Дидактические цели
От подсчёта множителей до построения кривых. Лаб из 23 залов начинается со свойств степеней, продолжается показательной функцией и заканчивается логарифмом как обратным вопросом. Он состоит из трёх блоков: степени (залы 1-11), показательная функция (12-16) и логарифм (17-23).
Свойства подаются не как правила: их открывают, записывая степень в виде буквального произведения множителей. В частном сокращаются пары одинаковых множителей, а в степени степени считаются группы. Залы бывают разных видов: задачи, где нужно ввести число, вопросы с выбором ответа, тесты на скорость с очередью вопросов, ползунки, которые меняют основание или показатель на графике, и учебные залы, где ученик вычисляет точки кривой и отмечает их на графике. На графиках показательная функция оранжевая, логарифм — сине-зелёный, асимптоты — красным пунктиром, а прямая y = x — серая.
Чему учимся
Лаб ведёт ученика от умножения множителей к пониманию показательной функции и логарифма как взаимно обратных функций, опираясь на график.
- Почувствовать показательный рост на легенде о шахматной доске и зёрнах риса: 263 ≈ 9,22 × 1018 (зал 1).
- Вывести три свойства (произведение, частное и степень степени), считая множители и группы, и сочетать их, чтобы получить одну степень (залы 2 и 3).
- Знать, когда две степени можно объединить (общее основание или общий показатель) и что суммы и разности этими правилами не упрощаются (залы 4 и 5).
- Понять, почему a0 = 1 и что значит отрицательный показатель (зал 6).
- Переходить от дробных показателей к корням и вычислять их, в том числе с минусом (залы 7-10).
- Раскладывать составные основания на простые множители, чтобы их можно было сравнивать (зал 11).
- Описывать график y = ax в зависимости от основания: он проходит через (0, 1), всегда положителен и возрастает при a > 1 или убывает при 0 < a < 1 (залы 12 и 13).
- Видеть, что показательная функция в конце концов обгоняет любую степень x, и связывать это со стоимостью перебора (зал 14).
- Строить показательную функцию от руки (асимптота, неподвижная точка и две-три точки), а затем делать это без списка шагов (залы 15 и 16).
- Понимать логарифм как недостающий показатель и как обратную функцию к показательной, с графиками, симметричными относительно y = x (залы 17-19).
- Знать свойства логарифма и их границу: логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм суммы не разделяется (зал 20).
- Строить логарифм и узнавать четыре вида графиков (показательная функция и логарифм, возрастающие и убывающие) (залы 21-23).
Ключевые математические идеи
- Произведение, частное и степень степени: am · an = am+n (множители объединяются); am / an = am−n (сокращается n пар); (am)n = am·n (n групп по m множителей).
- Общее основание или общий показатель: при одинаковом основании показатели складываются или вычитаются; при одинаковом показателе основания перемножаются или делятся, как в 34 · 54 = (3 · 5)4. Если ничего общего нет, объединить нельзя, а сумма или разность вроде 34 + 32 этими правилами не упрощается.
- Нулевой и отрицательный показатель: каждый шаг вниз по лесенке 23, 22, 21… делит на 2. Поэтому 20 = 1, 2−1 = 1/2 и a−n = 1/an. Равенство a0 = 1 — не соглашение, а an / an.
- Дробный показатель: a1/2 = √a, а am/n — корень n-й степени из am. Например, 84/3 = (∛8)4 = 16 и 43/2 = 8; при отрицательном показателе результат обращается: 9−1/2 = 1/3.
- Разложение оснований: 610 / (45 · 273) = (210 · 310) / (210 · 39) = 3.
- Показательная функция y = ax: всегда положительна, проходит через (0, 1) и имеет асимптоту y = 0. Возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Чтобы её построить: асимптота, неподвижная точка (0, 1), f(1) = a, f(−1) = 1/a и ещё одна точка.
- Показательная функция побеждает: x10 < 2x выполняется навсегда начиная с x ≈ 58,77 (первое целое — 59). При n = 50 величина n2 — это 2500 операций, а 250 — больше тысячи триллионов.
- Логарифм: loga b = c означает ac = b. Он существует только при b > 0, имеет асимптоту x = 0 и проходит через (1, 0). Чтобы его построить: асимптота, (1, 0), (a, 1), (1/a, −1) и ещё одна точка. Он обратен показательной функции: 2log2 x = x и log2 2x = x.
- Свойства логарифма: log(x · y) = log x + log y, log(x / y) = log x − log y, log(xn) = n · log x. Зато log(x + y) не равен log x + log y: log 2 ≈ 0,301, а log 1 + log 1 = 0.
