Дидактические цели
Вы вошли в весьма необычный игровой зал... Перед тобой — машины, превращающие одни предметы в другие. Как достичь своей цели? Всегда ли это возможно?
В семи совершенно разных сценариях — монеты, калькуляторы, чашки кофе, волшебные карточки, хамелеоны и сбережения — ученик учится доказывать, что некоторые результаты недостижимы, используя модульную арифметику.
Чему учимся
Ученик открывает, что многие задачи вида «возможно ли это?» решаются нахождением инварианта: чего-то, что все операции сохраняют и что говорит нам, достижима ли цель. На протяжении 19 залов в 7 прогрессивных блоках механика исследования и выдвижения гипотез всегда предшествует доказательству.
- В блоке Размен монет (залы 1–4) ученик применяет правила обмена и обнаруживает, что некоторые суммы недостижимы; зал 4 вводит понятие диофантова уравнения (монеты по 7 и 11).
- В блоках Калькулятор ×2/−3 и ×2/+3 (залы 5–9) экспериментирует, какие значения достижимы, а какие нет, используя модульную арифметику для обоснования.
- В блоке Кофе и молоко (залы 10–12) рассуждает о смешивании в трёх чашках и обнаруживает инвариант чётности, делающий определённое точное распределение невозможным.
- В Хогсмиде (залы 13–15) обменивает волшебные предметы на карточки и ищет максимально достижимый предел.
- В Хамелеонах (залы 16–17) выясняет, что остаток от деления на 3 разностей между цветами — это инвариант, определяющий, могут ли все хамелеоны объединиться в один цвет.
- В Chip-firing (залы 18–19) распределяет сбережения или «взрывает» ящики и распознаёт тот же инвариантный паттерн в контексте графов.
Ключевые математические идеи
- Инвариант — это величина, остающаяся неизменной после любой допустимой операции; если начальное и целевое состояния различаются по этой величине, цель недостижима.
- Модульная арифметика (остатки от деления) — стандартный инструмент вычисления инвариантов в задачах на обмен.
- Диофантово уравнение ax + by = c имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда НОД(a, b) делит c (применяется в блоке с монетами по 7 и 11).
- В задаче о хамелеонах инвариант — разность количеств по модулю 3; объединение возможно только тогда, когда все три популяции конгруэнтны между собой.
- Chip-firing (запуск чипов в графе) всегда сходится к одному и тому же конечному состоянию независимо от порядка запусков: ещё один инвариант, теперь уже процессный.
Содержание по залам
Зал 1 · Машина для обмена
Интерактивная машина для обмена монет: каждое нажатие меняет монету в 20 или 50 сентимов по правилам 20 = 5+5+10 и 50 = 20+20+10. Понятие инварианта вводится через общую сумму в сентимах.
Задания для ученика
- Нажимать на монеты, чтобы менять их по правилам.
- Получить ровно 6 монет по 5 сентимов.
Зал 2 · Ровно 14 монет
Правила меняются: теперь 50 → 10×5. Начиная с двух монет по 50 и двух по 20, нужно получить ровно 14 монет. Первое задание с конкретной числовой целью — счётчиком монет.
Задания для ученика
- Спланировать, какие монеты менять, чтобы получить нужное количество.
- Добиться ровно 14 монет в сумме.
Зал 3 · Ровно 11 монет?
С теми же правилами и той же начальной конфигурацией, что и в предыдущем зале, ученик пытается получить ровно 11 монет. Чётность количества монет — это инвариант, делающий задачу невозможной.
Задания для ученика
- Попытаться получить 11 монет и убедиться, возможно ли это.
- Поразмышлять, почему число 11 недостижимо с этими правилами.
Зал 4 · Странное королевство монет
В королевстве с монетами по 7 и 11 рунов Пси должен 2 руна Фи. Передавая монеты от одного персонажа другому, нужно погасить долг точно. Вводится диофантово уравнение 7a − 11b = 2 в конкретной форме.
Задания для ученика
- Нажимать на монеты, чтобы они переходили от одного персонажа к другому.
- Добиться, чтобы разница между балансами стала 0 (долг погашен).
Зал 5 · Дойди до 21
Калькулятор с двумя кнопками (×2 и −3), начинающий с числа 3. Ученик должен найти последовательность нажатий, приводящую к 21, исследуя, как арифметика по модулю 3 служит инвариантом.
Задания для ученика
- Нажимать ×2 и −3 в нужном порядке, чтобы получить 21.
Зал 6 · Дойди до 39
Тот же калькулятор ×2/−3, новая цель: 39. Ученик закрепляет стратегию и замечает, что определённые остатки по модулю 3 всегда достижимы из 3.
Задания для ученика
- Найти последовательность нажатий, чтобы получить 39.
Зал 7 · Получится ли 7?
Тот же калькулятор ×2/−3. Цель — число 7, которое недостижимо из 3 с этими операциями. Зал предлагает открыть инвариант, делающий это невозможным.
