Дидактические цели
Первая лаборатория серии по теории групп, для старших классов или первого курса. Дальше — «Смежные классы и факторгруппы», «Гомоморфизмы и автоморфизмы» и «Центр, коммутаторы и разрешимые группы».
Группа здесь начинается не с аксиом, а с действий, оставляющих объект на месте: телефон, который четырьмя способами возвращается на своё место на столе, треугольник в рамке, вращающийся тетраэдр. Каждое положение — это ещё и действие (то, что переводит из начала в него), а выполнение действий подряд — это умножение. Затем одна и та же группа изображается тремя способами (диаграмма Кэли, цветная таблица умножения и граф циклов), и ученик учится узнавать её, даже когда рисунок меняется.
Соглашение — как у Картера: ab означает «сначала a, потом b», то есть идти по стрелкам диаграммы и читать формулу кубика Рубика слева направо.
Чему учатся
- Узнавать группу в симметриях объекта и называть её элементы словами из образующих (r, f, r²f…).
- Четыре правила группы (фиксированные действия, которые можно отменить, предсказуемые и выполнимые подряд) и их перевод на язык аксиом из учебников.
- Строить и читать диаграммы Кэли: проходить по словам, видеть, что два пути в одну вершину — это равенство, менять образующие и замечать невозможные диаграммы.
- Заполнять и читать таблицу умножения: свойство судоку, нейтральный элемент, обратные и симметрию относительно диагонали у абелевой группы.
- Находить порядок элемента и читать его по графу циклов.
- Работать с перестановками: запись циклами, композиция, чётность, Sₙ и Aₙ.
- Решать, изоморфны ли две группы, сравнивая инварианты (порядок, абелевость, распределение порядков).
- Считать повороты тетраэдра, куба и икосаэдра по типам осей и узнавать A₄, S₄ и A₅.
- Видеть трёхмерные диаграммы Кэли как орбиты точки и читать по их граням соотношения между образующими.
- Находить порядок формул кубика Рубика 2×2×2.
Ключевые математические идеи
- Положение — это действие. В действии важно, где оказался объект, а не как он двигался по пути.
- Порядок иногда важен. У телефона hv = vh; у квадрата rf ≠ fr = r³f.
- Два пути, одна вершина, одно равенство. Соотношения вроде r³ = e или fr = r²f видны как замкнутые пути на диаграмме.
- В каждой строке таблицы каждый элемент встречается один раз, потому что любое действие можно отменить.
- Для маленьких групп изоморфизм решают инварианты. Группа телефона — не Z₄ (в ней нет элементов порядка 4); Q₈ — не Δ₄ (1 против 5 элементов порядка 2).
- Правильные многогранники прячут A₄, S₄ и A₅. 24 поворота куба переставляют 4 его диагонали всеми 24 возможными способами.
Источники
Диаграммы, четыре правила и идея «положение = действие» — по книге Натана Картера Visual Group Theory (MAA, 2009). Подход через задачи и группы вращений многогранников — по книге В. Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях» по лекциям В. И. Арнольда. Код Group Explorer не используется.
Заметки для урока
- «Телефон в чехле» можно провести с настоящим телефоном до открытия лаборатории: сколькими способами он возвращается на своё место на столе?
- «Квадрат: r и f»: стоит задержаться на заданиях про rf и fr — здесь впервые важен порядок.
- Трёхмерные залы хорошо смотрятся на проекторе; вид поворачивается перетаскиванием, а повороты делаются нажатием на концы осей.
- «Зоопарк групп» полезен и как справочник во время второй лаборатории.
Содержание по залам
Зал 1 · Телефон в чехле
Нарисованный телефон с лицевой стороной (экран, часы) и обратной (камеры), который можно повернуть на пол-оборота, перевернуть слева направо или сверху вниз, с анимацией. Галерея заполняется найденными положениями, не говоря, сколько их; на четырёх действия получают имена e, r, h, v и комбинируются. Рассчитано на телефон: учитель может сначала показать это на своём.
Задания для ученика
- Найти четыре положения.
- Решить, какое одно действие равно двум или трём подряд (пять заданий).
Зал 2 · Треугольник в выемке
Треугольник с пронумерованными вершинами и двумя сторонами разного цвета; действия — поворот на 120° и переворот. Ищутся шесть положений, потом треугольник переводится в целевые положения за минимальное число ходов (если дольше — возврат в начало). В конце пятиугольник: 2n положений, группа Δₙ.
Задания для ученика
- Найти шесть положений.
- Дойти до трёх целей за минимальное число ходов.
- Сосчитать положения пятиугольника.