Уровень: основная школа (ESO), по программе. Лаб длинный, его можно делить по блокам: степени (1-11), показательная функция (12-16) и логарифм (17-23). На уроке хорошо работают залы 1 (прогноз делается до подсчёта), 14 (задача: найти, начиная с какого x побеждает показательная функция) и 18 (две обратные машины и зеркало y = x).
Содержание по залам
Зал 1 · Шахматная доска и рис
Легенда об изобретателе шахмат, который попросил одно зёрнышко риса за первую клетку, 2 за вторую, 4 за третью и так далее, удваивая вплоть до 64-й клетки. Прежде чем что-либо увидеть, ученик предсказывает, сколько риса полагалось за последнюю клетку, выбирая из четырёх вариантов — от горсти до количества, превышающего весь рис, выращенный за историю. Затем он проходит доску клетка за клеткой с помощью кнопки «Следующая клетка»: число зёрен удваивается, а кучка точек растёт. В клетке n лежит 2^(n−1) зёрен, а в последней — 2^63 ≈ 9,22 × 10^18. В конце ученик записывает число зёрен двух клеток в виде степени.
Задания для ученика
- Предсказать, сколько риса полагалось за 64-ю клетку.
- Пройти доску, удваивая число зёрен клетка за клеткой до 64-й.
- Записать показатель для числа зёрен в клетке 10 (9).
- Записать показатель для числа зёрен в клетке 20 (19).
Зал 2 · Свойства: вычёркиваем множители
Свойства степеней открываются через запись каждой степени в виде произведения множителей. В произведении степеней с одинаковым основанием все множители просто объединяются. В частном 3^5 / 3^3 ученик вычёркивает пары одинаковых множителей и считает оставшиеся; затем повторяет то же с 5^7 / 5^4. В степени степени (2^2)^3 считается как 3 группы по 2 множителя, для каждой группы есть кнопка; затем то же с (4^2)^4. В каждом примере своё основание, а при переходе к следующему предыдущий скрывается. Заканчивается тремя вопросами об общем правиле: для a^m · a^n, a^m / a^n и (a^m)^n.
Задания для ученика
- Вычеркнуть пары множителей в 3^5 / 3^3 и в 5^7 / 5^4.
- Сосчитать группы множителей в (2^2)^3 и в (4^2)^4.
- Выбрать, чему равно a^m · a^n (a^(m+n)).
- Выбрать, чему равно a^m / a^n (a^(m−n)).
- Выбрать, чему равно (a^m)^n (a^m·n).
Зал 3 · Задача: упрости цепочку
Три выражения, в которых смешаны произведение, частное и степень степени. Ученик шаг за шагом применяет свойства, пока не останется одна степень a, и записывает только итоговый показатель. Если он застрял, подсказка говорит, с чего начать: сначала объединить произведение в числителе или сначала раскрыть степень степени.
Задания для ученика
- Упростить (a^3 · a^2) / a^4 и записать показатель (1).
- Упростить (a^2)^3 / a^2 и записать показатель (4).
- Упростить (a^5 · a) / (a^2)^2 и записать показатель (2).
Зал 4 · Разные основания и показатели
Рамка с правилом: чтобы объединить две степени в произведении или частном, у них должно быть что-то общее — основание или показатель. Правило иллюстрируют четыре числовых примера (общее основание, общий показатель, ничего общего, сложение или вычитание), а примечание напоминает, что суммы и разности степеней этими правилами не объединяются. Затем шесть вопросов с выбором ответа, в которых ученик решает, что можно сделать: при одинаковом основании показатели складываются, при одинаковом показателе основания перемножаются, а когда ничего общего нет или это сумма либо разность, объединить нельзя.
Задания для ученика
- Вычислить 3^4 · 3^2 (3^6, одинаковое основание).
- Вычислить 3^4 · 5^4 ((3 · 5)^4, одинаковый показатель).
- Решить, что происходит с 3^4 · 5^2 (объединить нельзя).
- Решить, что происходит с 3^4 + 3^2 (сумма этими правилами не упрощается).
- Вычислить 10^5 / 2^5 ((10 / 2)^5, одинаковый показатель).
- Решить, что происходит с 6^7 − 6^3 (разность так не упрощается).
