Дидактические цели
Можно ли нарисовать фигуру, не отрывая карандаш и не проводя ни одну линию дважды? Этот вопрос, похожий на игру, скрывает математический секрет почти 300-летней давности. Лаборатория рассчитана на учеников начальной школы и ведёт их от рисования простого домика до решения знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах, которую раскрыл Леонард Эйлер в 1736 году.
Чему учимся
Ученик начинает с рисования фигур кликами — нажимает на вершину, затем на другую, и «карандаш» проходит по ребру — и постепенно открывает, почему одни фигуры можно обвести за один ход, а другие нет.
- Учимся определять вершины и рёбра графа, считать степень каждой вершины (сколько рёбер в неё входит).
- Классифицируем каждую вершину как чётную или нечётную и применяем правило Эйлера: граф можно пройти за один ход, если нечётных вершин 0 или ровно 2.
- Отрабатываем стратегию начинать с нечётной вершины, чтобы найти правильный маршрут.
- В финальных залах работаем с настоящими мостами (Кёнигсберг) и учимся передвигать мост так, чтобы маршрут стал возможным или даже замкнутым (вернуться в начальную точку).
- Зал 12 вводит правило через эффект открытия: ученик проверяет его на данных, которые собрал сам.
Ключевые математические идеи
- Рисунок из вершин и линий — это граф; линии — рёбра, точки — вершины.
- Степень вершины — количество рёбер, исходящих из неё.
- Чётность как ключевое математическое понятие.
- Теорема Эйлера (1736): связный граф имеет эйлеров путь (проходит по каждому ребру ровно один раз) тогда и только тогда, когда у него 0 или 2 нечётные вершины. При 0 нечётных вершинах путь может быть замкнутым (вернуться в начало).
- Граф с 4 и более нечётными вершинами не допускает никакого эйлерова пути: именно это доказал Эйлер на примере 7 кёнигсбергских мостов.
- Изменение ребра (перемещение моста) меняет степени двух вершин и может сделать граф эйлеровым.
Содержание по залам
Зал 1 · Добро пожаловать
Представляется задача: нарисовать домик, не отрывая карандаша и не проводя ни одну линию дважды. Открывается математическая загадка, которой 300 лет и которая пронизывает весь лабораторный курс.
Задания для ученика
- Прочитать задачу и рассмотреть домик.
- Мысленно попробовать решить задачу перед переходом дальше.
Зал 2 · Твой первый рисунок
Первая интерактивная фигура: простой треугольник. Ученик нажимает на вершины по порядку, чтобы провести все рёбра, не повторяя ни одного.
Задания для ученика
- Нажать на вершину, чтобы начать.
- Последовательно нажимать на соседние вершины до завершения рисунка.
Зал 3 · Домик без двери
Домик без линии двери: у всех его вершин чётная степень, поэтому рисунок можно начинать из любой точки.
Задания для ученика
- Попробовать начать с разных вершин и убедиться, что всегда получается.
Зал 4 · Первоначальный домик
Классический домик с крышей из начальной задачи. Теперь ученик обнаруживает, что не из любой точки это работает: есть особые вершины.
Задания для ученика
- Пробовать рисовать из разных точек.
- Определить, из каких вершин рисунок завершается успешно.
Зал 5 · Домик с дверью
Домик с дополнительной линией двери. Только две особые точки годятся для начала; ученик находит их методом проб и ошибок.
Задания для ученика
- Найти две особые точки, из которых можно начать рисунок.
- Завершить рисунок, начав с одной из них.
Зал 6 · Вершины и рёбра
Вводится словарь теории графов: точки называются вершинами, а линии — рёбрами. Ученик идентифицирует и подсчитывает их на рисунке.
Задания для ученика
- Подсчитать количество вершин в фигуре.
- Подсчитать количество рёбер.
Зал 7 · Степень вершины
Определяется степень: число рёбер, инцидентных вершине. Ученик нажимает на каждую вершину и видит её степень в реальном времени.
Задания для ученика
- Нажать на каждую вершину и прочитать её степень.
- Мысленно отметить вершины с высокой и низкой степенью.
Зал 8 · Чётные и нечётные
Ученик классифицирует вершины нескольких фигур по чётности их степени, закрепляя различие, которое будет ключевым в правиле Эйлера.
Задания для ученика
- Вычислить степень каждой вершины.
- Классифицировать каждую как чётную или нечётную.
Зал 9 · Обходи без повтора рёбер
Три фигуры для рисунка. Одна из них с подвохом: кажется, что можно, но нельзя. Ученик практикует и начинает интуитивно угадывать правило.
