Дидактические цели
Лаб для начальной школы (5–6 классы primaria, 10–12 лет): с урнами с цветными шарами, рулетками, монетами, кубиками, младенцами и муравьями ученик открывает, что значит «вероятность». Каждый зал идёт по одному пути: сначала ученик ставит, опираясь на интуицию; потом очень быстро проводит много опытов; затем видит все возможные случаи, ни один не спрятан; и наконец отмечает те, что его интересуют, и считает их. Каждый начинает с 10 Ᵽ; выигранная ставка прибавляет 5 Ᵽ, проигранная отнимает 3 Ᵽ. В каждом зале одна ставка (в последней — три), и её решает длинная серия опытов (от 100 до 1000), которая проигрывается сама, поэтому верное решение окупается.
Экранов с объяснениями нет: теория подаётся в виде задач. Сначала несколько раз вручную проводится опыт (шар выходит из урны, монета вертится, кубик катится), а потом серией, и гистограмма заполняется. Затем рисуются все случаи (урна со всеми шарами, таблица монет, таблица 6 × 6 для двух кубиков, дерево, стрелки муравьёв), а ученик нажимает на нужные и записывает дробь. Линия расчёта рисуется на гистограмме только после того, как расчёт сделан, и тогда её сравнивают с тем, что получилось.
Чему учимся
Лаб ведёт ученика от «чаще выпадает то, у чего больше случаев» до применения вероятности для решений, через самые распространённые ловушки. Он разбит на пять блоков залов.
- Сравнивать события, считая случаи, и видеть, что вероятнее не значит наверняка (залы 1–2).
- Разместить вероятность на шкале от 0 до 1: 0 для невозможного, 1 для достоверного (залы 3–4).
- Пользоваться правилом «благоприятные случаи на все возможные» и знать, когда оно не работает: когда случаи не равновероятны (залы 5, 7 и 8).
- Понять, что ½ не значит «один раз из двух»: это о том, что будет в долгой серии, а не в каждой паре бросков (зал 6, и она возвращается почти во всех остальных).
- Считать все возможности с помощью таблиц и деревьев, чтобы ничего не забыть (залы 9–11).
- Решать задачи с ловушкой, где знание чего-то меняет оставшиеся случаи: младенцы, дети Ивана и Анны и муравьи (залы 12–15).
- Принимать решения с помощью вероятности: разложить шары по двум урнам, чтобы набрать больше очков, и повторить всё на новых ситуациях (залы 16–17).
Ключевые математические идеи
- Больше случаев — вероятнее. В урне с 7 красными, 2 синими и 1 зелёным шаром красный выпадает примерно 7 раз из 10. У рулеток важно, сколько всего места занимает цвет, а не то, вместе он или по кусочкам: 2/8, 3/8 и 4/8. Но вероятнее не значит наверняка: за один раз может выпасть и зелёный шар.
- От 0 до 1. Вынуть красный шар из урны с красными — наверняка (1), а вынуть синий — невозможно (0). Из урны с тремя цветами при 4 шарах цвет повторяется всегда (1); вынуть 4 красных, когда их всего 3, невозможно (0). С 3 шарами это уже не наверняка: три разных цвета выпадают 3 раза из 11, а цвет повторяется 8 раз из 11.
- Благоприятные случаи на все возможные. В урне из 3 красных и 5 синих шаров красный — 3/8, синий — 5/8. Правило работает, только если все случаи равновероятны: «приз или ничего» на рулетке с одним куском из 20 — это 1/20, а не ½, а «красный или синий» с красным в 3 кусках из 8 — это 3/8. Чтобы считать случаи, сначала надо разделить на равные куски.
