Бесконечность: отель Гильберта и размеры бесконечности

Каких чисел больше — целых или чётных? Найдётся ли в заполненном бесконечном отеле место ещё для бесконечного числа гостей? Может ли множество иметь нулевую длину и при этом содержать столько же точек, сколько вся прямая? Этот лаб для бахильерато и университета, вне школьной программы, проходит по теории множеств и бесконечным мощностям Георга Кантора: от идеи биекции (той самой, которой пастухи пользовались, считая овец камешками) до необычного множества Кантора — через три классических парадокса бесконечности (Зенон, расходящиеся ряды, кувшин Росса — Литлвуда) и отель Гильберта.

Чему учимся

Главная идея: бесконечность ведёт себя не так, как большое число. Собственная часть бесконечного множества может быть того же размера, что и всё множество, и не все бесконечности равны — одни строго больше других, а над любой из них всегда есть ещё бо́льшая.

• Множества и биекция (залы 1-3). Что такое множество, его мощность и идея биекции на примере истории о пастухе и его овцах (камешки, которые кладут в мешок и вынимают из него).
• Три парадокса бесконечности (залы 4-6). Ахиллес и черепаха (сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечной), расходящиеся суммы (1-1+1-1+... и преобразование Эйлера; осторожно с перегруппировкой) и парадокс кувшина Росса — Литлвуда (бесконечно много карточек кладут и вынимают, и результат зависит от порядка).
• Счётная бесконечность, ℵ₀ (залы 7-12). Чётные числа и целые, натуральные и целые, бесконечный отель Гильберта (ещё один гость, ещё бесконечно много гостей, бесконечно много делегаций с помощью простых чисел) и рациональные числа, выписанные по диагоналям.
• Континуум, несчётное множество (залы 13-16). Диагональный аргумент Кантора для действительных чисел, почему маленький интервал имеет ту же мощность, что и вся прямая, почему прямая и плоскость равномощны, и теорема Кантора (множество всех подмножеств всегда больше).
• Множество Кантора (залы 17-21). Двоичные и троичные дроби, построение множества Кантора удалением средних третей, почему его мера равна 0 и почему оно всё же имеет мощность континуума.
• Завершение (залы 22-24). Континуум-гипотеза и её независимость (Гёдель/Коэн), итоговое повторение, которое возвращается к овцам из начала, и заключительная головоломка — игра с 3 фишками, где инвариант (2^-(m+n)) доказывает, что некоторые позиции недостижимы, сколько ни играй.

Ключевые математические идеи

• Биекция: два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, даже если одно «кажется» больше.
• Счётная бесконечность ℵ₀: мощность N, Z и Q; бесконечная собственная часть может иметь ту же мощность, что и целое.
• Диагональный аргумент Кантора: построение элемента, который отличается от каждого элемента списка в определённой позиции, показывает, что никакой список не может исчерпать множество; так доказывается и несчётность R, и теорема Кантора.
• Теорема Кантора: всегда |P(A)| > |A|, откуда возникает бесконечная башня всё бо́льших мощностей.
• Мощность континуума c: |R| = |R²| = |(0,1)|; число измерений не меняет количества точек.
• Мера и мощность: множество Кантора имеет длину 0, но мощность c — размер и количество элементов — разные понятия.
• Сходящиеся и расходящиеся ряды: геометрическую прогрессию со знаменателем |r|<1 можно спокойно суммировать; у ряда, который не сходится (например, 1-1+1-1+...), нет корректно определённой суммы, как бы ни хотелось приписать ему её алгебраически.
• Континуум-гипотеза: вопрос о том, существует ли мощность строго между ℵ₀ и c, не зависит от обычных аксиом теории множеств (Гёдель, 1940; Коэн, 1963).
• Инвариант (доказательство невозможности): если сопоставить каждому состоянию игры величину, которую правило сохраняет в точности, можно доказать, что некоторые состояния недостижимы, не перебирая все возможные ходы; та же идея, с другой формулой, встречается во многих классических комбинаторных задачах.