Зал 5 · Тест на скорость: упрости и вычисли
Тест на время из 12 вопросов с четырьмя вариантами ответа: произведение, частное, степень степени, степень произведения или частного. Часть выражений упростить нельзя (разные основания или сумма степеней), и это нужно заметить. У каждого вопроса есть лимит времени: ошибка возвращает вопрос в конец очереди и увеличивает доступное время, верный ответ уменьшает его. Если в конце счёт отрицательный, тест проходится заново.
Задания для ученика
- Ответить на 12 вопросов на время, например a^4 · a^3, (a^2)^4 или (a · b)^3.
- Заметить выражения, которые объединить нельзя, например a^3 · b^2 или a^5 + a^3.
- Повторить вопросы, на которых была ошибка: они возвращаются в конец очереди.
- Пройти тест с неотрицательным счётом.
Зал 6 · Лесенка: нулевой и отрицательный показатели
Лесенка с 2^3 = 8, 2^2 = 4 и 2^1 = 2 и тремя пропусками ниже: 2^0, 2^−1 и 2^−2. Каждая ступенька вниз делит на 2, и ученик заполняет пропуски целыми числами или дробями («1/2»). Затем два вопроса с выбором ответа обосновывают закономерность: a^0 = 1, потому что a^n / a^n равно и a^0, и 1, а a^−n — это 1/a^n.
Задания для ученика
- Вычислить 2^0 по закономерности (1).
- Вычислить 2^−1 (1/2).
- Вычислить 2^−2 (1/4).
- Выбрать, почему a^0 = 1 (потому что a^n / a^n даёт и a^0, и 1).
- Выбрать, как записать a^−n в виде дроби (1/a^n).
Зал 7 · Дробные показатели
Исходная точка — равенство a^0,5 = √a с тремя примерами: 4^0,5 = 2, 9^0,5 = 3 и 16^0,5 = 4. График 4^x с ползунком показателя от −2 до 3 и строкой со значением 4^x; когда ползунок попадает на узнаваемый показатель (1/2, −1/2, 1/3, 2/3, 3/2, 5/2…), появляется запись через корень. Затем два вычисления по той же закономерности: 4^1,5 = 4^1 · 4^0,5 и 4^3,5 = 4^3 · 4^0,5; первое можно проверить, подвинув ползунок до 1,5, а второе за его пределами.
Задания для ученика
- Двигать ползунок 4^x и смотреть, что появляется при дробных показателях.
- Вычислить 4^1,5 (8).
- Вычислить 4^3,5 (128).
Зал 8 · Практика: дробные степени
Правило сначала не дают. Сначала пример, 4^(3/2) = √(4^3) = 8, и направляемое рассуждение: если 8^(4/3) = x, то после возведения в куб x^3 = 8^4 = 4096, а кубический корень из 4096 равен 16. Затем вопрос с выбором ответа о том, что такое a^m/n (корень n-й степени из a^m). Только после ответа появляются рамка с правилом и серия заданий: вычисление дробных и отрицательных степеней и запись других в виде корня или дроби.
Задания для ученика
- Вывести значение 8^(4/3), решив x^3 = 8^4 (16).
- Выбрать, что такое a^m/n (корень n-й степени из a^m).
- Вычислить дробные и отрицательные степени из серии практики.
- Записать a^(2/5) в виде корня.
- Записать 5^−3 в виде дроби (1/125).
- Записать a^(−3/4) в виде корня и дроби.
Зал 9 · Тест на скорость: дробные степени
Тест на время из 10 вопросов, как в предыдущем зале, с тем же механизмом очереди и времени, что и в зале 5: дробные и отрицательные степени с четырьмя вариантами ответа, например 16^(1/2), 27^(2/3), 8^(4/3) или 9^(−1/2), а также задания на запись степени в виде корня или дроби. Ошибка возвращает вопрос в конец очереди и увеличивает доступное время.
Задания для ученика
- Ответить на 10 вопросов на время о дробных и отрицательных степенях.
- Вычислить значения вроде 27^(2/3) (9), 8^(4/3) (16) или 9^(−1/2) (1/3).
- Повторить вопросы, на которых была ошибка.
- Пройти тест с неотрицательным счётом.
Зал 10 · Разложи на множители и упрости: составные основания
У степеней 6^10, 4^5 и 27^3 с первого взгляда нет общего основания. В разобранном примере их раскладывают на простые множители: 6^10 = 2^10 · 3^10, 4^5 = 2^10 и 27^3 = 3^9, и дробь 6^10 / (4^5 · 27^3) принимает вид (2^10 · 3^10) / (2^10 · 3^9). Ученик вычёркивает множители 2 и множители 3 в двух рамках, и получается 3. Затем два новых выражения, которые нужно разложить и упростить самостоятельно.
