Дидактические цели
Лисы, кролики и уравнения, которые пульсируют. Почему популяции хищник-жертва колеблются, а не устанавливаются на постоянном уровне? И почему меньший вылов рыбы во время Первой мировой войны привёл к большему числу акул? Этот лаб для старших классов строит модель Лотки–Вольтерра с нуля: от отдельных агентов, которые двигаются и размножаются на лугу, через дифференциальные уравнения, вплоть до детерминированного хаоса в системах трёх видов. За 17 залов, разделённых на четыре блока, ученик проходит путь от наблюдения за симуляцией до проектирования и возмущения собственной динамической системы.
Чему учит лаб
- Ученик наблюдает эмерджентность: агентная модель (кролики двигаются, спариваются, рождают потомство; лисы охотятся и голодают) порождает колебания популяций без явного программирования цикла.
- Знакомство с парадоксом Вольтерра: историческое открытие, что между 1915 и 1920 годами меньший вылов рыбы в Адриатике привёл к большему числу акул — реальная загадка, породившая математическую модель.
- Модели с постоянной и пропорциональной скоростью подгоняются к реальным данным (подсчёты в январе и апреле) и сравниваются с настоящей симуляцией.
- Прогноз Мальтуса 1798 года сопоставляется с логистической моделью, которая учитывает ограниченность ресурсов.
- Ученик видит, как дискретные правила обновления переходят в дифференциальные уравнения при Δt → 0: постоянная скорость → прямая, пропорциональная → экспонента.
- Вводятся уравнения Лотки–Вольтерра (dx/dt = αx − βxy, dy/dt = −γy + δxy) с интегратором Эйлера, включая численную неустойчивость при большом Δt.
- Четыре параметра (α, β, γ, δ) изучаются по отдельности через ползунки, прежде чем объединяются в полную модель.
- Исследуется фазовое пространство (x, y), различаются типы траекторий: центр, устойчивый фокус, неустойчивый фокус.
- Вводится стохастический шум, показывающий, как он дестабилизирует орбиты, которые в детерминированной модели были бы идеально циклическими.
- Модель расширяется до трёх видов (модель Гастингса–Пауэлла), демонстрируя детерминированный хаос: почти одинаковые начальные условия расходятся полностью.
- Визуализируется задача трёх тел как гравитационный родственник того же явления: крайняя чувствительность к начальным условиям без какой-либо случайности.
- Лаб завершается темой ястребы и голуби — эволюционной игрой, показывающей, как в популяции возникает устойчивое соотношение агрессивных и миролюбивых стратегий.
Ключевые математические идеи
- Эмерджентность: крупномасштабное поведение популяции (колебания), возникающее из простых правил на уровне отдельного агента, без явного проектирования узора.
- Переход от дискретной модели к непрерывной: при Δt → 0 итеративное правило обновления превращается в дифференциальное уравнение dc/dt.
- Уравнения Лотки–Вольтерра как связанная нелинейная система двух дифференциальных уравнений первого порядка с точкой равновесия в (γ/δ, α/β).
- Численное интегрирование (метод Эйлера) и его неустойчивость при слишком большом шаге по времени относительно временного масштаба системы.
- Фазовое пространство как инструмент классификации качественного поведения динамической системы (центр, устойчивый/неустойчивый фокус) без явного решения уравнения.
- Чувствительность к начальным условиям (детерминированный хаос): в системах из трёх и более связанных нелинейных переменных траектории с почти одинаковым началом могут расходиться экспоненциально.
- Репликаторная динамика в эволюционной теории игр: доля стратегии в популяции меняется в зависимости от её относительного успеха (выигрыша) по сравнению с другими.
Содержание по залам
Зал 1 · Кролики и лисы
Луг, полный жизни, смоделированный отдельными агентами: кролики двигаются, спариваются и рожают крольчат (беременная крольчиха отмечена розовым); лисы охотятся и размножаются, когда сыты, и становятся серыми, когда голодают. Графика пока нет — только свободное наблюдение за сценой, чтобы почувствовать связь между двумя видами.
Задания для ученика
- Понаблюдать за симуляцией некоторое время, не вмешиваясь.
