Дидактические цели
Может ли одна математическая идея предсказывать погоду, следующее сообщение в WhatsApp, важность веб-страниц и то, продолжит ли Bitcoin падать завтра? Да — и эта идея называется цепь Маркова: то, что произойдёт завтра, зависит только от того, что происходит сегодня. Этот лаб для старшей школы проходит 20 залов — от самой конкретной интуиции (собственное настроение, климат Барселоны) до реальных приложений вроде PageRank и финансовых рядов.
Чему учимся
Ученик строит интуицию о зависимости без памяти на основе реальных данных, а затем формализует её с помощью матриц, чтобы предсказывать, моделировать и оптимизировать. Центральный механизм — живой граф с прыгающей лягушкой и счётчиками в реальном времени, которые делают вероятность переходов наглядной.
- Считать реальные переходы (климатические наблюдения, сделанные в Барселоне за месяц) и нормализовать строки, чтобы получить матрицу переходов P.
- Умножать вектор вероятностей на P для прогноза на 1 и 2 шага; повторять операцию, наблюдая, как начальное состояние забывается примерно за 9 дней.
- Находить стационарное распределение (собственный вектор) π такое, что π·P = π, двигая его слайдерами до достижения неподвижной точки.
- Запускать 100 симуляций параллельно и убеждаться, что доля сходится к π.
- Различать поглощающие цепи и состояния без возврата.
- Сравнивать модели порядка 1 и порядка 2 (данные вчера + позавчера против данных только вчера) и обсуждать компромисс между предсказательной силой и объёмом данных.
- Изучать PageRank (алгоритм Google для ранжирования веб-страниц) как цепь Маркова.
- Генерировать текст с помощью предиктора порядка 1/2/3, обученного на 3 миллионах слов на испанском, и выбирать оптимальный порядок для реальной клавиатуры.
- Закодировать Bitcoin в 5 состояний дневного/недельного/месячного изменения, читать диагональ P как инерцию рынка и провести честный бэктест, сравнивая Марков порядка 1, порядка 2 и buy-and-hold на тестовых данных 2026 года.
Ключевые математические идеи
- Цепь Маркова — стохастический процесс, в котором P(следующее состояние | вся история) = P(следующее состояние | текущее состояние) — это свойство Маркова, или «отсутствие памяти».
- Матрица переходов P имеет неотрицательные строки, суммирующиеся в 1 (стохастическая матрица); каждый элемент P[i][j] — вероятность перехода из состояния i в состояние j.
- Распределение через n шагов равно v·Pⁿ; при n→∞ распределение сходится к π независимо от начального состояния (для эргодических цепей).
- Стационарное распределение π удовлетворяет π·P = π и может быть найдено как левый собственный вектор P с собственным значением 1.
- Поглощающее состояние имеет P[i][i] = 1; если оно существует, любая длинная траектория заканчивается там с вероятностью 1.
- Увеличение порядка модели расширяет состояние (пары, тройки дней) и захватывает больше зависимостей, но требует экспоненциально большего объёма данных для хорошей оценки каждой строки.
Содержание по залам
Зал 1 · Как мы предсказываем погоду?
Представлены два реальных январских ряда данных (Мадрид и Ла-Корунья), показывающих погоду день за днём: Солнце, Облачно или Дождь. Ученик наблюдает паттерны серий до того, как система делает прогноз на 31-й день.
Задания для ученика
- Выбрать город и наблюдать сгенерированную последовательность дней.
- Ответить, какая погода будет 31-го числа, и посмотреть, предугадывает ли это модель.
Зал 2 · Цепочка состояний
Ученик строит собственную цепочку состояний настроения (Весёлый/Грустный/Нейтральный), записав не менее 50 переходов. На основе этой записи демонстрируется ключевая идея: следующее состояние зависит только от текущего.
Задания для ученика
- Записать не менее 20 различных состояний и 5 уникальных переходов, пока не наберётся 50.
- Нажать «Готово», чтобы увидеть диагностику построенной цепочки.
Зал 3 · Как строится прогноз
Анимация, объясняющая, как преобразовать цепочку в таблицу частот (матрицу переходов). Затем ученик читает свою таблицу и отвечает на конкретный вопрос о вероятности.
