Интерполяция функций

Когда мы знаем лишь несколько значений функции — таблицу измерений, точки из эксперимента, — как оценить, что происходит между ними или рядом с ними? Тема классически суха, если её подавать одними формулами, поэтому этот лаб строит её в обратном порядке: сначала визуальная интуиция — угадывание на глаз, перетаскивание точек, кривые, меняющиеся вживую, — и только потом символический аппарат. В 29 залах, полных ползунков, перетаскиваний и анимаций, пройден весь путь от касательной до кубических сплайнов, которые использует любая программа дизайна кривых. Рассчитано на университетский уровень (математический анализ).

Чему учит

Маршрут идёт от самых простых и интуитивных идей к инструментам, реально применяемым на практике.

• Начать с оценки значения, которого нет в таблице, затем на глаз оценить значение неизвестной кривой между тремя точками и задуматься, почему многочлены так удобны для приближения функций (залы 1–3).
• Использовать касательную для приближения близких значений, увидеть, как растёт её ошибка при удалении, и оценить значение вручную, без калькулятора (залы 4 и 5).
• Перейти к линейной интерполяции по двум известным точкам и сравнить её с касательной (залы 6 и 7).
• Построить интерполяционный многочлен Лагранжа: его базис, сборку и то, почему добавление новой точки заставляет пересчитывать всё заново — и завершить свободной песочницей, где многочлен пересчитывается вживую при перетаскивании любой точки (залы 8–13).
• Открыть разделённые разности Ньютона — эквивалентный, но гораздо более удобный способ обновлять многочлен при поступлении новых данных, и сравнить, во что обходится добавление узла в каждой из двух форм (залы 14–19).
• Понять ошибку интерполяции, увидеть, как узловой многочлен растёт за пределами диапазона данных, и стать свидетелем знаменитого явления Рунге — и того, как узлы Чебышёва его избегают (залы 20 и 21).
• Увидеть многочлен Тейлора как предельный случай интерполяции Лагранжа, когда все узлы сливаются в одну точку, и сравнить его охват с интерполяцией по разбросанным узлам (залы 22–25).
• Завершить кубическими сплайнами: почему разбиение кривой на гладкие куски избегает проблем глобального многочлена высокой степени, с исторической аналогией гибкой линейки чертёжника (залы 26–29).

Ключевые математические идеи

• Касательная — наилучшее линейное приближение вблизи точки; её ошибка быстро растёт при удалении.
• Линейная интерполяция использует два настоящих значения вместо одного, поэтому обычно превосходит касательную вдали от опорной точки.
• Многочлен Лагранжа — единственный многочлен степени ≤ n−1, проходящий точно через n заданных точек; строится как сумма частей Lᵢ(x), равных 1 в своём узле и 0 в остальных.
• Разделённые разности Ньютона вычисляют тот же многочлен во вложенной форме, с практическим преимуществом: добавление узла требует лишь одной новой строки в таблице.
• Ошибка интерполяции пропорциональна узловому многочлену ∏(x−xᵢ): мала внутри диапазона узлов, велика за его пределами.
• Явление Рунге показывает, что повышение степени при равноотстоящих узлах может ухудшить приближение у краёв; узлы Чебышёва, более плотные у границ, этого избегают.
• Многочлен Тейлора — предельный случай интерполяции, когда все узлы стремятся к одной точке: он прекрасно приближает рядом, но ничего не гарантирует вдали.
• Кубические сплайны интерполируют кусочными многочленами низкой степени, состыкованными с непрерывностью вплоть до второй производной: они избегают колебаний глобального многочлена и лежат в основе почти всего компьютерного проектирования кривых.