Дидактические цели
Полимино — фигура, составленная из одинаковых квадратов, соединённых по целой стороне. Лаб идёт по размерам: домино (2 квадрата), тримино (3), тетрамино (4) и пентамино (5) — всего 23 зала. Ученик перетаскивает фигуры на доску (их можно поворачивать и переворачивать), закрашивает клетки, чтобы найти формы, и отвечает на вопросы с выбором ответа или вводит числа. Ставок и моделируемых серий здесь нет: всё решается действиями с фигурами.
Залы делятся на четыре блока: домино (залы 1-7), тримино (8-11), тетрамино (12-16) и пентамино (17-23). В блоках тримино, тетрамино и пентамино первый зал — на поиск форм («закрась форму и проверь»); она не сообщает, сколько всего форм, и лишь когда найдены все, спрашивает, считает ли ученик, что есть ещё. Затем идут задачи на покрытие фигур точным набором деталей. Последние два зала — совместные: ученик придумывает задание и решает задание одноклассника.
Чему учимся
Лаб ведёт ученика от покрытия фигур методом проб к объяснению, с помощью чётности и раскраски, почему некоторые из них покрыть нельзя.
- Понимать, что такое полимино: фигуры соприкасаются по целой стороне, а не углом и не половиной стороны (зал 1).
- Отсеивать фигуры по чётности: фигуру с нечётным числом клеток домино не покроют (зал 2).
- Пользоваться шахматной раскраской: домино всегда закрывает одну белую и одну чёрную клетку, поэтому доску с разным числом белых и чёрных клеток покрыть нельзя (залы 3 и 4), а наибольшее число помещающихся домино задаёт цвет, которого меньше (зал 7).
- Пересчитывать все способы покрыть прямоугольник и замечать закономерность Фибоначчи: 3, 5, 8 и, как предсказание, 13 (зал 5).
- Строить фигуру с условием (связную, в которую помещается не больше 2 домино одновременно) и искать максимум — 9 клеток (зал 6).
- Систематически находить все фигуры каждого размера (2 тримино, 5 тетрамино, 12 пентамино) и понимать, что повороты и отражения дают ту же фигуру (залы 8, 12 и 17).
- Классифицировать фигуры по тому, какими тримино их можно покрыть (прямыми, уголками, вперемешку или никак), не полагаясь на внешний вид (зал 9).
- Делить фигуру на части в большем масштабе (большой уголок на четыре маленьких) и применять эту идею, чтобы покрыть доску 4 × 4 без одной клетки (залы 10 и 11).
- Применять раскраску к тетрамино и видеть, почему пять фигур с точной суммарной площадью не покрывают прямоугольник 4 × 5 (зал 13).
- Решать задачи на сборку из заданных фигур и предлагать собственную с (почти) единственным решением (залы 14-16 и 18-23).
Ключевые математические идеи
- Полимино: квадраты, соединённые целыми сторонами. Две фигуры считаются одной и той же, если одна получается из другой поворотом или отражением.
- Чётность: каждое домино закрывает 2 клетки, поэтому фигуру нечётной площади покрыть нельзя. Но чётной площади недостаточно.
- Шахматная раскраска: соседние клетки всегда разного цвета, поэтому каждое домино закрывает по одной клетке каждого цвета. У доски 6 × 6 без двух противоположных углов 34 клетки, 18 одного цвета и 16 другого; покрыть её 17 домино нельзя, помещается не больше 16. У звезды из зала 7 (25 клеток) 9 клеток одного цвета и 16 другого, максимум — 9 домино.
- Фибоначчи: прямоугольники 2 × n можно покрыть домино 2, 3, 5, 8… способами (для 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5), и каждое число — сумма двух предыдущих. При 3, 5 и 8 в таблице следующее число — 5 + 8 = 13.
- Тримино: их 2 (прямое и уголок). Фигуру можно покрыть только прямыми, только уголками, вперемешку или никак, и это нужно проверять по шагам.
- Реп-тайл: уголок, увеличенный вдвое по каждой стороне, делится на 4 копии исходного. Применяя это снова и снова, можно уголками покрыть любую доску 2n × 2n без одной клетки (в зале 11 — доску 4 × 4).
- Тетрамино: их 5 (I, O, T, S, L). Фигуры I, O, S и L всегда закрывают по 2 клетки каждого цвета, а T — 3 клетки одного цвета и 1 другого. В прямоугольнике 4 × 5 по 10 клеток каждого цвета, и этот перекос исправить нельзя: пять фигур его не покрывают.
- Пентамино: их 12 (F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z). В зале 18 симметричность фигуры не решает, можно ли разделить её на два разных пентамино: три симметричные фигуры нельзя, а последняя, тоже симметричная, можно.