- ½ — это не «один раз из двух». С 10 монетами ровно 5 орлов выпадает только 1 раз из 4 (63/256 ≈ 0,25), а со 100 монетами ровно 50 орлов — примерно в 8 сериях из 100. При 2 бросках двух монет «орёл и решка» выпадает ровно 1 раз лишь в половине серий. К ½ приближается доля орлов, когда бросают очень много монет. То же верно для 1/8, 1/6 или 3/4: ни одна вероятность не говорит «один раз из n» за несколько попыток.
- Считать все случаи. Две монеты дают 4 случая, и «по одной» занимает два (OX и XO): ¼, ½, ¼; ошибка Даламбера была в том, что он считал это за один случай. Три монеты дают 8 путей: 1/8 для трёх орлов, 3/8 для ровно двух и 7/8 для хотя бы одного. Два кубика дают 36 клеток: у семи их 6 (1/6), а у двойки и двенадцати по одной. Четыре монеты дают 16 случаев, из них 6 с двумя орлами: 6/16 = 3/8.
- То, что было раньше, не считается. Если раньше уже родились двое мальчиков, то у двух следующих малышей 4 равновероятных случая, и «мальчик и девочка» — это 2/4 = 1/2.
- Знание меняет случаи. Если в семье с двумя детьми есть хотя бы одна девочка, остаются 3 случая из 4, и две девочки — это 1/3, а не ½. Если старший ребёнок Ивана — мальчик, остаются 2 случая, и двое мальчиков — это 1/2; если об Анне известно лишь, что у неё хотя бы один мальчик, остаются 3 случая и это 1/3.
- Муравьи. У трёх муравьёв на треугольнике 8 сочетаний стрелок, и лишь 2 из них избегают встречи (все три идут в одну сторону): встреча происходит с вероятностью 6/8 = 3/4.
- Решать. С двумя урнами, 10 белыми и 10 чёрными шарами, компьютер выбирает урну наугад, и вероятность белого равна ½ · p₁ + ½ · p₂. Раскладка пополам или «все белые вместе» даёт ½ (около 250 очков за 100 партий); с одним белым шаром отдельно ½ · 1 + ½ · 9/19 = 14/19 ≈ 0,74 (около 605): лучше, чтобы одна урна выигрывала всегда, даже если другая станет чуть хуже.
Уровень: primaria, 5–6 классы (10–12 лет). Это лаб серии по вероятности для начальной школы: таблица случаев, дерево и правило «благоприятные на возможные» — инструменты, которые затем берут лабы для ESO и бахильерато, например «Монти Холл». На уроке хорошо проецировать на весь класс зал 6 или зал 9, предлагая классу проголосовать до бросков, и дать ученикам по парам пробовать раскладки из зала 16. Залы 13 и 14 вызывают обсуждение: интуиция говорит ½, а таблица — 1/3.
Содержание по залам
Зал 1 · Какой цвет выпадет?
Урна с 10 шарами: 7 красных, 2 синих и 1 зелёный. Шар вынимают, смотрят цвет и кладут обратно. Ставка: если вынуть шар, записать результат и вернуть его, и так 100 раз, какой цвет выпадет чаще всего (красный, синий или зелёный)? Вручную вынимаются 6 шаров, а гистограмма показывает цвета; ставку решает серия из 100 шаров, после чего можно продолжать опыты ещё со 100 или 1000 шарами. Затем шары урны пересчитываются и записывается «7 из 10»; после этой задачи на гистограмме появляется линия расчёта (0,7; 0,2 и 0,1). В конце цвета расставляются от самого вероятного до наименее вероятного. Вероятнее то, у чего больше случаев, но вероятнее не значит наверняка: за один раз может выпасть и зелёный.
Задания для ученика
- Поставить на то, какой цвет выпадет чаще всего из 100 шаров.
- Посчитать в урне, сколько красных шаров и сколько шаров всего (7 из 10).
- Расставить цвета от самого вероятного до наименее вероятного (красный, синий, зелёный).
