Дидактические цели
Геометрия, которую ты учил в школе, — не единственно возможная: она зависит от формы пространства, в котором ты живёшь. Как бы это обнаружил житель, который никогда не может покинуть свой мир, чтобы взглянуть на него «снаружи»? Этот лаб для старших классов отвечает на вопрос через сквозного персонажа — муравья-счётчика углов, который может измерять только углы и расстояния, — и проходит через три полные геометрии (плоскую, сферическую, гиперболическую) за 24 зала, используя настоящие рендеры в 2D и 3D (Three.js) вместо одних формул.
Чему учит лаб
- Начинается с плоского треугольника: как бы ни двигались его вершины, сумма углов всегда равна 180° — признак мира Евклида, доказываемый проведением параллели через противоположную вершину.
- Ставится вопрос, который движет всем лабом: можно ли получить больше 180°? — ответ даётся вращением и увеличением треугольника на настоящей сфере, где сумма растёт вместе с размером треугольника.
- Исследуется диск Пуанкаре — плоская модель гиперболического мира, где граница представляет бесконечность, а сумма углов треугольника всегда меньше 180°.
- Диск связывается с реальной трёхмерной поверхностью — гиперболоидом, показывая, что оба являются разными картами одного искривлённого мира.
- Изучается пятый постулат Евклида (о параллельных) и его провал в обе стороны: на сфере параллельных вообще нет (любые две геодезические пересекаются), а в гиперболическом диске через одну точку проходит бесконечно много параллельных (Лобачевский, Бойяи, 1830–1832).
- Ученик обнаруживает связь между замощениями {p,q} и кривизной: оставляют ли многоугольники вокруг вершины зазор, накладываются ли друг на друга или подходят точно — это определяет, будет ли получившийся мир сферическим, гиперболическим или плоским, — всё решается неравенством 1/p + 1/q относительно 1/2.
- Вводится теорема Жирара: площадь сферического треугольника вычисляется только по избытку его углов, без линейки — а также её гиперболический аналог, угловой дефицит.
- Рассматриваются классические загадки: кратчайший путь между двумя городами (почему трансатлантические рейсы «изгибаются» на карте), загадка 10 км (почему Северный полюс — не единственный ответ) и почему карты лгут (проекция Меркатора раздувает Гренландию).
- Лаб завершается вопросом, какую форму имеет реальная Вселенная, используя угловой размер пятен реликтового излучения как космический транспортир муравья.
- Зал с замощением загруженного фото позволяет увидеть через собственный шейдер, как изображение бесконечно повторяется к границе гиперболического диска — как в гравюрах Эшера.
Ключевые математические идеи
- Сумма углов треугольника зависит от кривизны пространства: ровно 180° на плоскости (K=0), больше 180° на сфере (K>0), меньше 180° в гиперболическом диске (K<0).
- Пятый постулат Евклида (существование единственной параллели) независим от остальных четырёх: отрицая его двумя разными способами, получаем две другие непротиворечивые геометрии.
- Теорема Жирара (площадь сферы = угловой избыток × R²) и её гиперболический аналог (площадь = угловой дефицит) позволяют измерять площадь без линейки, только транспортиром.
- Правильные замощения {p,q} существуют ровно тогда, когда 1/p + 1/q больше, равно или меньше 1/2, что соответствует сферическому, плоскому и гиперболическому миру.
- Житель, находящийся внутри искривлённого мира, может вывести его геометрию, измеряя только локальные углы и расстояния, без необходимости «выйти» в более высокое измерение — центральная идея внутренней кривизны (Гаусс, Риман).
- Любая проекция сферы на плоскость обязательно что-то искажает (углы, площади или расстояния): идеальной карты искривлённого мира не существует.
Содержание по залам
Зал 1 · Плоский треугольник
Ученик свободно перетаскивает вершины треугольника на 2D-поле, пока 🐜 муравей-счётчик углов измеряет три внутренних угла. Как бы ни менялась форма треугольника, сумма всегда остаётся 180° — признак плоского мира Евклида.