Уровень: начальная школа (лаб не привязан к конкретному классу программы). Его можно проходить без предварительной теории; залы с раскраской (3, 4, 7 и 13) требуют больше всего рассуждений и часто вызывают обсуждение. В последнем блоке учитель раздаёт задания, придуманные классом, когда есть хотя бы две верные отправки; ученик, который работает один, получает готовое задание и не ждёт.
Содержание по залам
Зал 1 · Что такое полимино?
Полимино составляется из одинаковых квадратов, соединённых по целой стороне. В зале показаны три примера: два квадрата, соединённые стороной, — подходят; соединённые только углом — нет; сдвинутые на половину стороны — тоже нет. Затем предлагаются четыре пары квадратов, и ученик отмечает те, что являются домино (самым маленьким полимино). После этого он закрепляет правило, закрывая домино прямоугольник 3 × 2 и перетаскивая фигуры.
Задания для ученика
- Отметить пары квадратов, образующие домино (с общей целой стороной).
- Закрыть домино фигуру 3 × 2.
Зал 2 · Можно ли закрыть домино?
Четыре фигуры: две по 5 клеток, одна 2 × 3 и одна из 8 клеток. Ученик отмечает те, которые можно точно закрыть домино, не зная, сколько клеток в каждой; число клеток показывается только после ошибки. Домино всегда закрывает 2 клетки, поэтому фигуру с нечётным числом клеток закрыть нельзя. Две фигуры чётной площади ученик может проверить, построив покрытие.
Задания для ученика
- Отметить фигуры, которые можно закрыть домино.
- Попробовать построить покрытие выбранных фигур.
Зал 3 · Хитрость с раскраской
Доска 3 × 4, раскрашенная как шахматная, домино полупрозрачные, чтобы был виден цвет под ними. Ученик ставит 6 домино, пока вся доска не закрыта, и смотрит, какие цвета закрывает каждое. Затем отвечает, какие клетки закрывает домино. Каждое домино занимает две соседние клетки, а соседние клетки шахматной доски разного цвета, поэтому по горизонтали или по вертикали оно всегда закрывает одну белую и одну чёрную клетку.
Задания для ученика
- Закрыть доску 3 × 4 шестью домино.
- Выбрать, сколько белых и чёрных клеток закрывает каждое домино (одну белую и одну чёрную, всегда).
Зал 4 · Испорченная доска
Доска 6 × 6 с отрезанными двумя противоположными углами: остаётся 34 клетки, чётное число, и кажется, что 17 домино её закроют. Сначала ученик считает клетки каждого цвета. Получается 18 одного цвета и 16 другого, потому что два отрезанных угла одного цвета. По этому подсчёту он решает, закроют ли доску 17 домино (нет). Затем на той же доске вводит, сколько домино помещается самое большее (16 — число клеток менее многочисленного цвета).
Задания для ученика
- Сосчитать белые и чёрные клетки доски (18 и 16).
- Решить, можно ли закрыть доску 17 домино (нет).
- Ввести наибольшее число домино, которое помещается (16).
Зал 5 · Сколькими способами?
Один и тот же прямоугольник можно покрыть домино разными способами. Ученик ищет все способы покрыть доску 3 × 2 (3) и доску 4 × 2 (5); есть счётчик найденных и предупреждение о повторе. Для 5 × 2 искать не нужно: все способы показываются сразу (8). Затем он видит таблицу ширин и способов: каждое число — сумма двух предыдущих, последовательность Фибоначчи. В конце ученик предсказывает, сколько способов будет для доски 6 × 2.
Задания для ученика
- Найти 3 способа покрыть доску 3 × 2.
- Найти 5 способов покрыть доску 4 × 2.
- Посмотреть на подсчёт 8 способов для доски 5 × 2.
- Предсказать, сколько способов будет для доски 6 × 2 (13).
Зал 6 · Строй на стойкость
Ученик отмечает клетки на сетке, чтобы построить фигуру, которую можно обойти целиком, переходя с клетки на клетку по горизонтали или вертикали, и в которую, что бы он ни пробовал, никогда не помещается больше 2 домино одновременно. Показан пример из 3 клеток, где помещается только 1 домино. Зал предупреждает, если клетка разрывает фигуру, делит её на части или если с ней поместились бы уже 3 домино, и ведёт счёт отмеченным клеткам. С 5 клетками это просто, потому что трём домино нужно 6; задача — дойти до 6 и больше. Максимум — 9.
Задания для ученика
- Отметить связную фигуру, в которую не помещаются 3 домино.
- Дойти хотя бы до 6 клеток.
- Попробовать достичь максимума — 9 клеток.