Зал 2 · Три рулетки
Три рулетки с секторами разного размера: на A красный занимает 1/4 рулетки, на B — 3/8 (в обоих случаях одним сектором), а на C красный и синий чередуются в 8 равных секторах, так что красный занимает половину. Ставка: на какой рулетке красный выпадет чаще (A, B, C или одинаково часто на всех трёх)? Все три рулетки вручную крутятся вместе 3 раза, под каждой стоит счётчик красных, а ставку решают по 300 вращений каждой рулетки и столбчатая диаграмма с числом красных на каждой. Затем каждая рулетка разрезается на 8 равных кусков и считаются красные: 2, 3 и 4 из 8; линия расчёта (в пропорции 2 : 3 : 4) рисуется на столбиках после этой задачи. Важно, сколько всего места занимает красный, а не то, вместе он или по кусочкам: на C красные куски кажутся маленькими, но вместе они занимают половину рулетки.
Задания для ученика
- Поставить на то, на какой рулетке красный выпадет чаще.
- Записать, сколько из 8 кусков красные на каждой рулетке (2, 3 и 4).
- Расставить рулетки от самой до наименее вероятной для красного (C, B, A).
Зал 3 · От 0% до 100%
Вероятность бывает от 0% до 100%, и этот зал показывает, что значат два края, без ставки и без опытов: вынимать шары из урны, где только красные, не учит ничему, чего не видно и так. Сначала открывается иллюстрированная идея («💡 Идея», кнопка «Lo entiendo →», то есть «Понятно →»): то, что не бывает никогда, — 0%, то, что бывает всегда, — 100%, а то, у чего одинаковые шансы случиться и не случиться, — 50%, с примерами на монете (орёл и решка сразу, 0%; решка, 50%; орёл или решка, 100%). Затем урна с 8 шарами, все красные: спрашивается вероятность вынуть красный шар (100%: это наверняка) и синий (0%: это невозможно). В конце шесть событий помещаются на термометр вероятности от 0% до 100% с пятью зонами от «невозможно» до «наверняка»: выбросить 7 на кубике (невозможно), снег в Севилье в августе (маловероятно), выбросить чётное число на кубике (то ли да, то ли нет, 50%: 3 из 6), выбросить меньше 6 на кубике (очень вероятно: 5 из каждых 6), а также завтрашнее утро и красный шар из урны с красными (наверняка).
Задания для ученика
- Выбрать вероятность вынуть красный шар из урны с красными шарами (100%: это наверняка).
- Выбрать вероятность вынуть синий шар из той же урны (0%: это невозможно).
- Поместить шесть событий на термометр вероятности, от невозможного до наверняка.
Зал 4 · Наверняка?
Урна с 3 красными, 4 зелёными и 5 синими шарами, из которой вынимают сразу несколько шаров, не возвращая их (4 в ставке и 3 позже; введение относится ко всему залу). Ставка: всегда ли будет хотя бы два шара одного цвета (да, всегда; почти всегда, но не всегда; или примерно в половине случаев)? Вручную 3 раза вынимаются 4 шара, а надпись сообщает, повторился ли цвет; ставку решают 1000 извлечений по 4 шара, и цвет повторяется в каждом: вероятность 100%. Это наверняка, потому что цветов всего 3 и четвёртый шар обязательно повторит один из них. Вынуть же все 4 красных шара невозможно (0%): красных всего 3. Затем вынимаются только 3 шара, ещё 1000 раз, и спрашивается, наверняка ли теперь повторится цвет: нет, потому что иногда выпадают красный, зелёный и синий (3 раза из 11); цвет повторяется 8 раз из 11. «Почти всегда» — не «всегда».
Задания для ученика
- Поставить на то, всегда ли среди 4 шаров будет два одного цвета.
- Выбрать, почему цвет повторяется всегда (цветов 3, а шаров вынимают 4).
- Выбрать вероятность того, что все 4 шара красные (0%: красных всего 3).
- Решить, наверняка ли с 3 шарами повторится цвет (нет: иногда выпадают три разных цвета).
