Дидактические цели
Что такое функции? Пожалуй, это самое важное понятие в математике — и при этом немногие ученики по-настоящему его понимают. Через реальные примеры — вроде оценки за контрольную — и образные метафоры — вроде почтальона — мы вводим понятия области определения, области значений и значения функции. Ученик научится воспринимать функцию как преобразование, научится визуально находить область определения и область значений, научится строить графики аффинных функций, парабол и гипербол по пошаговому алгоритму, а также познакомится с основными семействами курса средней и старшей школы: аффинным, квадратичным, кубическим и рациональным.
Чему учимся
Развивается интуитивное понимание функции как соответствия, умение читать графики, понимать, как параметры влияют на форму кривой, а также — явно — процедура построения графика каждого семейства вручную.
- Зал 1: семейство линейных функций (y = m·x); слайдер m управляет наклоном.
- Зал 2: урок с подсказками — построение графика аффинной функции по точкам (выбрать x, вычислить f(x), отметить точку), дважды — для возрастающей и убывающей функции.
- Залы 3–9: семейство аффинных функций (y = m·x + n) и парабола в формах y = x², y = a·x² + c, y = x² + b·x + c и общей y = a·x² + b·x + c, с заданиями «получи нужную область значений», «получи нужные корни и направление ветвей» и «получи нужную ось симметрии».
- Зал 10: урок с подсказками — полный алгоритм построения графика параболы (вершина, точка пересечения с Oy, точки пересечения с Ox при их наличии, дополнительные точки).
- Залы 11–12: семейство кубических функций: сначала y = a·x³ + d (центр симметрии, монотонность), затем общая y = x³ + b·x² + c·x + d (корни, область значений, область определения).
- Залы 13–14: распознавание формула↔график среди парабол и кубических функций.
- Залы 15–17: семейство рациональных функций (гиперболы) y = k/x, y = k/(x−v) + h и y = (a·x+b)/(c·x+d), с заданиями «получи эти асимптоты».
- Зал 18: урок с подсказками — полный алгоритм построения графика гиперболы (асимптоты, точки пересечения с осями).
- Зал 19: итоговое распознавание, объединяющее все четыре изученных семейства.
Ключевые математические идеи
- Функция — это однозначное соответствие: один x → ровно одно f(x). Если хотя бы одному x соответствуют два значения, это не функция.
- Область определения: множество значений x, при которых функция определена. Область значений (множество значений): множество значений, которые принимает f(x).
- Построение графика вручную всегда следует одному и тому же алгоритму: выбрать стратегические точки (вершина, точки пересечения с осями, асимптоты), вычислить их значение, подставив в формулу, и отметить их на плоскости перед соединением кривой.
- Линейная функция y = m·x проходит через начало координат; m определяет, возрастает ли она (m > 0) или убывает (m < 0).
- В параболе y = a·x² + c знак a решает, открыта ли она вверх или вниз (минимум/максимум), а число корней зависит от положения вершины относительно оси x.
- Вершина параболы y = ax² + bx + c находится при x = −b/(2a); ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через эту точку.
- Кубическая функция y = a·x³ + d всегда монотонна и имеет центр симметрии в точке (0, d); будучи нечётной степени, любая кубическая функция всегда имеет хотя бы один вещественный корень, а её область определения и область значений всегда равны ℝ.
- Гипербола y = (a·x+b)/(c·x+d) имеет вертикальную асимптоту при x = −d/c (там, где обнуляется знаменатель) и горизонтальную асимптоту при y = a/c (отношение старших коэффициентов); ни область определения, ни область значений не включают эти значения.
Содержание по залам
Зал 1 · Линейная функция y = m·x
Исследуется семейство линейных функций y = m·x с ползунком для m. Прямая и таблица значений обновляются в реальном времени; видно, когда функция возрастает или убывает в зависимости от знака m.
Задания для ученика
- Двигать m и описывать, что меняется в прямой (наклон, направление).
- Указать, при каких значениях m функция возрастает, а при каких — убывает.