Зал 3 · Квадрат: r и f
8 положений квадрата и их имена rᵏ и rᵏf, читаемые слева направо. Задания «где окажется после rf, fr, r²f…?» с иконками положений. rf и fr различаются: первая неабелева группа.
Задания для ученика
- Сосчитать положения квадрата.
- Определить положение для пяти слов.
Зал 4 · Четыре правила
Четыре правила Картера (фиксированные действия, которые отменяются, предсказуемы и выполняются подряд) и шесть примеров: группа ли это и какое правило нарушено — случайный поворот, часы, покраска, идеальная тасовка, добавление камней, кубик Рубика.
Задания для ученика
- Решить в шести примерах, есть ли группа, и если нет, какое правило нарушено.
Зал 5 · Карта телефона
Когда телефон двигается, его диаграмма Кэли рисуется сама: узел на каждое положение (с иконкой) и линия цвета каждого действия. Потом по карте проходятся слова.
Задания для ученика
- Достроить карту.
- Пройти четыре слова и сказать, где они заканчиваются.
Зал 6 · Карта треугольника
Диаграмма Δ₃ из двух концентрических треугольников: внутренний проходит r в обратную сторону. Ученик нажимает узел, куда приводит слово; rf и fr ведут в разные места.
Задания для ученика
- Пройти четыре слова.
- Сравнить rf и fr.
- Объяснить, почему внутренний треугольник идёт в обратную сторону.
Зал 7 · Два пути — одно место
Два пути в одну вершину — это равенство: r³ = e, f² = e, fr = r²f. Задания: записать более короткое слово, равное данному (Δ₃ и Δ₄), с экранной клавиатурой; принимается любой верный ответ, оба пути анимируются.
Задания для ученика
- Укоротить шесть слов.
Зал 8 · Другие образующие — другой рисунок
Δ₃ с двумя отражениями даёт шестиугольник; Z₆ с r² и r³ — призму. Та же группа, другой рисунок. Какие элементы порождают Z₆.
Задания для ученика
- Узнать одну группу на двух диаграммах.
- Решить, какие степени r порождают Z₆.
Зал 9 · Невозможные диаграммы
Пять диаграмм: в одной не хватает стрелки, в другой из узла выходят или входят две стрелки одного цвета, ещё одна нерегулярна, и одна правильная. Нужно сказать, что не так.
Задания для ученика
- Разобрать пять диаграмм.
Зал 10 · Таблица из карты
Клетка (a, b) = пойти в a и пройти путь b, с анимацией на диаграмме. Заполняются клетки Z₄ и Δ₃; (r, f) и (f, r) получаются разными.
Задания для ученика
- Заполнить шесть клеток.
Зал 11 · Очень особое судоку
В каждой строке и столбце каждый элемент встречается один раз, потому что всё отменяется. Заполнить таблицы Z₄, Z₂×Z₂ и Z₅ только по этому правилу и узнать таблицы, которые не могут быть групповыми (повтор строки, нет единицы, неассоциативность с конкретной тройкой).
Задания для ученика
- Заполнить три таблицы.
- Найти невозможную таблицу в трёх наборах.
Зал 12 · Читаем цветную таблицу
Таблицы только из цветов: абелева ⇔ симметрична относительно диагонали; найти единицу и обратные.
Задания для ученика
- Решить, абелевы ли три таблицы.
- Найти единицу и два обратных.
Зал 13 · Повторять, пока не вернёшься
Порядок элемента на часах Z₁₂ (фишка проходит его степени) и на квадрате.
Задания для ученика
- Найти семь порядков.
Зал 14 · Графы циклов
Каждый элемент и его степени образуют цикл через e. Сосчитать элементы каждого порядка и узнать группу по графу.
Задания для ученика
- Сосчитать элементы порядка 2 и 4 в трёх группах.
- Узнать два графа.
Зал 15 · Перестановки
Диаграммы проводов и запись циклами (принимается любая равносильная запись). Композиция перестановок; Δ₃ — это перестановки вершин: Δ₃ = S₃.
Задания для ученика
- Записать две перестановки циклами.
- Скомпоновать две пары перестановок.
- Опознать r и f как перестановки.
Зал 16 · Умножение перестановок
Каждое число прослеживается по двум диаграммам проводов одна под другой: сначала σ, потом τ, слева направо (с предупреждением, что во многих книгах пишут наоборот). Задание с разбором по числам, затем произведения в S₃ и S₄ в записи циклами, στ против τσ, квадраты и обратные.
Задания для ученика
- Найти восемь произведений, квадратов и обратных перестановок.