Зал 5 · Благоприятные случаи на все возможные
Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): вероятность можно посчитать без опытов, считая случаи; пример — рулетка из 4 равных частей, из которых красная только одна, показывает красный 1 раз из 4, то есть 25 из 100, 25%, если части равны. Затем урна с 8 шарами: 3 красных и 5 синих. Ставка: если вынуть 200 шаров, каждый раз возвращая, что выпадет чаще — красный, синий или одинаково? Вручную вынимаются 6 шаров, а гистограмма их считает; ставку решает серия из 200, после чего можно продолжать опыты ещё со 100 или 1000 шарами. Затем ученик считает шары в урне (сколько из них красных и сколько всего) и записывает «3 из 8»; красные шары больше не отмечаются. Здесь формулируется правило: вероятность — это благоприятные случаи на все возможные, а для синего шара это 5 из 8. После этой задачи на гистограмме появляются линии расчёта (3 из 8 и 5 из 8). Правило работает, только если все шары одинаково легко вынуть: если бы одни были больше или лежали ближе, оно бы не сработало.
Задания для ученика
- Поставить на то, что выпадет чаще из 200 шаров: красный, синий или одинаково.
- Посчитать шары в урне и записать, сколько из них красных и сколько всего, в два окошка «a из b» (3 из 8).
- Записать, сколько синих шаров из скольких, по правилу «благоприятные на возможные» (5 из 8).
Зал 6 · 50% — это не «один раз из двух»
Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): чтобы оценить вероятность, можно провести опыт 100 раз и сосчитать, сколько раз событие произошло; с монетой ждут около 50 орлов и 50 решек, но так будет не всегда. Затем сразу бросают 10 монет; каждый бросок 10 монет — это серия, и считают орлов. Ставка: что бывает чаще — ровно 5 орлов, любое другое число орлов или и то и другое одинаково часто? Вручную делаются 2 серии, а гистограмма показывает число орлов (столбик для 5 золотой); ставку решают 200 серий: ровно 5 орлов выпадает только 1 раз из 4 (63/256 ≈ 0,25). Спрашивается, значит ли 50%, что при 10 бросках выпадет 5 орлов: нет. Со 100 монетами и 1000 серий ровно 50 орлов выпадает лишь примерно в 8 сериях из 100. А вот что приближается к 50%, так это доля орлов: график следит за ней при 1, 10, 100, 1000 и 2000 монетах подряд, а линия 50% рисуется после задачи. В конце: при 1000 бросках ждут около 500 орлов, почти наверняка не ровно 500, но очень близко. Эта идея возвращается во всём лабе: 50% говорит о том, что будет в долгой серии, а не в каждой паре бросков и не в каждой серии из 10.
Задания для ученика
- Поставить на то, что бывает чаще: ровно 5 орлов или любое другое число.
- Решить, значит ли вероятность 50%, что при 10 бросках выпадет 5 орлов (нет: так бывает лишь 1 раз из 4).
- Выбрать, что приближается к 50%, когда бросают очень много монет (доля орлов).
- Записать, сколько орлов ждут при 1000 бросках (около 500).
Зал 7 · Два варианта — значит 50%?
Некоторые говорят: «возможностей две, значит, вероятность равна 50%». Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): считать случаи можно, только если все они равновероятны; пример — крокодил («или он меня съест, или нет, значит, 50%» — неверно) и рулетка «приз или ничего», разрезанная на 20 равных кусков, из которых приз лишь в 1: 1 из 20, около 5 из 100 (5%). Затем это проверяется на рулетке с двумя исходами: приз (жёлтый) или ничего (серый). Ставка: сколько призов выпадет за 100 вращений (от 40 до 60, меньше 15 или больше 80)? Вручную рулетка крутится 5 раз, а гистограмма и счётчик призов всё считают; ставку решают 100 вращений: выпадает около 5 призов, а не 50. Затем рулетка разрезается на 20 равных кусков и спрашивается, сколько из них должно быть с призом, чтобы приз выпадал в половине случаев (10 из 20); прежней задачи про долю приза больше нет, потому что её объясняет идея. Последняя задача — «ты или попадёшь в тюрьму, или нет: две возможности, значит, 1 из 2» — отвергается, потому что эти два случая не равновероятны. Правило «благоприятные на возможные» работает, только если случаи равновероятны.
