Гомоморфизмы и автоморфизмы

Третья лаборатория по теории групп, для первого курса. Идёт после «Смежных классов и факторгрупп» и изучает отображения между группами, сохраняющие структуру: что теряется, что сохраняется и когда две группы по сути одно и то же.

Главная идея — гомоморфизм это отображение, сохраняющее стрелки: каждый элемент G зажигается, стрелка уводит его в образ, а степени образующего переходят в степени его образа. То, что отображение схлопывает, — ядро, то, что оно достигает, — образ, а первая теорема об изоморфизме связывает их с факторгруппой из прошлой лаборатории. Дальше ученики узнают изоморфные группы, раскладывают группы в произведения и считают автоморфизмы, затем куб даёт гомоморфизм S₄ в S₃, а в последнем зале — зоопарк факторгрупп G/N ≅ Q. Следующая лаборатория — «Центр, коммутаторы и разрешимые группы».

Чему учатся

• Понимать гомоморфизмы как отображения, сохраняющие стрелки, и на испытательном стенде видеть, когда выбор образов образующих задаёт гомоморфизм, а когда даёт противоречие.
• Находить ядро и образ и пользоваться формулой |G| = |ядро| · |образ|.
• Формулировать и видеть первую теорему об изоморфизме: G/ядро ≅ образ.
• Видеть, что порядок φ(g) делит порядок g, а при инъективном φ (в частности, при изоморфизме) сохраняется; находить порядки в Z₁₃* и Z₂₁* и с их помощью считать гомоморфизмы и исключать изоморфизмы.
• Подбирать пары изоморфных групп (V₄ и Z₂×Z₂, Z₂×Z₃ и Z₆, Δ₃ и S₃…) и замечать группы без пары.
• Узнавать прямые произведения на диаграммах и решать, когда Zₘ×Zₙ циклична: ровно тогда, когда НОД(m, n) = 1.
• Решать, является ли группа произведением, по инвариантам: распределению порядков и абелевости.
• Находить автоморфизмы Zₙ (r ↦ rᵏ при НОД(k, n) = 1) и видеть, что Aut(Zₙ) ≅ Uₙ.
• Считать автоморфизмы Z₂×Z₂ и других малых групп, а также гомоморфизмы S₄ в S₃.

Ключевые математические идеи

• Гомоморфизм определяется на образующих. Достаточно сказать, куда они идут; если соотношения не сохраняются, появляется противоречие.
• Ядро всегда нормально, а образ — подгруппа в целевой группе. В лаборатории ядро окрашено в фиолетовый, образ — в янтарный.
• Первая теорема об изоморфизме. Свёртка таблицы по ядру даёт ровно таблицу образа, с теми же цветами.
• ord φ(g) делит ord g. Потому что φ(g)ⁿ = φ(gⁿ) = e. Если φ инъективен, порядки равны, поэтому у изоморфных групп одинаковое распределение порядков.
• Zₘ×Zₙ ≅ Zₘₙ, если НОД(m, n) = 1. Иначе в произведении нет элемента порядка mn.
• Aut(Z₈) ≅ Z₂×Z₂ и Aut(Z₂×Z₂) ≅ S₃. Автоморфизмы сами образуют группу со своей структурой.
• Гомоморфизмов S₄ в S₃ ровно 10. Шесть из них сюръективны (ядро V₄ из 4 элементов), три имеют образ из 2 элементов, один тривиален.
• Повороты куба переставляют три его оси. Это даёт гомоморфизм S₄ в S₃ с ядром из 4 элементов (Арнольд).
• Факторгруппу узнают по её таблице. Если свернуть таблицу G по классам N, получается таблица знакомой группы: Δ₈/Z(Δ₈) ≅ Δ₄, Q₈/Z(Q₈) ≅ Z₂×Z₂, A₄/V₄ ≅ Z₃… Изоморфизм говорит, какой класс в какой элемент идёт, и он не единственный.

Источники

Рисунки, испытательный стенд гомоморфизмов и изоморфизмы — по книге Натана Картера Visual Group Theory (MAA, 2009). Гомоморфизм куба — по книге В. Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях» по лекциям В. И. Арнольда.

Заметки для урока

• «Отображения, сохраняющие стрелки»: пусть ученики пробуют нелепые назначения; красное противоречие (например, Z₃ → Z₂ при r ↦ r) учит больше, чем верное назначение.
• «Ядро и образ» и «Первая теорема об изоморфизме» лучше проходить подряд, держа перед глазами таблицу по блокам.
• В «Изоморфных парах» есть ловушки: группы без пары. Просите обосновать инвариантом.
• «Куб и его три оси» можно показать на проекторе: куб вращается, а оси считают вслух.
• «Зоопарк факторгрупп» завершает лабораторию: показать Δ₈/Z(Δ₈) ≅ Δ₄ и до сворачивания спросить, на какую группу из 8 элементов она будет похожа; затем Z₄×Z₂ по двум разным подгруппам из 2 элементов даёт две разные факторгруппы.