Зал 2 · Урок: построение графика аффинной функции
Пошаговый урок с подсказками. Сначала сама лаборатория показывает, как вычисляется первая точка (выбрать x, подставить в f(x), вычислить, заполнить таблицу и отметить точку). Затем учащийся повторяет процесс для ещё двух точек: касается отмеченного x на оси, вычисляет f(x), вводя результат, и отмечает нужную точку на графике. После 3 точек появляется прямая. Весь процесс повторяется дважды: один раз для возрастающей функции, другой — для убывающей.
Задания для ученика
- Проследить за демонстрацией первой точки.
- Самостоятельно выполнить ещё две точки: коснуться оси, вычислить f(x) и отметить точку на графике.
- Повторить весь процесс для убывающей функции.
Зал 3 · Линейная функция y = m·x + n
К предыдущей функции добавляется параметр n. С помощью двух ползунков (m и n) учащийся обнаруживает, какой эффект даёт каждый из них, и определяет область определения и область значений линейной функции.
Задания для ученика
- Двигать m и n по отдельности и описывать, что изменяет каждый параметр.
- Ответить: каковы область определения и область значений y = m·x + n?
Зал 4 · Парабола y = x²
Базовая квадратичная функция представляется через анимированную таблицу, которая постепенно открывает кривую. Отмечаются вершина (0, 0) и ось симметрии x = 0; рост функции сравнивается с ростом прямой.
Задания для ученика
- Вычислить или проверить несколько значений таблицы и рассмотреть форму параболы (буква U).
- Найти вершину и ось симметрии на графике.
Зал 5 · Парабола y = a·x² + c
Два ползунка (a и c) позволяют масштабировать и вертикально сдвигать параболу. Учащийся наблюдает, как знак a определяет направление ветвей и область значений, а сочетание знаков влияет на количество вещественных корней.
Задания для ученика
- Исследовать различные сочетания знаков a и c и подсчитать корни в каждом случае.
- Описать, как меняется область значений функции при изменении a и c.
Зал 6 · Получи нужную область значений
Практическое задание: предлагаются три целевые области значений, и учащийся должен настроить ползунки a и c для y = a·x² + c так, чтобы область значений параболы точно совпала с заданной.
Задания для ученика
- Настроить a и c так, чтобы область значений параболы совпала с каждой из предложенных целей.
- Выполнить все 3 задания на область значений.
Зал 7 · Получи нужные корни и направление ветвей
Продолжая работу с y = a·x² + c, предлагаются три сочетания числа корней (0, 1 или 2) и типа экстремума (максимум или минимум). Учащийся выбирает нужные знаки, чтобы выполнить каждое условие.
Задания для ученика
- Определить, какие знаки a и c дают каждое требуемое сочетание корней и экстремума.
- Выполнить все 3 задания по настройке.
Зал 8 · Парабола y = x² + b·x + c
Добавляется член b·x. С ползунками b и c в реальном времени видны вершина, ось симметрии (x = −b/2) и корни (при их существовании). Также включены два задания: подобрать заданную ось симметрии и подобрать заданную ось симметрии вместе с заданным минимумом.
Задания для ученика
- Двигать b и c и фиксировать, как смещается вершина и меняется ось симметрии.
- Найти конфигурации с 0, 1 и 2 вещественными корнями.
- Выполнить 2 задания на ось симметрии.
Зал 9 · Общая парабола y = a·x² + b·x + c
При всех трёх активных параметрах выполняется полный анализ: направление ветвей (знак a), вершина, ось симметрии, область значений и корни. Включены два дополнительных задания с отрицательным a: подобрать заданную ось симметрии и заданный максимум.
Задания для ученика
- Исследовать все три ползунка (a, b, c) и описать эффект каждого.
- Для выбранной параболы определить вершину, ось симметрии, область значений и число корней.
- Выполнить 2 задания с отрицательным a.
Зал 10 · Урок: построение графика параболы
Урок с подсказками, охватывающий полный алгоритм: вычислить дискриминант и вершину (x_v = −b/2a, y_v = f(x_v)), точку пересечения с Oy, корни (в любом порядке) и добавить пару дополнительных точек таблицы. Каждое вычисленное значение отмечается на графике касанием нужной точки. Повторяется в 2 заданиях с вещественными корнями (a>0 и a<0).
Задания для ученика
- Вычислить вершину параболы и отметить её на графике.
- Вычислить дискриминант и оба корня.
- Выполнить оба задания с подсказками.