Задания для ученика
- Поставить на то, сколько призов выпадет за 100 вращений.
- Выбрать, сколько из 20 кусков должно быть с призом, чтобы приз выпадал в половине случаев (10).
- Решить, верно ли «ты или попадёшь в тюрьму, или нет, значит, 1 из 2» (нет: эти два случая не равновероятны).
Зал 8 · Хитрая рулетка
Рулетка с двумя цветами, красным и синим: красный занимает 3/8 одним сектором, синий — 5/8. Ставка: при двух цветах за 200 вращений что выпадет чаще (красный, синий или одинаково)? Вручную рулетка крутится 5 раз, а гистограмма всё считает; ставку решают 200 вращений: выигрывает синий, примерно 125 вращений против примерно 75. Затем рулетка разрезается на 8 равных кусков и нажимаются красные (3); доля красного — 3/8, а не ½, хотя цветов два; после этой задачи рисуется линия расчёта. Чтобы считать случаи, сначала надо разделить на равные куски.
Задания для ученика
- Поставить на то, какой цвет выпадет чаще за 200 вращений.
- Отметить красные куски рулетки, разрезанной на 8 равных кусков (3).
- Записать вероятность красного дробью (3/8).
Зал 9 · Две монеты
Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): когда происходят две вещи сразу, таблица помогает не забыть ни одного случая; пример — мороженое из 2 вкусов с 3 добавками, 2 × 3 = 6 клеток. Затем золотая и серебряная монеты, которые бросают вместе; O — орёл, X — решка. Ставка: что выпадет чаще за 300 бросков (два орла, две решки, орёл и решка или все три случая одинаково часто)? Вручную монеты бросаются 6 раз, а гистограмма всё считает; ставку решают 300 бросков: «по одной» выпадает в половине случаев, а два орла и две решки — в четверти каждый. Затем показывается таблица всех случаев, золото в строках, серебро в столбцах: «орёл и решка» занимает две клетки (OX и XO), поэтому его вероятность 2/4, а двух орлов — 1/4. Разбирается ошибка Даламбера, который считал, что все три возможности равны по ⅓, потому что принимал «по одной» за один случай. В конце за 100 серий по 2 броска «орёл и решка» выпадает ровно 1 раз лишь в половине серий: ½ — это не «один из каждых двух».
Задания для ученика
- Поставить на то, что выпадет чаще при броске двух монет.
- Отметить клетки таблицы, где выпадают орёл и решка (2).
- Записать, в два окошка «a из b» каждый раз, сколько клеток подходит из скольких: орёл и решка (2 из 4) и два орла (1 из 4).
- Выбрать, в чём была ошибка Даламбера («по одной» — это два случая, OX и XO).
Зал 10 · Три монеты
Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): если несколько вещей происходят одна за другой, рисуют дерево, и каждый путь — это случай; пример — красная или синяя футболка, а потом короткие или длинные брюки, 2 × 2 = 4 пути. Затем сразу бросают три монеты. Ставка: что выпадает чаще за 200 бросков — три орла или ровно два орла (или одинаково)? Вручную монеты бросаются 5 раз, а гистограмма показывает число орлов; ставку решают 200 бросков. Затем дерево рисуется ветвь за ветвью, монета за монетой: каждая монета делит каждый путь надвое, и всего получается 8 путей (2 × 2 × 2). Нажимаются пути с ровно двумя орлами (OOX, OXO и XOO), записываются вероятность трёх орлов (1/8) и ровно двух (3/8), и рисуется линия расчёта (1/8, 3/8, 3/8, 1/8). В конце считается единственный путь без орлов (XXX) и делается вывод, что у «хотя бы одного орла» вероятность 7/8. Три орла — это 1/8, но это не значит «один раз из каждых 8», а «ровно два» выпадает втрое чаще, потому что у него 3 пути, а не 1.
