Вероятность: монеты и кубики

В этом лабе вероятность не читают, а играют в неё. Ученик бросает настоящие монеты и кубики (с физикой и всем остальным), делает ставку перед каждым опытом и потом проверяет, было ли его решение удачным. Каждый начинает с 10 Ᵽ; выигранная ставка прибавляет 5 Ᵽ, проигранная отнимает 3 Ᵽ. Ставка разыгрывается длинной серией (обычно 100 раундов), поэтому верное решение почти всегда окупается; в одном зале — «Задача великого герцога» — серия нарочно короткая и обманывает, и лаб говорит об этом в конце. Очки Ᵽ нужны, чтобы выбор имел цену: ставка «на глаз» и ставка после подсчёта приводят к разному, и ученик видит это по своему кошельку.

Экранов с объяснениями нет: теория подаётся в виде задач. Перед учеником лежит поле (квадрат 6×6, куб 6×6×6, сетка путей, дерево), и его просят отметить выигрышные клетки и посчитать их. Во многих залах 📐 расчёт сопоставляется с 💻 моделированием: сначала ставят или считают, потом моделируют ×10, ×100 и ×1000 с расчётным значением в виде пунктирной линии над гистограммой, а в конце спрашивают: «совпало? сколько нужно повторений?».

Чему учимся

Лаб ведёт ученика от подбрасывания монеты к биномиальным коэффициентам и формуле P(X = k из n), через умение правильно считать, прежде чем делить.

• Описывать опыт со всеми возможными исходами и различать исходы, которые кажутся одинаковыми (Д’Аламбер), но не являются ими (залы 1-4).
• Считать вероятности для двух кубиков по квадрату 6×6: отмечать и считать клетки (залы 5-8).
• Переносить идею на три кубика (куб 6×6×6) и понимать, почему подсчёт упорядоченных исходов меняет ответ (залы 9-10).
• Считать пути по сетке, прийти к треугольнику Паскаля и читать в нём биномиальные коэффициенты C(n,k) (залы 11-14).
• Вычислять вероятность ровно k успехов из n попыток для монет, кубиков и нечестной монеты (залы 15-17).
• Сравнивать с моделированием и понимать, когда и почему оно приближается к расчёту (залы 1-20).
• Разбирать игры по очереди и «гонки» серий монет, где интуиция подводит (залы 18-20).

Ключевые математические идеи

• Вероятность как число благоприятных случаев, делённое на число всех возможных, когда все случаи равновозможны. Главное — правильно перечислить случаи: поэтому в квадрате 6×6 36 клеток, а не 21 «разная сумма».
• Квадрат 6×6 как карта исходов двух кубиков: P(сумма 7) = 6/36 = 1/6, P(сумма ≥ 10) = 6/36, P(сумма < 4) = 3/36; чётная сумма имеет вероятность 1/2, а чётное произведение — 27/36 = 3/4.
• Подсчёт путей: сетка, в которой каждый перекрёсток складывает пути, приходящие сверху, — это треугольник Паскаля; строка 6 (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) показывает, как шарики распределяются на доске Гальтона.
• Сочетания C(n,k): выбор того, в каких k из n бросков происходит событие. Поэтому последовательностей из 5 бросков с 2 орлами столько же, сколько с 3, и поэтому C(10,3) = 120.
• P(X = k из n) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k): при p = 1/2 это C(n,k)/2ⁿ; 5 орлов из 10 имеют вероятность 252/1024 ≈ 0,246, а 50 из 100 — всего ≈ 0,080.
• Закон больших чисел на интуитивном уровне: при малом числе повторений результат моделирования далёк от расчётного; при сотнях и тысячах гистограмма ложится на теоретическую линию.
• Интуиция обманывает: ошибка Д’Аламбера (два орла — это 1/4, а не 1/3), пари шевалье де Мере (1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518 против ≈ 0,491), задача великого герцога (9 получается 25 способами, 10 — 27) и игра Пенни (тот, кто выбирает вторым серию из трёх бросков, имеет преимущество и может выигрывать 7:1).

Уровень: основная школа (ESO, 12-16 лет). Лаб — пара к «Математическому ожиданию»: здесь спрашивают, с какой вероятностью, там — сколько выигрываешь. На уроке хорошо проецировать на весь класс квадрат 6×6 и зал Артура, Берты и Ивана, предлагая классу сделать ставку до подсчёта; удачны также доска Гальтона и игра Пенни — они вызывают обсуждение.