Задания для ученика
- Перетащить вершины, попробовав несколько форм треугольника.
- Убедиться, что сумма трёх углов всегда равна 180°.
Зал 2 · Муравей обходит треугольник
Второй муравей идёт по трём сторонам треугольника и в каждой вершине прибавляет внутренний угол к видимому счётчику. Завершив обход, счётчик всегда показывает 180°, подтверждая с другой стороны — через обход, а не статичное измерение — то же свойство из зала 1.
Задания для ученика
- Двигать вершины и наблюдать, как меняется счётчик во время обхода.
- Убедиться, что накопленный счётчик всегда достигает 180° при завершении обхода.
Зал 3 · Доказательство Евклида
Представлено классическое доказательство того, почему сумма углов треугольника равна 180°: через вершину C проводится параллель к стороне AB, и внутренние накрест лежащие углы с секущими AC и BC оказываются равны углам A и B, вместе образуя развёрнутый угол.
Задания для ученика
- Проследить шаг за шагом построение параллели через C.
- Определить накрест лежащие углы и объяснить, почему их сумма с углом в C даёт 180°.
Зал 4 · Возможно ли больше 180°?
Концептуальный мост: доказательство Евклида зависит от возможности провести параллель — пятого постулата. Ставится вопрос, который движет остальной частью лаба: что произошло бы на поверхности, где параллельных не существует?
Задания для ученика
- Прочитать, почему доказательству Евклида нужен пятый постулат.
- Сформулировать гипотезу о том, что произошло бы без параллельных.
Зал 5 · Толстый треугольник
На настоящем 3D-глобусе (Three.js) «прямыми» являются большие круги. Ученик вращает сферу и увеличивает треугольник ползунком: сумма его углов превышает 180° и растёт с размером треугольника — то, что муравей может заметить, не покидая своего сферического мира.
Задания для ученика
- Повращать глобус и рассмотреть сферический треугольник с разных углов.
- Увеличить треугольник ползунком и убедиться, что сумма углов растёт выше 180°.
Зал 6 · Кратчайший путь
Рейс из Нью-Йорка в Мадрид не рисует прямую линию на плоской карте — он изгибается над Гренландией. Ученик узнаёт, что на сфере кратчайший путь между двумя точками всегда является большим кругом, а не параллелью широты или прямой на плоской карте.
Задания для ученика
- Проследить за реальным маршрутом рейса в сравнении с прямой линией на плоской карте.
- Объяснить, почему большой круг — кратчайший путь на сфере.
Зал 7 · На сфере нет параллельных
Муравей идёт по сфере по прямой линии (большому кругу), пока телеобъектив камеры начинает с очень узкого поля зрения (10°), где сфера кажется плоской, а затем расширяется до 45°, раскрывая кривизну. Затем ученик отмечает две точки и проводит свой собственный большой круг.
Задания для ученика
- Понаблюдать, как меняется восприятие кривизны при расширении поля зрения с 10° до 45°.
- Отметить две собственные точки и провести соединяющий их большой круг.
Зал 8 · Параллельные на сфере
Два самолёта вылетают с экватора перпендикулярно ему, на расстоянии 1000 км друг от друга. Хотя они начинают в «параллельных» направлениях, их маршруты (меридианы) сходятся на Северном полюсе: на сфере параллельных прямых не существует — любая пара геодезических в итоге пересекается.
Задания для ученика
- Проследить за симуляцией двух самолётов, вылетающих с экватора.
- Объяснить, почему два маршрута, начинающиеся параллельно, в итоге пересекаются на сфере.
Зал 9 · Тонкий треугольник
Представлен диск Пуанкаре: граница представляет бесконечность, а «прямые» — это дуги, пересекающие её перпендикулярно. Ученик перетаскивает вершины гиперболического треугольника и убеждается, что здесь сумма углов никогда не достигает 180° — мир отрицательной кривизны.