Зал 11 · Кубическая функция y = a·x³ + d
Два ползунка (a и d) показывают, что это семейство кубических функций всегда монотонно (без локальных максимумов и минимумов) и имеет центр симметрии в точке (0, d). Небольшой опрос повторяет центр симметрии, область значений и роль каждого параметра.
Задания для ученика
- Двигать a и d и наблюдать, как меняется кривая.
- Ответить на вопросы о центре симметрии, области значений и монотонности.
Зал 12 · Общая кубическая функция y = x³ + b·x² + c·x + d
С тремя ползунками (b, c, d) учащийся свободно исследует общую кубическую функцию. Опрос подчёркивает, что из-за нечётной степени у неё всегда есть хотя бы один вещественный корень, а область определения и область значений всегда равны ℝ; варианты ответов специально путают с параболой.
Задания для ученика
- Двигать b, c и d и наблюдать разные формы кривой.
- Ответить на вопросы о корнях, области значений и области определения.
Зал 13 · Узнай график
Показывается формула (парабола или кубическая функция, со старшим коэффициентом положительным или отрицательным), и учащийся выбирает, какой из 4 мини-графиков ей соответствует. Повторяется 3 раза с разными формулами и позициями каждый раз.
Задания для ученика
- Прочитать данную формулу и определить её семейство и знак старшего коэффициента.
- Выполнить все 3 задания на распознавание.
Зал 14 · Узнай формулу
Обратное направление предыдущего зала: показывается график, и учащийся выбирает, какая из 4 формул ему соответствует. Повторяется 3 раза.
Задания для ученика
- Рассмотреть данный график и определить его семейство и знак старшего коэффициента.
- Выполнить все 3 задания на распознавание.
Зал 15 · Гипербола y = k/x
Один ползунок k представляет простейшую гиперболу. Опрос охватывает асимптоты (всегда x=0 и y=0), область определения и область значений (обе ℝ\{0}), в каких четвертях лежит кривая в зависимости от знака k, и тонкость, что она убывает на каждой ветви отдельно, хотя не монотонна на всей области определения.
Задания для ученика
- Двигать k и наблюдать, как меняются две ветви кривой.
- Ответить на вопросы об асимптотах, области определения, области значений и монотонности по ветвям.
Зал 16 · Смещённая гипербола y = k/(x−v) + h
С тремя ползунками (k, v, h) асимптоты смещаются в x=v (вертикальная) и y=h (горизонтальная). Опрос просит определить положение асимптот прямо по v и h и вывести область определения и область значений.
Задания для ученика
- Двигать v и h и наблюдать, как асимптоты смещаются вместе с кривой.
- Ответить на вопросы об асимптотах, области определения и области значений.
Зал 17 · Общая гипербола y = (a·x+b)/(c·x+d)
С четырьмя ползунками (a, b, c, d) учащийся должен выполнить два задания: подобрать конкретную вертикальную асимптоту (x = −d/c), а во втором задании — одновременно вертикальную и горизонтальную асимптоты (x = −d/c и y = a/c).
Задания для ученика
- Вычислить, какие значения c и d дают требуемую вертикальную асимптоту.
- Вычислить также, какие значения a и c дают требуемую горизонтальную асимптоту.
- Выполнить оба задания на асимптоты.
Зал 18 · Урок: построение графика гиперболы
Урок с подсказками, охватывающий полный алгоритм для гиперболы: вертикальная асимптота (решить c·x+d=0), горизонтальная асимптота (a/c), точка пересечения с Oy и точка пересечения с Ox. Каждое вычисленное значение отмечается на графике. Повторяется в 2 заданиях с разными гиперболами.
Задания для ученика
- Вычислить обе асимптоты данной гиперболы.
- Вычислить точки пересечения с осями и отметить их на графике.
- Выполнить оба задания с подсказками.
Зал 19 · Итоговое распознавание
Завершение лаборатории: показывается формула из любого изученного семейства (аффинная функция, парабола, кубическая функция или гипербола), и учащийся выбирает, какой из 6 мини-графиков ей соответствует. Повторяется 3 раза, смешивая разные семейства в каждом раунде.
Задания для ученика
- Определить семейство данной формулы среди 6 предложенных графиков.
- Выполнить все 3 итоговых задания.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.