Задания для ученика
- Посмотреть анимацию построения таблицы.
- Прочитать свою таблицу и написать вероятность Солнца на следующий день, если сегодня дождь (значение от 0 до 1).
Зал 4 · Реальные данные: Барселона в октябре
Представлены 30 реальных дней из Барселоны (первые из обучающего набора 2019–2023). Ученик классифицирует каждую пару последовательных дней, чтобы вручную построить матрицу P1, а затем размышляет, почему выборка из 30 дней отличается от эталонной матрицы.
Задания для ученика
- Нажать правильную ячейку для каждой пары последовательных дней (Солн→Обл, Обл→Дождь и т.д.).
- Проверить счёт (максимум 20) и выбрать правильное объяснение расхождения.
Зал 5 · Лягушка прыгает между облаками
Живой граф с лягушкой-маскотом, прыгающей по матрице P1 из Барселоны (Солнце/Облачно/Дождь). Счётчики посещений обновляются в реальном времени; ученик оценивает на глаз долгосрочный процент Солнца.
Задания для ученика
- Наблюдать граф и счётчики, пока лягушка прыгает.
- Написать ожидаемый долгосрочный процент посещений состояния Солнце (цель ≈ 37%).
Зал 6 · Умножение на матрицу
Вводится операция v' = v · P: из вектора вероятностей сегодня получается вектор завтра. Анимированная демонстрация показывает случай чистого Солнца; затем ученик практикуется с другим начальным состоянием.
Задания для ученика
- Посмотреть анимированный пример векторного умножения.
- Двигать ползунки «сегодня» и проверять результат «завтра», вычисленный матрицей.
Зал 7 · Два шага вперёд
Продолжение предыдущего: применить матрицу дважды (P²), чтобы предсказать послезавтра. Ученик начинает с «сегодня идёт дождь» и настраивает ползунки, чтобы получить вероятность Солнца через два дня (цель ≈ 0,29).
Задания для ученика
- Двигать ползунки для двукратного применения P, начиная с Дождя.
- Прочитать вероятность Солнца послезавтра и проверить её.
Зал 8 · Прошлое забывается
Три кривые сходимости — по одной для каждого начального состояния (Солнце, Облачно, Дождь) — при многократном применении матрицы. Кривые сливаются: прошлое перестаёт иметь значение. Ученик определяет, начиная с какого дня это происходит.
Задания для ученика
- Наблюдать, как три кривые сходятся к одному значению.
- Написать, с какого дня они практически совпадают (цель ≈ 9-й день).
Зал 9 · Сто лягушек
Симуляция 100 независимых лягушек из разных начальных состояний. В долгосрочной перспективе все они перераспределяются согласно стационарному распределению π ≈ (0,37 / 0,37 / 0,26). Ученик предсказывает процент в состоянии Солнце.
Задания для ученика
- Наблюдать симуляцию 100 параллельно прыгающих лягушек.
- Оценить и записать долгосрочный процент в состоянии Солнце (цель 37 ± 7%).
Зал 10 · Неподвижная точка
Вводится стационарное распределение π со свойством π · P = π. Ученик двигает три ползунка в поисках этого особого распределения; экран подтверждает нахождение с точностью 2%.
Задания для ученика
- Двигать ползунки до совпадения выходного вектора со входным.
- Запомнить или записать значения неподвижной точки (π ≈ 0,37 / 0,37 / 0,26).
Зал 11 · Порядок 1 против порядка 2
Обучаются модель 1-го порядка (P1) и модель 2-го порядка (P2, строки = пары дней) на 5 годах октябрей Барселоны, оцениваются на 2024 (31 неувиденный день). Порядок 2 угадывает на 4 дня больше (16 против 20). Ученик выбирает правильное объяснение компромисса.
Задания для ученика
- Сравнить точность обеих моделей на тестовом наборе.
- Выбрать объяснение, почему больше памяти не всегда выигрывает при малых данных.
Зал 12 · Лягушка тонет
Поглощающая цепь: 5 камней в ряд + лужа (ловушка). Каждый прыжок имеет лишь 5% вероятность упасть. Ученик предсказывает, где окажется лягушка через 1000 прыжков, затем симулирует и обнаруживает, что та всегда попадает в лужу, так как 0,95^1000 ≈ 0.
