Дидактические цели
Последняя лаборатория по теории групп, для первого курса. Продолжает «Группы, которые видно», «Смежные классы и факторгруппы», «Гомоморфизмы и автоморфизмы» и «Центр, коммутаторы и разрешимые группы» и использует то, что там изучено (перестановки, коммутаторы, разрешимые группы), чтобы доказать: для общего уравнения пятой степени формулы в радикалах не существует.
Доказательство — не галуасовское, через поля, а топологическое доказательство В. И. Арнольда: коэффициент многочлена проводят по замкнутой петле на комплексной плоскости и смотрят, что делают корни. Всё видно на экране: две плоскости — плоскость коэффициента a с опасными точками (красные) и плоскость корней с пятью цветными точками, оставляющими след. Когда петля замыкается, корни оказываются на тех же местах… но в другом порядке.
Чему учит лаборатория
- Записывать формулы как цепочки радикалов и понимать, что именно значит «разрешимо в радикалах».
- Видеть корни многочлена как точки, которые движутся при изменении коэффициента, и находить значения, при которых они сталкиваются (точки ветвления), из P = P′ = 0.
- Сопоставлять каждой петле перестановку корней, составлять композиции петель и видеть, что для x⁵ − x + a получается любая перестановка.
- Видеть, что перестановки петель образуют группу, и узнавать её (Zₙ, Δₙ, Aₙ или Sₙ) по полному списку: S₅ для x⁵ − x + t, но Z₅ или Δ₅ для других квинтик.
- Читать перестановки по диаграммам стрелок, перемножать и обращать их, находить чётность по числу транспозиций.
- Понимать, почему формула в радикалах не может уследить за корнями вдоль коммутаторов петель и коммутаторов коммутаторов.
- Видеть, что в S₄ вложенные коммутаторы заканчиваются (поэтому для степени 4 формула есть), а в A₅ — никогда.
- С многочленами, которые выбирает ученик: рисовать свои петли, вычислять группу монодромии и решать, есть ли формула у данного уравнения. Есть готовые примеры с группами Δ₅, S₅, Z₅, S₄, Δ₄, Z₄ и Δ₃.
Ключевые математические идеи
- Петля переставляет корни. Корни x⁵ − x + a сталкиваются только при четырёх значениях a: ±4/(5·⁴√5) и ±4i/(5·⁴√5). Обход одного из них меняет местами два корня.
- Радикалы коммутируют. Петля умножает все значения ᵏ√p(a) на один и тот же корень из единицы, поэтому коммутатор петель оставляет их на месте; для N вложенных радикалов это делают N-кратно вложенные коммутаторы.
- A₅ состоит из коммутаторов. Каждая чётная перестановка пяти элементов — произведение коммутаторов чётных перестановок, поэтому всегда есть петля, за которой формула не уследит.
- Монодромия = Галуа. Группа, порождённая петлями, — это группа Галуа многочлена над C(t): формула есть тогда и только тогда, когда она разрешима. У некоторых конкретных уравнений, например у многочлена Чебышёва x⁵ − 5x³ + 5x + t (группа Δ₅), она есть.
Источники
Лекция 5 «Equations of degree five» из книги Д. Фукса и С. Табачникова Математический дивертисмент (AMS, 2007), основанная на лекциях В. И. Арнольда для московских школьников (1963–64), и книга В. Б. Алексеева Теорема Абеля в задачах и решениях, выросшая из тех же лекций.
Заметки для урока
- «Обход вокруг a₀» — ключевой зал: его стоит показать на экране и пройти петлю медленно, чтобы все увидели, как два корня меняются местами.
- «Исследователь петель» и «Петли от руки» хорошо работают в парах: один предлагает перестановку, другой рисует петлю.
- «Одного радикала мало» — сердце доказательства; стоит остановиться на вычислении m₁ + m₂ − m₁ − m₂ = 0.
- «Группа монодромии» приберегает сюрприз под конец: у некоторых уравнений пятой степени формула есть.