- Отметить, какая связь заметна между числом кроликов и лис.
Зал 2 · График популяций
Та же агентная симуляция, теперь с живым графиком внизу: синий для кроликов, оранжевый для лис. Сдвиг между пиками двух кривых впервые делает видимым в количественной форме цикл хищник-жертва, уже ощущавшийся в зале 1.
Задания для ученика
- Понаблюдать за пиками двух кривых.
- Определить, какая из двух популяций достигает максимума раньше.
Зал 3 · Парадокс Вольтерра
Исторический контекст: во время Первой мировой войны (1915–1920) вылов рыбы в Адриатике резко сократился, но доля пойманных акул и скатов выросла. Д'Анкона попросил Вольтерра построить математическую модель, объясняющую, почему меньший вылов выгоден хищнику — реальное происхождение уравнений, которые будут построены в следующих залах.
Задания для ученика
- Прочитать исторический контекст парадокса Вольтерра.
- Сформулировать гипотезу, почему меньший вылов выгоден хищнику.
Зал 4 · От наблюдения к модели
В агентной симуляции подсчитываются кролики в январе и апреле. По этим двум точкам данных строятся две возможные модели: с постоянной скоростью (линейный рост) и с пропорциональной скоростью (экспоненциальный рост). Ученик сравнивает оба прогноза с реальной эволюцией симуляции.
Задания для ученика
- Вычислить оба прогноза (постоянная и пропорциональная скорость) по данным января и апреля.
- Определить, какая из двух моделей лучше соответствует реальной симуляции.
Зал 5 · Мальтус и его прогноз
В 1798 году Томас Мальтус предсказал, что население будет расти геометрически, тогда как продовольствие — лишь арифметически, предвидя катастрофу. График сравнивает этот экспоненциальный прогноз с логистической моделью, которая учитывает ограниченность ресурсов, показывая, почему реальность больше похожа на вторую кривую.
Задания для ученика
- Визуально сравнить экспоненциальную кривую Мальтуса с логистической.
- Объяснить, какой переменной не хватало модели Мальтуса.
Зал 6 · От дискретного к непрерывному
Показано, как при уменьшении шага времени Δt дискретные правила обновления из предыдущих залов переходят в дифференциальные уравнения: постоянная скорость в пределе даёт dc/dt = r (прямую), а пропорциональная — dc/dt = αc (экспоненту). Это концептуальный мост к непрерывному исчислению блока C.
Задания для ученика
- Понаблюдать, как меняется дискретная кривая при уменьшении Δt.
- Связать случай постоянной скорости с прямой, а пропорциональной — с экспонентой.
Зал 7 · Уравнения Лотки–Вольтерра
Представлены два связанных дифференциальных уравнения: dx/dt = αx − βxy для кроликов, dy/dt = −γy + δxy для лис. Интегратор Эйлера с регулируемым кнопками Δt позволяет наблюдать поведение системы — а также её численную неустойчивость при слишком большом шаге времени.
Задания для ученика
- Попробовать разные значения Δt и заметить, когда симуляция становится неустойчивой.
- Найти наименьшее Δt, при котором цикл ещё остаётся устойчивым.
Зал 8 · α: рождаемость кроликов
Без лис на сцене кролики растут только по своей скорости рождаемости α. Ученик двигает ползунок α и наблюдает на графике, как положительное значение даёт рост, отрицательное — спад, а α = 0 сохраняет популяцию постоянной.
Задания для ученика
- Подвигать ползунок α и понаблюдать за эффектом на популяцию кроликов.
- Определить, какой знак α соответствует росту, спаду и равновесию.
Зал 9 · β: влияние лис
Теперь добавляются лисы в фиксированном количестве, и ученик настраивает β — параметр, определяющий, насколько каждая лиса снижает рост кроликов. График показывает, что чем больше β, тем быстрее замедляется или даже обращается вспять рост популяции кроликов.
Задания для ученика
- Подвигать ползунок β и понаблюдать за эффектом на рост кроликов.
- Объяснить, что представляет β с точки зрения взаимодействия хищник-жертва.