Задания для ученика
- Поставить на то, что выпадет чаще: три орла или ровно два орла.
- Записать, сколько всего путей в дереве (8).
- Нажать на пути с ровно двумя орлами (3).
- Записать вероятность трёх орлов (1 из 8) и ровно двух (3 из 8).
- Записать, в скольких путях нет ни одного орла (1), и вероятность хотя бы одного орла (7 из 8).
Зал 11 · Два кубика
Красный и синий кубики, которые бросают вместе и складывают очки. Ставка: какая сумма выпадет чаще всего за 500 бросков (2, 7, 12 или все одинаково часто)? Вручную кубики бросаются 6 раз, а ставку решают 500 бросков и гистограмма сумм от 2 до 12, которая получается треугольной. Затем появляется таблица 6 × 6 со всеми способами падения двух кубиков, красный в строках, синий в столбцах: считаются клетки (36), отмечаются клетки семёрки (6) и клетки двойки и двенадцати (по 1), записываются вероятность семи (6/36) и двенадцати (1/36). После этой задачи рисуется линия расчёта. Семь выпадает чаще, потому что получается 6 способами, а двенадцать — одним. И 6/36 = 1/6 не значит «одна семёрка из каждых 6 бросков».
Задания для ученика
- Поставить на то, какая сумма выпадет чаще всего за 500 бросков.
- Записать, сколько клеток в таблице (36).
- Отметить клетки с суммой 7 (6) и клетки с суммой 2 и 12 (по 1).
- Записать вероятность семи (6/36) и двенадцати (1/36).
- Выбрать, почему семь выпадает чаще двенадцати (семь получается 6 способами, а двенадцать — одним).
Зал 12 · В роддоме
В роддоме только что родились двое мальчиков, и сейчас родятся ещё двое малышей, один за другим. Ставка: что вероятнее в этих двух родах (два мальчика, две девочки, мальчик и девочка или все три одинаково часто)? Вручную смотрят, как рождаются 5 пар малышей, две кроватки наполняются, а ставку решают 300 пар родов: «мальчик и девочка» выпадает в половине случаев, а каждый из двух других — в четверти. Показывается таблица, где первый малыш в строках, а второй в столбцах: «мальчик и девочка» занимает две клетки (сначала мальчик, потом девочка, и наоборот), поэтому его вероятность 2/4 = 1/2; после этой задачи рисуется линия расчёта. Спрашивается, меняет ли что-нибудь то, что раньше родились двое мальчиков: нет, каждые роды начинаются с нуля. А ½ не значит «один из каждых двух»: на малом числе пар бывает чаще или реже.
Задания для ученика
- Поставить на то, что вероятнее в двух следующих родах.
- Нажать на клетки таблицы, где рождаются мальчик и девочка (2).
- Записать, какая доля клеток — «мальчик и девочка» (2/4).
- Решить, меняет ли что-нибудь то, что раньше родились двое мальчиков (нет: каждый малыш — мальчик или девочка с вероятностью ½).