Содержание по залам
Зал 1 · Формулы как цепочки
Формулы для степеней 2 и 3 в виде цепочек радикалов (x₁² = p² − 4q, …). Определение «разрешимо в радикалах».
Задания для ученика
- Пройти цепочку Кардано для x³ − 6x − 9 = 0.
- Посчитать значения цепочки с показателями 2, 3 и 5.
Зал 2 · Корни из единицы
При умножении комплексных чисел углы складываются; у xᵏ = c есть k решений x₁εʲ. Подвижная точка z и её степени.
Задания для ученика
- Привести z в корень пятой степени из 1.
- Углы и число решений.
Зал 3 · Простое уравнение пятой степени
x⁵ + a: оборот a поворачивает корни на 1/5 оборота; петли дают только повороты, и формула ⁵√−a существует.
Задания для ученика
- Посчитать обороты и прочитать перестановку петли.
Зал 4 · Корни, которые движутся
Двигаем a в x⁵ − x + a, и пять корней движутся, не сталкиваясь.
Задания для ученика
- Сблизить два корня (открытие).
- Какая пара сближается вдоль вещественной оси.
Зал 5 · Опасные значения
Двойной корень ⇔ 5b⁴ = 1 ⇒ a⁴ = 4⁴/5⁵: четыре значения ±a₀, ±ia₀ (a₀ ≈ 0,535).
Задания для ученика
- Почему двойной корень обращает в нуль производную.
- Довести a до −a₀ и увидеть столкновение двух корней; где двойной корень.
- Почему их четыре и почему они образуют квадрат.
Зал 6 · Замкнутая петля
Петля из 0 возвращает корни в то же множество, но переставленными; вокруг пустоты — тождественная.
Задания для ученика
- Нарисовать петлю без перестановки и с перестановкой.
Зал 7 · Обход вокруг a₀
Вблизи b₀ a ≈ a₀ − 10b₀³ε²: оборот a — это пол-оборота x, и 0 и 1 меняются местами.
Задания для ученика
- Какие корни меняются; два оборота.
Зал 8 · Поворот на 90°
Корни x⁵ − x + ia — это корни x⁵ − x + a, умноженные на i: остальные три петли дают (2 5), (3 5), (4 5).
Задания для ученика
- Предсказать каждый обмен до просмотра.
Зал 9 · Перестановки стрелками
Запись в циклах, диаграммы стрелок, произведение наложением (сначала α) и обратная отражением.
Задания для ученика
- Прочитать диаграмму в циклах; произведения (1 2)(3 4) · (2 3)(4 5) в обоих порядках; обратная к (1 4 3 5 2).
Зал 10 · Транспозиции и чётность
Цикл длины k — произведение k − 1 транспозиций; чётность по независимым циклам; 60 чётных и 60 нечётных; коммутатор всегда чётен.
Задания для ученика
- Посчитать транспозиции и определить чётность.
Зал 11 · Композиция петель
Композиция петель перемножает перестановки; простые петли (i 5) дают любую.
Задания для ученика
- Составить слова из петель для пяти перестановок.
Зал 12 · Точки ветвления
Двойной корень ⇔ P = P′ = 0; если t — свободный член, Q′(b) = 0 и t = −Q(b). Примеры x³ − 3x + t, x⁴ − 2x² + t (два двойных корня при t = 1) и x⁵ + t.
Задания для ученика
- Найти и посчитать точки ветвления.
- Прочитать петлю вокруг двойного двойного корня.
Зал 13 · У каждого многочлена своя группа
Перестановки, которые дают петли, образуют группу — группу монодромии. Движок выдаёт полный список, упорядоченный по цикловому типу, а ученик узнаёт группу среди Zₙ, Δₙ, Aₙ и Sₙ. Разобранный пример: x⁵ − x + t со всеми 120 перестановками (S₅).
Задания для ученика
- Узнать Z₅ (x⁵ + t), S₃ (x³ − 3x + t), Δ₄ (x⁴ − 2x² + t), Δ₅ (Чебышёв) и S₄ (x⁴ + tx + 1).
- Отбросить варианты того же порядка по строению, например Z₆, Z₈ или Z₁₀.