Задания для ученика
- Попробовать нарисовать все три фигуры.
- Найти фигуру с подвохом и объяснить, почему её нельзя нарисовать.
Зал 10 · Больше практики
Новые фигуры для закрепления навыка рисунка без повтора рёбер, с большим разнообразием форм.
Задания для ученика
- Нарисовать каждую фигуру, не отрывая карандаша и не повторяя рёбер.
Зал 11 · Можно или нет?
Викторина-предсказание: ученик отмечает ДА или НЕТ для каждой фигуры, не рисуя её. Готовит почву для открытия правила, которое всё объясняет.
Задания для ученика
- Рассмотреть каждую фигуру и решить, можно ли её нарисовать.
- Отметить ДА или НЕТ и проверить результат.
Зал 12 · Волшебное правило!
Сцена открытия: почти 300 лет назад Леонард Эйлер открыл, что число нечётных вершин определяет, можно ли нарисовать фигуру и откуда начинать. Центральный момент курса.
Задания для ученика
- Посмотреть анимацию, раскрывающую правило Эйлера.
- Запомнить правило: 0 нечётных → из любой точки; 2 нечётных → из одной из них; больше 2 → невозможно.
Зал 13 · Охотники за нечётными I
Направленная практика: ученик нажимает на нечётные вершины каждой фигуры, чтобы точно их определить и применить правило.
Задания для ученика
- Нажать на все нечётные вершины каждой фигуры.
Зал 14 · Охотники за нечётными II
Второй раунд фигур для охоты на нечётные вершины — графы сложнее, счёт требует внимательности.
Задания для ученика
- Определить и нажать на вершины нечётной степени в каждой фигуре.
Зал 15 · Открытый конверт
Фигура в форме незапечатанного конверта (рисуется при 2 нечётных). Ученик сначала должен найти нечётные вершины, а затем начать с одной из них.
Задания для ученика
- Найти нечётные вершины перед рисунком.
- Начать с одной из них и завершить рисунок.
Зал 16 · Запечатанный конверт
Фигура запечатанного конверта (нет нечётных вершин: можно рисовать из любой точки с возвратом в начало). Ученик применяет правило перед попыткой.
Задания для ученика
- Подсчитать нечётные вершины и предсказать, возможно ли это.
- Нарисовать запечатанный конверт с возвратом в начальную точку.
Зал 17 · Домик с ковриком
Домик с дополнительной линией коврика у основания, усложняющей задачу. Ученик находит нечётные вершины и начинает с одной из них.
Задания для ученика
- Найти нечётные вершины в более сложной фигуре.
- Нарисовать, начиная с нечётной вершины.
Зал 18 · Мосты Кёнигсберга
Историческая задача: в Кёнигсберге 4 участка суши и 7 мостов. Можно ли пройти по всем мостам ровно по одному разу? Ученик убеждается, что это невозможно.
Задания для ученика
- Попробовать пройти по всем 7 мостам, не повторяя ни одного.
- Убедиться, что это невозможно, так как нечётных вершин больше двух.
Зал 19 · Перенеси мост
Интерактивный вариант: ученик переносит один из 7 мостов на другое место и проверяет, становится ли маршрут возможным. Новая механика перетаскивания мостов.
Задания для ученика
- Выбрать мост для переноса и указать новое место.
- Проверить, удовлетворяет ли новая конфигурация правилу Эйлера.
Зал 20 · Круговой маршрут
Ученик переносит столько мостов, сколько нужно, чтобы все вершины стали чётными, и получает круговой маршрут (начинающийся и заканчивающийся в той же точке).
Задания для ученика
- Перемещать мосты до тех пор, пока не останется ни одной нечётной вершины.
- Нарисовать круговой маршрут с возвратом в начало.
Зал 21 · Другой город
Иной город с двумя островами и мостами. Ученик самостоятельно применяет правило: находит нечётные вершины и начинает оттуда.
Задания для ученика
- Определить вершины нечётной степени.
- Пройти маршрут, начав с одной из них.
Зал 22 · Три острова
Город с тремя островами, где четыре места (Север, Юг, A и C) имеют нечётную степень. Ученик должен перенести ОДИН мост так, чтобы все степени стали чётными и прогулка стала круговой.
Задания для ученика
- Найти единственное перемещение моста, которое делает все степени чётными.
- Нарисовать получившийся круговой маршрут.
Зал 23 · Диплом
Финальный экран и поздравление. Ученик получает диплом исследователя эйлеровых графов.
Задания для ученика
- Посмотреть диплом и отпраздновать прохождение курса.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.