Дидактические цели
Лаборатория для начальной школы (8–12 лет) об инвариантах чётности. Всё делается руками: переворачивать бокалы, стирать числа с доски, заставлять карту кувыркаться, переставлять фишки, а в конце — фокус. В каждом блоке есть задания, которые получаются, и одно, которое не получается: ученик понимает это, нажимая «Это невозможно», а анимированное объяснение показывает почему.
Главная идея: когда каждый ход меняет что-то по два (или всегда меняет чётность), достаточно знать, чётное или нечётное число, чтобы предсказать результат, не перебирая все пути.
Чему учатся
- Придумывать и выполнять последовательности ходов, чтобы достичь цели, и искать самую короткую.
- Следить во время игры за величиной (перевёрнутые бокалы, сумма на доске, кувырки, пары не по порядку) и замечать её чётность.
- Узнавать инвариант — то, что не меняется, сколько ни делай ходов.
- С помощью инварианта доказывать, что цель недостижима, и предсказывать результат без игры.
- Видеть, что инвариант зависит от правила: при перевороте двух бокалов чётность сохраняется, трёх — нет.
- Использовать раскраски (шахматную, полосатую по рядам, через одно место) для поиска инвариантов.
Основные математические идеи по блокам
A · Бокалы. Переворот двух бокалов меняет число перевёрнутых на +2, −2 или 0: его чётность — инвариант. Из 3 перевёрнутых не получить 0. Неважно, соседние ли бокалы; при перевороте трёх чётность меняется, и задача снова решается.
B · Доска. Замена a и b их разностью уменьшает сумму на удвоенное меньшее — чётное число. От 1 до 6 сумма 21: закончить можно только числами 1, 3 или 5. От 1 до 8 — 36: только 0, 2, 4, 6 или 8.
C · Карта. Каждый кувырок переворачивает карту и переносит её на клетку другого цвета шахматной раскраски: сторона карты зависит только от цвета клетки. Кувырки вверх и вниз меняют ряд и поворачивают кубок: его положение зависит только от ряда. Поэтому карта никогда не вернётся домой лицом вверх и на каждую клетку приходит одинаково.
D · Обмен соседей. Каждый обмен меняет порядок ровно одной пары. Минимум обменов — число пар не по порядку (6 для AMOR → ROMA, 15 для разворота шести чисел), а чётность числа обменов задана: AMOR → ROMA за 8 обменов можно, за 7 — нет.
E · Перевёрнутые тройки. Переворот тройки меняет местами крайние числа, которые стоят через одно: каждое число остаётся на местах той же чётности. 1..5 развернуть можно, 1..6 — нельзя.
F · Фокусник. Каждый переворот монеты меняет чётность числа орлов. Кто знает начальную чётность и считает перевороты, угадывает накрытую монету.
По листку «Чётность» Школы математического мышления (Escuela de Pensamiento Matemático), с другими числами и целями.
Числа проверены полным перебором в scripts/verify_paridad.mjs.
Содержание по залам
Зал 1 · Два соседних бокала
Бокалы в ряд, одни стоят нормально, другие вверх дном; за ход переворачиваются два соседних. Анимированный пример: перевёрнутый бокал «путешествует», а два перевёрнутых соседа исправляются за один ход.
Задания для ученика
- 6 бокалов, 2-й и 5-й вверх дном: поставить все нормально (3 хода).
- 8 бокалов, 4 вверх дном (1, 3, 6, 8): всё за 4 хода.
- Если 4 вверх дном, после хода их может быть 2, 4 или 6.
Зал 2 · Всегда ли получится?
Счётчик перевёрнутых бокалов с пометкой «чётное/нечётное». Кнопка «Это невозможно» рядом с «Проверить» во всех заданиях (в возможных отнимает 5 очков зала).
Задания для ученика
- 8 бокалов, 3 вверх дном: невозможно; анимированное объяснение (счётчик меняется на +2, −2 или 0 и остаётся нечётным; 0 — чётное).
- Любые два бокала, 10 бокалов, 6 вверх дном: возможно (3).