Задания для ученика
- Вычеркнуть множители 2 и 3 в разобранном примере.
- Разложить на множители и упростить 9^4 / 3^6 (9).
- Разложить на множители и упростить 8^5 / (2^3 · 4^6) (1).
Зал 11 · Показательная функция
График y = a^x с ползунком основания a от 0,2 до 4, асимптотой y = 0, точкой (0, 1) и таблицей значений для x от −2 до 2. Ученик двигает основание и смотрит, как меняется кривая: при a > 1 она возрастает, при 0 < a < 1 убывает. Три вопроса с выбором ответа закрепляют увиденное.
Задания для ученика
- Выбрать, через какую точку проходят все кривые, как бы ни менялось a ((0, 1)).
- Решить, может ли a^x быть равно 0 или быть отрицательным (нет, оно всегда положительно).
- Сказать, как ведёт себя функция при 0 < a < 1 (убывает).
Зал 12 · Задача: получи показательную функцию
Тот же график, ползунок основания от 0,1 до 5 и красная точка на графике, отмечающая цель. Ученик подбирает a и нажимает «Проверить»; ответ принимается, если кривая проходит через точку с небольшой погрешностью. Цели идут одна за другой: показательная функция через (2, 9), убывающая через (1, 0,5) и функция с f(3) = 8. Если прервать работу, задание продолжается с того места, где остановились.
Задания для ученика
- Получить показательную функцию, проходящую через (2, 9) (a = 3).
- Получить убывающую показательную функцию, проходящую через (1, 0,5) (a = 1/2).
- Получить показательную функцию с f(3) = 8 (a = 2).
Зал 13 · Показательная функция всегда побеждает
Графики y = x^2, y = x^3 и y = 2^x в одних осях, ползунок масштаба от ±3 до ±20 и строка со значениями (при x = 10: 100, 1000 и 1024). При отдалении видно, как показательная функция обгоняет две другие. Текст сравнивает алгоритм со стоимостью 2^n и алгоритм со стоимостью n^2: при n = 50 это 2500 операций против более чем тысячи триллионов. Заключительная задача: найти значение x, начиная с которого x^10 < 2^x выполняется всегда. Чем меньше, тем лучше; при верном ответе показывается настоящий минимум, x ≈ 58,77, и первое целое число, 59.
Задания для ученика
- Отдалить масштаб и увидеть, где 2^x обгоняет x^2 и x^3.
- Записать значение x, начиная с которого x^10 < 2^x выполняется всегда.
- Если значение не удовлетворяет неравенству или удовлетворяет только на время, попробовать большее.
Зал 14 · Практикум: строим показательную функцию
Алгоритм из пяти шагов: горизонтальная асимптота, неподвижная точка (0, 1), вычисление (1, a) и (−1, 1/a), дополнительная точка и соединение кривой. Сначала он показан на примере y = 3^x. Затем ученик делает то же с y = (1/2)^x: для каждой точки он сначала вычисляет значение, а потом касается этой точки на графике; кривая рисуется в конце.
Задания для ученика
- Вычислить f(0) и отметить (0, 1).
- Вычислить f(1) = (1/2)^1 и отметить (1, 0,5).
- Вычислить f(−1) = (1/2)^−1 и отметить (−1, 2).
- Вычислить f(2) = (1/2)^2 и отметить (2, 0,25).
Зал 15 · Практика: строим сами
Без списка шагов ученик сам решает, что вычислять, чтобы построить две показательные функции: сначала возрастающую y = 4^x, потом убывающую y = (1/3)^x. Для каждой он вычисляет неподвижную точку, f(1) и f(−1) и отмечает их на графике; кривая появляется после трёх точек.
Задания для ученика
- Вычислить и отметить точки y = 4^x: (0, 1), (1, 4) и (−1, 0,25).
- Вычислить и отметить точки y = (1/3)^x: (0, 1), (1, 1/3) и (−1, 3).
Зал 16 · Обратный вопрос
Логарифм вводится как недостающий показатель. Ученик находит показатель в пяти уравнениях: 2^? = 8, 3^? = 9, 9^? = 3, 2^? = 1/4 и 5^? = 1 — и записывает его как log_2 8, log_3 9… Встречаются дробный показатель (квадратный корень — это возведение в степень 1/2), отрицательный и нулевой.
Задания для ученика
- Вычислить log_2 8 (3).
- Вычислить log_3 9 (2).
- Вычислить log_9 3 (1/2).
- Вычислить log_2 (1/4) (−2).
- Вычислить log_5 1 (0).