Зал 14 · Петли от руки
Только нарисованные петли: видно, как каждый корень идёт по своему следу и где оказывается, и перестановку с диаграммой.
Задания для ученика
- Нарисовать петли, дающие (1 5), 3-цикл, ни одного неподвижного корня, тождественную с обходом точки и 1 → 3 для x⁵ + t.
Зал 15 · Большая петля
Петля вокруг всех четырёх точек даёт 5-цикл; ℓ₁ℓ₂ℓ₃ℓ₄ = (1 2 3 4 5).
Задания для ученика
- Вычислить произведение и прочитать большую петлю.
Зал 16 · Коммутаторы петель
[ℓ₁, ℓ₂] = ℓ₁ℓ₂ℓ₁⁻¹ℓ₂⁻¹ даёт коммутатор перестановок: (1 5 2), (1 5 3), (2 5 3).
Задания для ученика
- Вычислить три коммутатора.
Зал 17 · Одного радикала мало
Петля умножает все значения ᵏ√p(a) на одно и то же εᵐ; в коммутаторе m₁ + m₂ − m₁ − m₂ = 0.
Задания для ученика
- Следить за показателями; вывод: одного радикала мало.
Зал 18 · Башня радикалов
Башня a → x₁ → … → x_N; N-кратно вложенные коммутаторы возвращают все этажи (леммы 5.6-5.7).
Задания для ученика
- Посчитать значения, уровни и куски.
Зал 19 · Почему степень 4 решается
В S₄ коммутаторы чётных дают только V₄; кубика x³ + ax − 1.
Задания для ученика
- Найти 4 перестановки.
- Опасные значения кубики: сколько их и почему они образуют равносторонний треугольник.
Зал 20 · A₅ состоит из коммутаторов
Любая чётная — произведение 3-циклов и двойных транспозиций; теорема: при 5 элементах те и другие — коммутаторы чётных, (1 2 3) = [(1 2)(4 5), (1 2 3)] и (1 2)(3 4) = [(2 3 4), (1 2 4)]. Калькулятор [α, β].
Задания для ученика
- Коммутатор двух коммутирующих перестановок; связь [α, β] и [β, α].
- Посчитать коммутаторы в A₅ и A₄.
Зал 21 · Вложенная петля
[[ℓ₁, ℓ₂], [ℓ₂, ℓ₃]] даёт (1 5)(2 3), 16 простых кусков.
Задания для ученика
- Прочитать перестановку и посчитать куски.
Зал 22 · Ряд, который не убывает
A₅′ = A₅: всегда есть N-кратно вложенная петля, двигающая корни; у S₄ ряд убывает.
Задания для ученика
- Размеры ряда коммутантов.
Зал 23 · Исследователь петель
Многочлен на выбор (готовые Δ₅, S₅, Z₅, S₄, Δ₄, Z₄, Δ₃ или свой, с t в любом коэффициенте); движок рисует точки ветвления; петли от руки и готовые; группа монодромии в свободной игре.
Задания для ученика
- Шесть заданий на готовых примерах.
- Свободная игра с группой на экране.
Зал 24 · Группа монодромии
Простые петли порождают группу Галуа; разрешима ⇔ есть формула.
Задания для ученика
- Узнать Δ₅, S₄, Z₄, Δ₄ и S₅.
- Какое уравнение имеет формулу.
Зал 25 · Твоё решаемое уравнение пятой степени
Открытие: построить уравнение пятой степени с разрешимой группой, отличное от x⁵ + t.
Задания для ученика
- Найти такое (подсказка после 3 попыток, выход после 6).
Зал 26 · Доказательство целиком
Семь шагов раздела 5.10.
Задания для ученика
- Упорядочить их, найти ложный шаг, что ломается в степени 4.
Зал 27 · Степень 5 и выше
xⁿ − xⁿ⁻⁴ + axⁿ⁻⁵ = xⁿ⁻⁵(x⁵ − x + a); сдержанная история: Руффини, Абель, Галуа, Арнольд.
Задания для ученика
- Четыре итоговых вопроса.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.