- Любые два, 5 вверх дном: невозможно (важно, что их два, а не что они соседи).
- С любыми тремя — можно? (да) и сделать (3 хода).
Зал 3 · Числа на доске
За шаг стираются два числа и пишется их разность, пока не останется одно. Пример с 1, 2, 3, 4.
Задания для ученика
- От 1 до 6 закончить числом 1.
- Закончить числом 5.
- Закончить числом 3 (возможные концы — 1, 3 и 5).
Зал 4 · А ноль?
Сумма на доске на каждом шаге уменьшается на удвоенное меньшее число: её чётность не меняется.
Задания для ученика
- От 1 до 6 закончить нулём: невозможно (сумма 21 нечётная); анимированное объяснение с суммой.
- От 1 до 8 (сумма 36) закончить числом 8.
- От 1 до 8 закончить числом 7: невозможно.
- Какие концы возможны от 1 до 8 (0, 2, 4, 6 и 8).
Зал 5 · Кувыркающаяся карта
Туз кубков (испанская колода) на доске 4 × 4, рубашкой вверх в углу. Каждый кувырок на соседнюю клетку переворачивает карту; кувырки вверх и вниз ещё и ставят её вверх ногами.
Задания для ученика
- Дойти до звезды лицом вверх.
- До другой — лицом вверх и вверх ногами.
- До третьей — лицом вверх и прямо, любым путём.
- Предсказать, как карта, которая начинает лицом вверх, придёт на нижнюю клетку (лицом вверх и вверх ногами; от пути не зависит). После ответа показывается путь.
Зал 6 · Домой
Шахматная раскраска объясняет сторону карты (серые клетки — рубашкой, жёлтые — лицом), а полосатые ряды — поворот кубка.
Задания для ученика
- Вернуться домой лицом вверх: невозможно; объяснение шахматной раскраской.
- Прийти на клетку «розового» ряда лицом вверх и прямо: невозможно; объяснение рядами.
- Предсказать (карта начинает лицом вверх): на клетку голубого ряда она не придёт «вверх ногами» (после ответа ряды раскрашиваются и показывается путь).
- Предсказать: в противоположный угол она не придёт рубашкой вверх (после ответа появляется шахматная раскраска и путь).
Зал 7 · Поменяйся с соседом
Фишки в ряд; ⇄ между соседями меняет их местами. Показаны цель и счётчик обменов.
Задания для ученика
- 1-2-3-4-5-6 → 2-4-6-1-3-5 за минимум (6).
- AMOR → ROMA за минимум (6).
- Минимум, чтобы развернуть 1..6 (15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1).
Зал 8 · Ровно столько
Пары не по порядку относительно цели со счётчиком чётности: каждый обмен прибавляет или отнимает 1.
Задания для ученика
- AMOR → ROMA ровно за 8 обменов.
- Ровно за 7: невозможно; анимированное объяснение.
- 1..5 наоборот: ровно за сколько обменов можно (12 из 9, 11, 12 и 13).
Зал 9 · Перевёрнутые тройки
Нажатие на середину тройки соседей переворачивает её (края меняются местами).
Задания для ученика
- 1..5 → 5-4-3-2-1.
- 1..6 → 5-6-3-4-1-2.
- Наименьшее число переворотов для 5-4-3-2-1 (4).
Зал 10 · Цветные места
Места раскрашены в два цвета через одно: каждое число остаётся на местах своего цвета.
Задания для ученика
- 1..6 → 6..1: невозможно; анимированное объяснение цветами.
- Какой из четырёх рядов можно получить (3-2-1-6-5-4).
- Получить его (2 переворота).
Зал 11 · Фокусник с монетами
7 монет. Фокусник (компьютер) смотрит, закрывает глаза, слышит «переворот!» и угадывает накрытую монету. Потом фокусник — ученик.
Задания для ученика
- Сделать фокус два раза с фокусником.
- Объяснить, как он работает (чётность орлов и число переворотов).
- Угадать три накрытые монеты (до 6 раундов).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.