Зал 17 · Обратные машины
Две анимированные машины: Возводилка, которая берёт число x и вычисляет 2^x, и Логарифмическая, которая вычисляет log_2 x. Ученик вводит 5 в Возводилку, а её результат — в Логарифмическую и убеждается, что снова получается 5; затем вводит 3 в Логарифмическую, а результат — в Возводилку, и снова получается 3. Машины убираются, остаётся график с зеркалом y = x: ученик перетаскивает точку по показательной функции и видит её отражение в логарифме. В конце — вычисление «туда и обратно»: зная, что log_2 1,919 ≈ 0,94, вычислить 2^0,94 без калькулятора.
Задания для ученика
- Ввести 5 в Возводилку, а её результат — в Логарифмическую (получается 5).
- Ввести 3 в Логарифмическую, а её результат — в Возводилку (получается 3).
- Перетащить точку по показательной функции и посмотреть на её отражение в логарифме.
- Вычислить 2^0,94, зная, что log_2 1,919 ≈ 0,94 (1,919).
Зал 18 · График логарифма
График y = log_a x с ползунком основания a от 0,25 до 4, вертикальной асимптотой x = 0, точкой (1, 0) и таблицей для x = 0,5, 1, 2, 4 и 8. Текст сопоставляет его с показательной функцией: там асимптота была горизонтальной, а здесь вертикальная, и область определения ограничена слева. Три вопроса с выбором ответа: область определения, почему не существует log(−5) и что происходит при 0 < a < 1.
Задания для ученика
- Выбрать область определения log_a x (положительные числа).
- Выбрать, почему не существует log(−5) (нет показателя c, для которого a^c = −5).
- Сказать, какой log_a x при 0 < a < 1 (убывающий).
Зал 19 · Свойства логарифма
Таблица ставит рядом свойства степени и свойства логарифма: умножение превращается в сложение, деление — в вычитание, а показатель становится множителем. С помощью двух ползунков, x и y от 1 до 20, ученик проверяет, что log(x · y) и log x + log y дают одно и то же. Затем три вычисления, последнее из них — контрпример: сумму внутри логарифма разделить нельзя.
Задания для ученика
- Проверить ползунками, что log(x · y) = log x + log y.
- Вычислить log(x · y), зная, что log x = 0,7 и log y = 0,3 (1).
- Вычислить log(x / y), зная, что log x = 0,9 и log y = 0,2 (0,7).
- Вычислить log(2) с помощью ползунков и сравнить с log 1 + log 1 = 0 (0,301).
Зал 20 · Практикум: строим логарифм
Аналогичный алгоритм для логарифма: вертикальная асимптота, неподвижная точка (1, 0), вычисление (a, 1) и (1/a, −1), дополнительная точка и соединение кривой. Он показан на примере с основанием 2, а затем ученик делает то же с y = log_1/2 x: вычисляет значение каждой точки и касается её на графике.
Задания для ученика
- Записать значение y в неподвижной точке (1, y) (0).
- Вычислить log_1/2 (0,5) (1) и отметить точку.
- Вычислить log_1/2 2 (−1) и отметить точку.
- Вычислить log_1/2 (0,25) (2) и отметить точку.
Зал 21 · Практика: строим сами
Без списка шагов ученик строит два логарифма: сначала возрастающий y = log_3 x, затем убывающий y = log_1/4 x. Для каждого он вычисляет три точки и отмечает их на графике; кривая рисуется в конце.
Задания для ученика
- Вычислить и отметить log_3 1, log_3 3 и log_3 (1/3) (0, 1 и −1).
- Вычислить и отметить log_1/4 1, log_1/4 (1/4) и log_1/4 4 (0, 1 и −1).
Зал 22 · Итоговое распознавание
Пять раундов, чтобы различать четыре вида графиков: возрастающая показательная функция, убывающая показательная функция, возрастающий логарифм и убывающий логарифм. В трёх раундах дана формула, и ученик выбирает из четырёх маленьких графиков; в двух других дан график, и он выбирает из четырёх формул. Ошибка подсказывает посмотреть на асимптоту и на то, растёт кривая или убывает.
Задания для ученика
- Выбрать график y = 3^x (возрастающая показательная функция).
- Выбрать график y = log_4 x (возрастающий логарифм).
- Выбрать график y = (1/3)^x (убывающая показательная функция).
- По графику убывающей показательной функции выбрать её формулу из четырёх (y = (1/2)^x).
- По графику убывающего логарифма выбрать его формулу из четырёх (y = log_1/2 x).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.