Зал 13 · Хотя бы одна девочка
Зал открывается иллюстрированной идеей («💡 Идея», «Lo entiendo →»): когда мы что-то знаем о результате, мы вычёркиваем случаи, которых уже быть не может, и считаем только среди оставшихся; пример — кубик и «выпало меньше 5»: вычёркиваются 5 и 6, а то, что выпала 4, — это 1 из 4, то есть 25%. Затем в семье двое малышей, и известно, что хотя бы один из них — девочка. Какова вероятность, что и второй — девочка? Ставка: моделируются 600 семей, и оставляются те, где есть хотя бы одна девочка (примерно 450); в какой доле из них обе — девочки (примерно половина, примерно 1 из 3 или во всех)? Вручную смотрят, как появляются 6 семей, а те, где нет ни одной девочки, не подходят и тускнеют; ставку решают 600 семей на шкале, которая считает «k из n». Затем показываются 4 возможные семьи (старший малыш слева) и вычёркивается та, которая не подходит, — «мальчик и мальчик». Остаются 3, и только в 1 из них обе девочки: 1/3, а не ½. «Хотя бы одна девочка» оставляет 3 случая, а не 2. И 1/3 тоже не значит «один из каждых трёх».
Задания для ученика
- Поставить на то, в какой доле семей с девочкой обе — девочки.
- Вычеркнуть семью, которая не подходит, потому что в ней нет девочки.
- Записать, в скольких из 3 оставшихся семей обе — девочки (1).
- Дополнить «другой малыш тоже девочка в … из … семей» (1 из 3).
Зал 14 · Дети Ивана и Анны
Иван и Анна не знакомы, и у каждого двое детей. Старший ребёнок Ивана — мальчик; у Анны хотя бы один ребёнок — мальчик. Ставка: у кого больше шансов иметь двух мальчиков (у Ивана, у Анны или одинаково)? Вручную 4 раза показывается по одной семье каждого, старший ребёнок слева, а ставку решают по 300 семей каждого: у Ивана двое мальчиков примерно в 150, у Анны — примерно в 100. Затем две таблицы по 4 семьи: в таблице Ивана вычёркиваются семьи, которых быть не может, потому что старший ребёнок — не мальчик (остаются 2); в таблице Анны — семья без единого мальчика (остаются 3). Двое мальчиков — это 1 из 2 у Ивана (1/2) и 1 из 3 у Анны (1/3). Знать, кто именно из двоих детей мальчик (остаётся 2 случая), — не то же самое, что знать лишь, что мальчик есть хотя бы один (остаётся 3 случая).
Задания для ученика
- Поставить на то, у кого больше шансов иметь двух мальчиков.
- Вычеркнуть в таблице Ивана семьи, где старший ребёнок — не мальчик (остаются 2).
- Вычеркнуть в таблице Анны семью без единого мальчика (остаются 3).
- Записать в каждой таблице долю семей с двумя мальчиками (1 из 2 и 1 из 3).
- Выбрать, почему это не одно и то же (если знаем, кто мальчик, остаётся 2 случая; «хотя бы один» — 3).
Зал 15 · Три муравья
Три муравья, по одному в каждой вершине треугольника. Каждый идёт в другую вершину, выбирая наугад одну из двух остальных; если двое встречаются на пути или приходят в одну вершину, они встретились. Ставка: что бывает чаще — два муравья встречаются, никто не встречается или и то и другое одинаково часто? Вручную муравьёв отпускают 5 раз, анимация показывает встречу, а ставку решают 200 прогулок: встречаются примерно в 150, то есть в трёх четвертях. Затем показываются 8 сочетаний стрелок (каждый муравей выбирает из 2 дорог), отмечаются 6, где они встречаются, и записывается доля: 6/8 = 3/4. Избегают встречи только два сочетания, где все три идут в одну сторону. А 3/4 не значит «3 прогулки из каждых 4».
Задания для ученика
- Поставить на то, что бывает чаще: два муравья встречаются или никто не встречается.
- Нажать на сочетания стрелок, где два муравья встречаются (6 из 8).
- Записать вероятность того, что они встретятся (6/8 = 3/4).
- Выбрать, когда никто не встречается (когда все три идут в одну сторону).