Задания для ученика
- Попробовать получить 7 и убедиться, что это невозможно.
- Найти свойство числа, делающее его недостижимым.
Зал 8 · Дойди до 34
Операции меняются на ×2 и +3, начиная с 1. Ученик исследует новый инвариант. Задание: дойти до 34.
Задания для ученика
- Использовать ×2 и +3 от 1, чтобы получить 34.
Зал 9 · А до 15?
Тот же калькулятор ×2/+3 от 1. Цель — 15, тоже недостижимая. Ученик должен открыть новый инвариант, блокирующий это значение.
Задания для ученика
- Попытаться дойти до 15 и обнаружить, почему это невозможно.
- Сравнить этот инвариант с инвариантом предыдущего блока.
Зал 10 · Кофе на троих — простое задание
Три кружки по 384 мл с разным соотношением кофе и молока (Аня: весь кофе; Бея: половина; Клара: всё молоко). Операция X↔Y передаёт 1/3 кружки X в Y, которая возвращает столько же. Первое задание с простой целью: Аня=225, Бея=168, Клара=183 мл кофе за 4 шага или меньше.
Задания для ученика
- Выбирать пары кружек для обмена и найти последовательность из 4 шагов.
- Убедиться, что общее количество кофе (576 мл) сохраняется в любой момент.
Зал 11 · Кофе на троих — трудное задание
Тот же сценарий с тремя кружками. Новая, более точная цель: Аня=204, Бея=189, Клара=183 мл кофе. Требуется больше шагов и тщательный выбор обменов, сохраняющих инвариант.
Задания для ученика
- Найти последовательность обменов, приводящую к нужному распределению.
Зал 12 · А ровно 1/2?
Тот же сценарий. Ученик пытается дать Ане ровно 1/2 кофе (192 мл). Если не выходит, нужно найти, почему это точное значение недостижимо с доступными обменами.
Задания для ученика
- Попытаться получить Аня = 192 мл кофе.
- Рассуждать, какой инвариант не позволяет достичь этого значения.
Зал 13 · Хогсмид — 10 наклеек
На волшебной ярмарке обменивают Маховики Времени (МВ), Подслушивающие удочки (ПУ) и Вспоминатели (В) по фиксированным правилам, получая по 1 наклейке за каждый обмен. Начиная с 4+4+4, цель — набрать не менее 10 наклеек.
Задания для ученика
- Применять обмены последовательно, накапливая не менее 10 наклеек.
Зал 14 · 20 наклеек и больше
Те же правила обменов на ярмарке Хогсмид. Цель поднимается до 20 наклеек, требуя более длинной и методичной последовательности.
Задания для ученика
- Спланировать последовательность обменов, чтобы набрать 20 наклеек и более.
Зал 15 · 27 наклеек?
Та же ярмарка и те же правила. Ученик пробует набрать 27 наклеек и, если не получается, должен выяснить максимально достижимое число и почему инвариант устанавливает потолок.
Задания для ученика
- Попытаться набрать 27 наклеек.
- Определить реальный предел и назвать инвариант, его устанавливающий.
Зал 16 · Хамелеоны — все одного цвета
Три вида хамелеонов (Красный, Жёлтый, Синий): когда встречаются два разного цвета, оба приобретают третий цвет. Начиная с 3+3+3, ученик пытается сделать всех хамелеонов одного цвета.
Задания для ученика
- Выбирать встречи хамелеонов разных цветов.
- Добиться, чтобы все 9 хамелеонов стали одного цвета.
Зал 17 · 5 красных, 4 жёлтых, 3 синих
Те же правила встреч хамелеонов. Теперь начальная конфигурация 5+4+3. Ученик пытается объединить цвет и, если не выходит, открывает модульный инвариант (разности по модулю 3), который это предотвращает.
Задания для ученика
- Попытаться сделать всех хамелеонов одного цвета.
- Рассуждать, почему эта начальная конфигурация позволяет это или нет.
Зал 18 · Уравнять сбережения
Четыре друга хотят уравнять свои сбережения. Правило chip-firing: кто имеет достаточно, чтобы дать по 1€ каждому другу, раздаёт сразу. Ученик нажимает на готового персонажа (выделен жёлтым), пока у всех не станет поровну.
Задания для ученика
- Нажимать на готового друга каждый раз, когда пора делиться.
- Наблюдать, как процесс сходится и общая сумма всегда сохраняется.
Зал 19 · Взрывающиеся коробки
Ряд коробок, в последней из которых изначально все очки. Коробка с ≥2 очками может взорваться: теряет 2 и её левый сосед получает 1. Процесс продолжается до тех пор, пока ни в одной коробке нет более 1 очка. Конечное распределение всегда одинаково, независимо от порядка взрывов.
Задания для ученика
- Взрывать коробки в разном порядке и сравнивать конечные состояния.
- Связать результат с раздачей из chip-firing предыдущего зала.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.