Задания для ученика
- Перетащить вершины треугольника внутри диска Пуанкаре.
- Убедиться, что сумма углов всегда остаётся меньше 180°.
Зал 10 · Гиперболоид
Диск Пуанкаре — лишь плоское фото настоящей искривлённой поверхности: гиперболоида. Ученик вращает эту поверхность отрицательной кривизны в 3D и увеличивает треугольник, видя одновременно треугольник на поверхности и его тень, проецируемую на диск — две карты одного мира.
Задания для ученика
- Повращать гиперболоид в 3D и рассмотреть треугольник на поверхности.
- Сравнить треугольник на гиперболоиде с его проекцией на диск Пуанкаре.
Зал 11 · Бесконечно много параллельных: Лобачевский
В гиперболическом диске пятый постулат тоже не выполняется, но в обратную сторону по сравнению со сферой: через точку вне прямой проходит бесконечно много геодезических, никогда её не пересекающих. Ученик перетаскивает точку P и наблюдает динамические параллельные — открытие, сделанное независимо Лобачевским (1830) и Бойяи (1832).
Задания для ученика
- Перетащить точку P и понаблюдать, как меняются геодезические, параллельные данной прямой.
- Посчитать, сколько различных параллельных можно провести через P.
Зал 12 · Гиперболоид: параллельные в 3D
У гиперболической геометрии есть трёхмерная модель: верхняя пола гиперболоида. Каждая точка диска Пуанкаре соответствует точке на этой поверхности, а геодезические из предыдущего зала теперь становятся настоящими кривыми на гиперболоиде. Через M проходит бесконечно много параллельных к D.
Задания для ученика
- Повращать 3D-гиперболоид и найти точку M и прямую D.
- Убедиться, что, как и в диске, через M проходит бесконечно много параллельных к D.
Зал 13 · Гиперболические расстояния
Пять кругов имеют совершенно одинаковый размер на экране. В гиперболической метрике диска Пуанкаре пространство «сжимается» к границе, поэтому то, что выглядит одинаково большим на экране, может быть гиперболически намного больше, чем ближе оно к краю.
Задания для ученика
- Сравнить видимый размер пяти кругов на экране.
- Объяснить, почему в реальной гиперболической метрике они представляют не одинаковый размер.
Зал 14 · Какие замощения помещаются?
Ученик размещает q многоугольников с p сторонами вокруг одной точки. Если остаётся зазор, получившийся мир замыкается в сферу; если они подходят точно — мир плоский; если накладываются — помещаются, только искривляясь внутрь (гиперболический). То же неравенство 1/p + 1/q относительно 1/2 определяет, в каком мире мы находимся.
Задания для ученика
- Попробовать разные комбинации p и q и посмотреть, остаётся ли зазор, подходят ли они точно или накладываются.
- Связать результат со значением 1/p + 1/q по сравнению с 1/2.
Зал 15 · Искриви пространство
Снова берётся фигура вершины из предыдущего зала, и пространство искривляется в 3D: когда остаётся зазор, многоугольники складываются и замыкаются, образуя угол многогранника (сфера); когда они накладываются, не помещаются на плоскости и нужен гиперболический мир, чтобы их вместить.
Задания для ученика
- Искривить пространство с фигурой вершины, оставлявшей зазор, и посмотреть, как она замыкается в многогранник.
- Повторить с фигурой, которая накладывалась, и убедиться, что ей нужен гиперболический мир.
Зал 16 · Замощение без конца
Ученик видит, что происходит при замощении гиперболической плоскости правильными многоугольниками: многоугольники кажутся уменьшающимися к краю диска, но в настоящей гиперболической геометрии все они одинаковы — это диск Пуанкаре сжимает бесконечность внутрь круга.
Задания для ученика
- Рассмотреть полное гиперболическое замощение внутри диска.
- Объяснить, почему многоугольники, кажущиеся меньше у края, на самом деле такого же размера, что и в центре.