Зал 7 · Задача со звездой
Фигура в форме звезды из 25 клеток, которую нельзя целиком закрыть домино. Ученик ставит как можно больше домино без наложения и нажимает «Проверить». Если это не максимум, зал сообщает об этом, и нужно пробовать дальше. Когда найден максимум (9), зал объясняет, почему он именно такой: звезда раскрашивается как шахматная доска, и ученик считает чёрные и белые клетки (9 и 16). Так как домино закрывает по одной клетке каждого цвета, домино не может быть больше, чем чёрных клеток.
Задания для ученика
- Поставить на звезду как можно больше домино (9).
- Сосчитать чёрные и белые клетки звезды (9 и 16).
Зал 8 · Тримино
В тримино 3 клетки. На сетке 3 × 3 ученик закрашивает форму и нажимает «Проверить форму». Новая форма сохраняется в виде миниатюры, а повтор уже найденной отмечается. Зал не говорит, сколько форм: когда обе (прямая и уголок) найдены, он спрашивает, думает ли ученик, что есть ещё. Если он пробует другую, ему объясняют, что поворот или отражение не превращает форму в другую.
Задания для ученика
- Закрашивать и проверять формы из 3 связанных клеток.
- Найти две формы тримино (прямую и уголок).
- Ответить, думает ли он, что есть ещё, и, если попробует, увидеть, почему повороты и отражения дают ту же фигуру.
Зал 9 · Классифицируй фигуру
Пять фигур, одна за другой. Для каждой ученик решает, как её можно покрыть тримино: только прямыми, только уголками, вперемешку или никак. Это не всегда очевидно: у одной фигуры из 6 клеток есть три подряд, но покрывается она только двумя уголками; другую фигуру из 6 клеток покрыть нельзя вообще; фигуре из 9 клеток нужны прямое тримино и уголок; другая фигура из 9 клеток кажется смешанной, но покрывается только уголками; а фигура в форме буквы T покрывается двумя прямыми. К каждому неверному варианту дано объяснение, почему он не подходит.
Задания для ученика
- Классифицировать фигуру 1 (только уголками).
- Классифицировать фигуру 2 (покрыть нельзя).
- Классифицировать фигуру 3 (прямыми и уголками вперемешку).
- Классифицировать фигуру 4 (только уголками).
- Классифицировать фигуру 5 в форме T (только прямыми).
Зал 10 · Большая буква L
Большой уголок, вдвое больше по каждой стороне, чем тримино-уголок. Ученик делит его на 4 одинаковых тримино-уголка, перетаскивая фигуры. В конце зал сообщает, что уголок, увеличенный вдвое, всегда можно разделить на 4 копии исходного, и поэтому его называют реп-тайлом.
Задания для ученика
- Расставить 4 тримино-уголка так, чтобы закрыть большой уголок.
Зал 11 · Доска с дыркой
Доска 4 × 4 без одной клетки. Ученик закрывает её целиком 5 тримино-уголками, чтобы не осталось ни лишних, ни пропущенных клеток. Это та же идея, что в предыдущем зале, применённая дважды: доска делится на меньшие квадранты. В конце отмечается, что приём работает для любой доски 2^n × 2^n без одной клетки, где бы она ни была.
Задания для ученика
- Закрыть доску 4 × 4 без одной клетки пятью тримино-уголками.
Зал 12 · Тетрамино
В тетрамино 4 клетки. Как и в зале 8, ученик закрашивает формы на сетке 4 × 4, проверяет их, и они сохраняются в виде миниатюр. Сколько их всего, не сообщается. Повторы, в том числе повёрнутые или отражённые формы, отмечаются. Когда найдены все 5, показываются их названия: I, O, T, S и L; если ученик думает, что есть ещё, ему объясняют, что повороты и отражения новыми не считаются.
Задания для ученика
- Закрашивать и проверять формы из 4 связанных клеток.
- Найти 5 тетрамино (I, O, T, S и L).
- Ответить, думает ли он, что есть ещё.
Зал 13 · Прямоугольник 4×5
Пять тетрамино вместе дают 20 клеток — ровно столько, сколько в прямоугольнике 4 × 5. Ученик пытается их уложить, и никто не говорит ему, что это невозможно. После 15 действий (поставить или убрать фигуру) доска показывается раскрашенной как шахматная, с подсчётом белых и чёрных клеток (10 и 10). Затем его спрашивают, какая из пяти фигур ведёт себя при раскраске иначе: T закрывает 3 клетки одного цвета и 1 другого, а остальные — 2 и 2. Этот перекос остальными фигурами не исправить, поэтому решения нет.
Задания для ученика
- Попытаться уложить 5 фигур в прямоугольник 4 × 5.
