия, чтобы получить полную область определения.
Зал 16 · Итоговое повторение
Пять последовательных вопросов, повторяющих всю лабораторию: функция ли это?, инъективность, сюръективность, биективность и область определения реальной функции.
Задания для ученика
- Ответить на 5 итоговых вопросов.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.