Зал 17 · Замости свою фотографию
Шейдер WebGL рисует гиперболическое замощение {p, q} пиксель за пикселем. Ученик загружает свою фотографию и выбирает режим: «Целая фотография» показывает её целиком (искривлённой) в каждой ячейке, «Калейдоскоп» разбивает её зеркалами. Изображение бесконечно повторяется к краю, как в гравюрах Эшера.
Задания для ученика
- Загрузить фотографию и попробовать оба режима (целая фотография и калейдоскоп).
- Изменить значения p и q и понаблюдать, как меняется получившееся замощение.
Зал 18 · Площадь без линейки
Представлена теорема Жирара: площадь сферического треугольника равна его угловому избытку (сумма минус 180°), умноженному на R². Так муравей может вычислить площадь области своего мира, используя только транспортир, без всякой линейки.
Задания для ученика
- Измерить три угла заданного сферического треугольника.
- Вычислить его площадь по теореме Жирара (избыток × R²).
Зал 19 · Загадка 10 км
Классическая загадка на ориентирование: ты идёшь 10 км на север, 10 км на восток и 10 км на юг и возвращаешься точно в исходную точку. Где ты находишься? Самый известный ответ — Северный полюс, но ученик обнаруживает, что существует бесконечно много других решений — рядом с Южным полюсом.
Задания для ученика
- Проверить, почему Северный полюс удовлетворяет условиям загадки.
- Исследовать дополнительное семейство решений рядом с Южным полюсом.
Зал 20 · Гиперболическая площадь
В гиперболическом диске площадь треугольника равна его угловому дефициту: π минус сумма (A+B+C). Чем больше треугольник, тем меньше становятся его углы, вплоть до идеального треугольника с нулевыми углами и максимальной площадью π·R².
Задания для ученика
- Сравнить гиперболические треугольники разного размера и их углы.
- Вычислить площадь треугольника по его угловому дефициту и проверить предельный случай идеального треугольника.
Зал 21 · Карты лгут
Невозможно распрямить сферу на плоскости, ничего не исказив. Проекция Меркатора сохраняет углы, но сильно раздувает области у полюсов: на карте Гренландия кажется размером с Африку, хотя Африка на самом деле в 14 раз больше.
Задания для ученика
- Сравнить размер Гренландии и Африки в проекции Меркатора.
- Объяснить, почему ни одна плоская проекция сферы не может избежать всех искажений.
Зал 22 · Муравей измеряет кривизну
Житель, находящийся внутри искривлённого мира, не может увидеть его снаружи, но может измерять локальные углы. Ключевая идея: в искривлённом мире сумма углов большого треугольника отклоняется от 180° тем больше, чем больше сам треугольник. Ученик двигает регулятор и наблюдает, как растёт этот сигнал кривизны.
Задания для ученика
- Подвигать регулятор размера треугольника и понаблюдать, как сумма углов отклоняется от 180°.
- Связать величину этого отклонения с кривизной мира.
Зал 23 · Какова форма Вселенной?
Реликтовое излучение (CMB) — самый древний свет наблюдаемой Вселенной. Угловой размер его горячих и холодных пятен зависит от кривизны пространства: больше 1°, если кривизна положительна, ровно 1°, если плоская, меньше 1°, если отрицательна — космический транспортир муравья-счётчика углов.
Задания для ученика
- Прочитать, как угловой размер пятен реликтового излучения раскрывает кривизну Вселенной.
- Связать три случая (K>0, K=0, K<0) с тремя мирами, изученными в лабе.
Зал 24 · Три мира
Итоговое резюме: плоский, сферический и гиперболический — три непротиворечивые геометрии, каждая со своим ответом на вопросы, поставленные Евклидом. Ученик просматривает сравнительную таблицу и убеждается, что уже знает каждое из её ключевых свойств.
Задания для ученика
- Просмотреть сравнительную таблицу трёх миров.
- Для каждого свойства в таблице определить, в каком зале лаба оно было открыто.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.