- Посмотреть на подсчёт белых и чёрных клеток прямоугольника (10 и 10) и выбрать, какое тетрамино распределяет цвет иначе (T).
Зал 14 · Задача с тетрамино (I)
Доска из 8 клеток, которая точно покрывается указанными фигурами: I и L. Каждая задача на сборку в этом блоке составлена из настоящих фигур, поэтому решение у неё есть. Счётчик показывает число поставленных фигур, а в конце появляются сообщение и кнопка для продолжения.
Задания для ученика
- Закрыть фигуру из 8 клеток фигурами I и L.
Зал 15 · Задача с тетрамино (II)
Фигура немного больше, из 12 клеток, покрывается фигурами O, T и S. Задача решается в том же редакторе: фигуры перетаскивают, поворачивают и переворачивают, пока они не встанут на места.
Задания для ученика
- Закрыть фигуру из 12 клеток фигурами O, T и S.
Зал 16 · Задача с тетрамино (III)
Самая трудная в блоке: вытянутая фигура из 16 клеток, покрывается четырьмя фигурами: L, T, S и I.
Задания для ученика
- Закрыть фигуру из 16 клеток фигурами L, T, S и I.
Зал 17 · Пентамино
В пентамино 5 клеток. Тот же механизм, что в залах 8 и 12: сетка 5 × 5 и миниатюры найденных форм, при этом не сообщается, сколько их. Когда найдены все 12, показываются их названия: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y и Z, каждое по букве, на которую фигура похожа. Если ученик думает, что есть ещё, ему объясняют, что поворот или отражение не создаёт новую форму.
Задания для ученика
- Закрашивать и проверять формы из 5 связанных клеток.
- Найти 12 пентамино.
- Ответить, думает ли он, что есть ещё.
Зал 18 · Пары пентамино
Семь фигур по 10 клеток, одна за другой. Для каждой ученик решает, можно ли собрать её из двух разных пентамино: он закрашивает 5 клеток, предлагая одну половину (вторая — незакрашенные клетки), или нажимает «Это невозможно». Зал сообщает, образует ли разбиение два верных и разных пентамино или две одинаковые фигуры, а в конце каждой фигуры показывает решение. Фигуры 2, 4 и 6, симметричные, нельзя разделить на две разные. Фигуру 7, тоже симметричную, можно: одной симметрии недостаточно.
Задания для ученика
- Разделить фигуры, которые можно разделить (1, 3, 5 и 7), на два разных пентамино, закрасив 5 клеток.
- Нажать «Это невозможно» на фигурах, которые разделить нельзя (2, 4 и 6).
- Сказать про фигуру 7, думает ли он, что она тоже невозможна из-за симметрии (её можно разделить).
Зал 19 · Задача с пентамино (I)
Фигура из 10 клеток, покрывается двумя пентамино: P и L. Фигуры перетаскивают, поворачивают и переворачивают на доске.
Задания для ученика
- Закрыть фигуру из 10 клеток фигурами P и L.
Зал 20 · Задача с пентамино (II)
Фигура немного больше, из 15 клеток, покрывается тремя пентамино: T, U и N.
Задания для ученика
- Закрыть фигуру из 15 клеток фигурами T, U и N.
Зал 21 · Задача с силуэтом
Силуэт, в котором участвует больше фигур: пять пентамино — V, W, X, Y и Z. Это разминка перед тем, как ученик придумает собственный силуэт.
Задания для ученика
- Закрыть силуэт фигурами V, W, X, Y и Z.
Зал 22 · Придумай своё задание
Ученик выбирает 5 разных пентамино из 12 и составляет из них собственный силуэт, стыкуя сторонами без промежутков на свободном поле 11 × 11. При отправке силуэт проверяется: он должен быть связным, не может быть идеальным прямоугольником (слишком просто) и не может решаться больше чем тремя разными способами с этими фигурами. Если условия не выполнены, зал объясняет причину и ученик может изменить силуэт; если силуэт принят, учитель сможет раздать его одноклассникам.
Задания для ученика
- Выбрать 5 разных пентамино и соединить их в силуэт без промежутков.
- Отправить задание и, если оно отклонено, поправить его с учётом причины.
Зал 23 · Задание одноклассника
Ученик решает силуэт, придуманный одноклассником, теми же 5 фигурами, которые тот использовал, и видит имя автора. Пока задание не пришло, показывается сообщение об ожидании. Учитель раздаёт задания, когда есть хотя бы две верные отправки, так что каждый получает чужое задание. Если ученик в лабе один, он получает готовое задание и не ждёт.
Задания для ученика
- Дождаться, пока учитель раздаст задания класса.
- Закрыть силуэт одноклассника его 5 пентамино.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.