Зал 17 · Всё решает цикловой тип
Порядок перестановки — НОК длин её циклов, что проверяется повторением. Степени и обратные циклов, подсчёт по типам в S₄ и S₅.
Задания для ученика
- Найти порядки, степени и обратные.
- Сосчитать перестановки данного типа в S₄.
Зал 18 · Чётные и нечётные
Два совпадающих определения чётности: по пересечениям проводов (наглядное) и по транспозициям, k − 1 на цикл (классическое); Aₙ — чётные перестановки.
Задания для ученика
- Определить чётность четырёх перестановок.
- Назвать |A₄| и |A₅|.
Зал 19 · Та же группа?
Анимация превращения Z₂×Z₃ в Z₆. Пять вопросов об изоморфизме, решаемых по инвариантам (порядок, абелевость, распределение порядков).
Задания для ученика
- Решить пять вопросов об изоморфизме.
Зал 20 · Переименовать, ничего не сломав
f(ab) = f(a)f(b) на двух таблицах рядом, Z₄ и Z₅*: выбирается f(r), виден словарь, и клетки проверяются по одной (зелёная или красная). Таблица Z₅* раскрашивается цветами Z₄ через f. Также Δ₃ → S₃ и телефон против Z₈*.
Задания для ученика
- Построить изоморфизм Z₄ → Z₅*.
- Найти клетку, где ломается биекция, не являющаяся гомоморфизмом.
Зал 21 · Z₈ — это не Z₄×Z₂
Три анимации: гонка порядков, попытка изоморфизма, которая не удаётся ни для одного образа r, и графы циклов рядом. Z₂×Z₂×Z₂ как третья абелева группа порядка 8.
Задания для ученика
- Решить семь заданий о порядках и изоморфизме.
Зал 22 · Умножение по модулю n
Обратимые остатки по модулю n образуют группу Z*ₙ: часы умножения и таблица. Порядки, первообразные корни и опознание: Z₅* ≅ Z₄, Z₈* ≅ Z₂×Z₂, Z₇* ≅ Z₆, Z₁₅* ≅ Z₄×Z₂.
Задания для ученика
- Найти обратимые остатки.
- Найти порядки.
- Опознать четыре группы Z*ₙ.
Зал 23 · Теорема Кэли
Каждый элемент g двигает узлы своей же диаграммы (x ↦ xg): эти стрелки — перестановка, и любая группа — подгруппа Sₙ. Анимированный пример Z₃ ⊂ S₃; перестановки Z₄ и V₄; затем поиск в S₄ (палитра из её 24 элементов) подгрупп, изоморфных Z₄, Z₂, V₄ и Δ₄, и обе диаграммы рядом с теми же положениями и цветами.
Задания для ученика
- Прочитать три перестановки регулярного представления.
- Найти в S₄ подгруппы, изоморфные Z₄, Z₂, V₄ и Δ₄.
Зал 24 · Повороты тетраэдра
Трёхмерный тетраэдр с осями, на которые нажимают, чтобы повернуть. Сосчитать оси и повороты: 12 ≅ A₄.
Задания для ученика
- Сосчитать оси и повороты по типам.
- Скомпоновать два поворота.
- Узнать A₄.
Зал 25 · Повороты куба
24 вращения по типам осей (грани, диагонали, рёбра). С раскрашенными четырьмя диагоналями видно, что это S₄.
Задания для ученика
- Сосчитать повороты каждого типа.
- Узнать S₄.
Зал 26 · Повороты икосаэдра
60 вращений: 24 вокруг вершин, 20 вокруг граней, 15 вокруг рёбер и e ≅ A₅. В каждом задании видны только нужные оси.
Задания для ученика
- Сосчитать оси и повороты по типам.
- Узнать A₅.
Зал 27 · Диаграммы Кэли в 3D
Диаграммы Кэли как орбита точки: A₄ — усечённый тетраэдр, S₄ — ромбокубооктаэдр, A₅ — усечённый икосаэдр. Порядки образующих читаются по граням.
Задания для ученика
- Сосчитать узлы.
- Прочитать порядки a и ab.
- Узнать многогранник S₄.
Зал 28 · Кубик Рубика 2×2×2
Трёхмерный кубик с анимированными поворотами и кнопкой повтора формулы со счётчиком. Порядок R, R U, R U', R U2, R U R' U' и R2 U2.
Задания для ученика
- Найти порядок шести формул.
Зал 29 · Зоопарк групп
Обозреватель групп до 12 элементов, S₄ и A₅: таблица, граф циклов, диаграмма Кэли и свойства. Шесть загадочных групп по их свойствам.
Задания для ученика
- Узнать шесть групп по свойствам.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.