Зал 16 · Разложи шары
История: во время поездки с родителями вас похищают людоеды и дают вам 2 урны, 10 белых шаров и 10 чёрных. Шары нужно разложить по двум урнам, все и так, чтобы ни одна не осталась пустой; вождь выбирает урну наугад, а его помощник вынимает из неё шар наугад: если шар белый, вас отпускают; если чёрный, вас съедят. Ставки между готовыми раскладками нет: ученик начинает с двух пустых урн, сам раскладывает шары и пробует каждую раскладку 100 раз, с подсчётом «на свободе», а таблица хранит опробованные раскладки. Цель — выйти на свободу больше 70 раз из 100; если не получается, появляются подсказки: первая после 4 попыток (посмотреть, что бывает, когда в урне совсем мало шаров), вторая после 8 (один белый шар в урне 1, а все остальные в урне 2). С раскладкой пополам или со всеми белыми вместе на свободу выходят примерно 50 раз из 100; лучшая раскладка — один белый шар в одной урне, а остальные в другой — даёт 1/2 · 1 + 1/2 · 9/19 = 14/19, около 74 из 100. Затем три задачи с выбором ответа: если в урне один белый шар и выбрана она, белый выйдет наверняка; в другой урне (9 белых и 10 чёрных) вероятнее чёрный, 10 из 19; а «все белые вместе» не лучше, чем «пополам», потому что одна урна спасает наверняка, а другая — никогда.
Задания для ученика
- Разложить шары по двум урнам, не оставляя ни одной пустой, и пробовать каждую раскладку 100 раз.
- Найти раскладку, при которой на свободу выходят больше 70 раз из 100 (с подсказками после 4 и после 8 попыток).
- Выбрать, что произойдёт, если вождь выберет урну с единственным белым шаром (белый выйдет наверняка).
- Выбрать, что вероятнее в другой урне, где 9 белых и 10 чёрных (чёрный, 10 из 19).
- Объяснить, почему «все белые вместе» не лучше, чем «пополам» (одна урна спасает наверняка, а другая — никогда).
Зал 17 · Ставь, проверяй, считай
Повторение на трёх новых ситуациях; в каждой ученик ставит, пробует, считает все случаи и отвечает. Первая: урна с 4 жёлтыми шарами и 1 красным; ставка на то, какой цвет выпадет чаще из 100 шаров, ученик считает шары в урне (сколько из них красных и сколько всего) и записывает «1 из 5»; затем выбирает вероятность вынуть зелёный, 0%, потому что зелёных нет (красный больше не отмечается). Вторая: кубик; ставка на то, выпадет ли за 300 бросков больше чётных чисел, больше чисел, превышающих 4, или поровну; показываются 6 граней и отмечаются чётные (2, 4 и 6: 3 из 6) и большие 4 (5 и 6: 2 из 6). Третья: сразу 4 монеты; ставка на то, как часто выпадет ровно 2 орла (почти всегда, примерно 3 раза из 8 или никогда), по 200 сериям; показывается таблица из 16 случаев, все они равновероятны, отмечаются 6 случаев с двумя орлами и записывается «6 из 16» (то же, что 3 из каждых 8). В конце — итог: вероятнее не значит наверняка, вероятность лежит от 0% до 100%, благоприятные на возможные только если случаи равновероятны, считай все случаи с помощью таблиц и деревьев, а ½ — это не «один из двух».
Задания для ученика
- Поставить на то, какой цвет выпадет чаще из урны с 4 жёлтыми и 1 красным шаром.
- Посчитать шары в урне и записать «1 из 5» для красного, а затем выбрать вероятность вынуть зелёный (0%).
- Поставить на то, выпадет ли на кубике больше чётных чисел или больших 4, и отметить грани каждого случая (3 из 6 и 2 из 6).
- Поставить на то, как часто выпадет ровно 2 орла при 4 монетах, и отметить случаи с 2 орлами (6 из 16).
- Записать, сколько случаев с ровно 2 орлами и сколько всего (6 из 16, или 3 из каждых 8).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.