Зал 10 · γ и δ: выживание лис
При фиксированном числе кроликов ученик исследует γ (естественную смертность лис) и δ (энергию, которую каждая лиса получает от охоты на кролика). График раскрывает порог: ниже определённого числа кроликов лисы не получают достаточно энергии, чтобы компенсировать смертность, и вымирают.
Задания для ученика
- Настроить γ и δ и понаблюдать за эффектом на популяцию лис.
- Определить минимальное число кроликов, нужное лисам для выживания.
Зал 11 · Полная модель: кролики и лисы
Все четыре параметра впервые работают вместе: оба вида влияют друг на друга, и полная система Лотки–Вольтерра порождает циклические колебания, наблюдавшиеся в агентной симуляции зала 1, — но теперь управляемые явными, настраиваемыми уравнениями.
Задания для ученика
- Подвигать все четыре ползунка (α, β, γ, δ) и понаблюдать за колебаниями.
- Попробовать сохранить оба вида живыми в течение 120 недель подряд.
Зал 12 · Фазовое пространство
Вместо отдельного построения x(t) и y(t) каждый момент изображается как точка (x, y): траектория образует замкнутую орбиту вокруг точки равновесия (γ/δ, α/β). Изменение начальных условий x₀, y₀ даёт разные орбиты, но всегда замкнутые вокруг одного и того же центра.
Задания для ученика
- Изменить начальные условия x₀ и y₀ и понаблюдать за новой орбитой.
- Найти точку равновесия (γ/δ, α/β) в фазовом пространстве.
Зал 13 · Типы траекторий
Одна и та же система с небольшими изменениями в формулировке может давать три качественно разных поведения в фазовом пространстве: центр (замкнутые орбиты, как в чистой Лотке–Вольтерра), устойчивый фокус (орбита сходится к равновесию) или неустойчивый фокус (орбита расходится по спирали). Ученик переключает режимы и сравнивает три формы.
Задания для ученика
- Выбрать каждый из трёх режимов (центр, устойчивый фокус, неустойчивый фокус).
- Описать визуальное различие между тремя траекториями в фазовом пространстве.
Зал 14 · Шум и дестабилизация
Реальные экосистемы никогда не бывают полностью детерминированными: к уравнениям добавляется мультипликативный случайный шум, а фазовый портрет показывается в реальном времени с исчезающим следом и счётчиком вымираний. Ползунок интенсивности шума σ позволяет увидеть, как с ростом шума растёт вероятность вымирания одного из видов, хотя чистая модель была бы идеально циклической.
Задания для ученика
- Постепенно увеличивать σ и наблюдать за эффектом на орбиту.
- Объяснить, почему шум может привести вид к вымиранию, хотя детерминированная модель этого не предсказывает.
Зал 15 · Три вида: хаос
Модель расширяется до трёхзвенной пищевой цепи (модель Гастингса–Пауэлла). Без какого-либо случайного элемента две симуляции, начинающиеся с почти одинаковых начальных условий (разница всего 0,001 у одного вида), полностью расходятся — признак детерминированного хаоса.
Задания для ученика
- Понаблюдать за временным рядом трёх видов.
- Сравнить две траектории с почти равными начальными условиями и описать, как они расходятся со временем.
Зал 16 · Задача трёх тел
Гравитационный родственник хаоса из предыдущего зала: две звезды и планета под чистой ньютоновской гравитацией, без какой-либо случайности. Две планеты, начинающие с почти одинаковых позиций (разница 0,05), оказываются на совершенно разных орбитах, показывая, что чувствительность к начальным условиям присуща не только экологии.
Задания для ученика
- Понаблюдать, как расходятся орбиты двух планет.
- Связать это поведение с хаосом, наблюдавшимся в зале 15.
Зал 17 · Ястребы и голуби
Лаб завершается эволюционной теорией игр: арена агентов, играющих роль «ястребов» (агрессивных) или «голубей» (миролюбивых), управляемая уравнением репликатора в реальном времени. Ученик настраивает ползунки выигрыша V и издержек C и наблюдает, как доля ястребов сходится к устойчивому равновесному значению p* = V/C.
Задания для ученика
- Подвигать ползунки V и C и понаблюдать, как меняется равновесная доля.
- Убедиться, что итоговая доля сходится к p* = V/C.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.