Задания для ученика
- Сделать интуитивный прогноз перед симуляцией.
- Запустить симуляцию и сравнить с прогнозом; прочитать объяснение поглощающего состояния.
Зал 13 · Случайный сёрфер
Шесть веб-страниц, связанных матрицей PageRank (коэффициент затухания 0,85). Лягушка следует по ссылкам в 85% случаев и телепортируется в 15%. Ученик наблюдает, какая страница посещается чаще всего (A), и объясняет это на основе структуры ссылок.
Задания для ученика
- Дать симуляции поработать и прочитать накопленные посещения.
- Выбрать правильное объяснение, почему A побеждает (получает больше ссылок).
Зал 14 · Создай свой Google
Интерактивный редактор из 5 страниц (A–E): ученик рисует ссылки кликом и симулирует 1000 шагов сёрфера. Цель этапа 1: сделать E самой посещаемой. Цель этапа 2: добиться того же, используя только уже «авторитетные» страницы.
Задания для ученика
- Соединить страницы ссылками и симулировать, пока E не станет самой популярной.
- На этапе 2 добиться того же результата, задействовав страницы с высокой репутацией.
Зал 15 · Предиктор WhatsApp
Цепь Маркова, обученная на 3 миллионах слов из испанских субтитров. Ученик выбирает порядок (1, 2 или 3) и начальное слово, генерирует диалоги и сравнивает их связность; затем отвечает, какой порядок лучше подходит для реальной клавиатуры.
Задания для ученика
- Попробовать три порядка с несколькими начальными словами и прочитать сгенерированные тексты.
- Выбрать порядок, предлагающий лучший баланс между связностью и охватом данных.
Зал 16 · Биткоин в 5 цветах
Один год биткоина (2025), закодированный в 5 состояний изменения: большой рост, рост, плато, падение, большое падение. Можно переключаться между суточным, недельным и месячным разрешением. Матрица показывает автокорреляцию рынка.
Задания для ученика
- Переключаться между днём, неделей и месяцем и наблюдать, как меняется диагональ матрицы.
- Ответить, что означает высокая диагональ (кластеризация: похожие состояния следуют друг за другом).
Зал 17 · Есть ли у рынка память?
Честный тест вне выборки на 2026: модель, обученная на 2025, генерирует кривые цены с P1 и P2 и сравнивается с реальной кривой (MSE на 15 точках). Ученик повторяет несколько прогонов и делает выводы о предсказательной силе модели.
Задания для ученика
- Запустить несколько симуляций и наблюдать MSE каждой модели.
- Выбрать наиболее обоснованный вывод: предсказывает ли Марков цены стабильно.
Зал 18 · Честный бэктест
Сравнение трёх инвестиционных стратегий с 1 биткоином: купить и держать, Марков 1-го порядка и Марков 2-го порядка. Каждый день модели говорят ЛОНГ или ВНЕ РЫНКА. Симулируется итоговый финансовый результат за тестовый период 2026 года.
Задания для ученика
- Запустить несколько прогонов и сравнить итоговый баланс трёх стратегий.
- Выбрать, что происходит со стратегией Маркова по сравнению с «купить и держать», и объяснить почему.
Зал 19 · Выводы
Шесть утверждений о цепях Маркова (поглощающие состояния, предсказание цен, свойство Маркова, стационарное распределение и др.), которые ученик классифицирует как верные или ложные; каждый ответ раскрывает пример из реальной жизни.
Задания для ученика
- Прочитать каждое утверждение и отметить его как верное или ложное.
- Прочитать примеры из реальной жизни, появляющиеся после каждого ответа.
Зал 20 · Создайте свою цепь
Ученик с нуля строит собственную цепь Маркова: выбирает от 2 до 5 состояний, даёт им названия и задаёт вероятности переходов — таблицей или записью последовательности состояний. После этого лягушка прыгает по построенному графу, а программа вычисляет стационарное распределение и определяет состояния, которые посещаются чаще и реже всего.
Задания для ученика
- Выбрать число состояний (2–5) и дать им названия.
- Задать переходы матрицей или записью последовательности.
- Понаблюдать за симуляцией и прочитать стационарное распределение, самое и наименее посещаемое состояние.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.