Дидактические цели
Что общего у слуха, вируса и пожара? Как моделировать их поведение? Мы увидим, что графы и клеточные автоматы создают правдоподобные математические модели, позволяющие изучать и предсказывать поведение явлений распространения. А в конце будем принимать стратегические решения, чтобы спасти деревню от огня!
Чему учимся
Работаем с моделированием реальных явлений — эпидемий, пожаров, слухов — с помощью графов, сеток и симуляции, развивая интуицию о том, почему небольшие изменения в связности и плотности могут иметь огромные последствия.
- Ученик предсказывает до симуляции и сверяет свою интуицию с результатами: сначала с экспоненциальным ростом (3 × 2¹⁰), затем с графами, где узлы повторяются.
- Исследует сети Эрдёша–Реньи и открывает, что стартовый узел важен: начало с хаба разгоняет заражение гораздо сильнее, чем начало с изолированного узла.
- Сравнивает три топологии (случайная, «тесный мир», безмасштабная) и узнаёт, что структура сети определяет скорость распространения.
- Отрабатывает вакцинацию мостов между сообществами: с помощью всего 7 вакцин — кого иммунизировать, чтобы остановить эпидемию?
- Открывает перколяцию в квадратных, шестиугольных и треугольных сетках: существует критический порог плотности (≈ 0,59 для квадратной сетки), ниже которого огонь перестаёт распространяться.
- Исследует влияние ветра на распространение в сетке и в финальном зале, в трёх сценариях с бюджетом 400, 500 и 500 монет и не более чем 60 ходами, распоряжается бюджетом, расставляя противопожарные полосы, пожарных и вертолёты, прежде чем огонь достигнет деревни.
Ключевые математические идеи
- Распространение без ограничений следует экспоненциальному росту, хотя структура графа важна.
- Сеть контактов — это граф: люди = узлы, контакты = рёбра; структура графа управляет скоростью заражения.
- Хабы (узлы с высокой степенью) действуют как усилители. Когда сеть состоит из сообществ, вакцинация узлов-мостов между ними изолирует каждую группу и останавливает заражение.
- Перколяция изучает связность случайной системы; существует критический порог p_c (зависящий от геометрии: ≈ 0,59 для квадратных клеток, ≈ 0,50 для шестиугольных, ≈ 0,70 для треугольных), при котором глобальная связность появляется или исчезает скачком.
- Количество соседей каждой клетки определяет порог: больше соседей → ниже порог → огонь распространяется при меньшей плотности деревьев.
Содержание по залам
Зал 1 · Секрет, который вырывается на волю
Анимированный вводный зал, представляющий центральную идею лабораторного курса: некоторые вещи заразны (слух, песня, вирус, пожар) — иногда они остаются в одном углу, а иногда захватывают всё.
Задания для ученика
- Прочитать введение и нажать кнопку, чтобы начать приключение.
Зал 2 · Предскажи масштаб
Сценарий чистого экспоненциального роста: 3 человека знают секрет, каждый рассказывает его 2 новым каждый день в течение 10 дней. Ученик предсказывает, сколько человек узнает секрет в конце (ответ: 3 × 2¹⁰ = 3072), прежде чем выяснить, почему эта модель слишком оптимистична.
Задания для ученика
- Выбрать числовой диапазон, оценивающий количество людей через 10 дней.
- Подумать, реалистично ли предположение «никто не повторяется».
Зал 3 · Твой первый граф
Случайный граф Эрдёша–Реньи из 30 человек с одним изначально заражённым узлом (жёлтый ореол). Ползунок управляет вероятностью передачи p на каждом шаге; ученик наблюдает, как меняется получающаяся эпидемия.
Задания для ученика
- Двигать ползунок вероятности p и запускать несколько симуляций.
- Определить диапазон p, при котором заражение охватывает почти все узлы.
Зал 4 · Важен ли первый?
Тот же граф Эрдёша–Реньи, но теперь заражение может начинаться с «популярного» узла (много связей), «среднего» или «одиночки». Ученик сначала предсказывает, какой начальный узел даст наибольшее распространение, а затем проверяет это экспериментально.
Задания для ученика
- Предсказать, какой начальный узел распространит заражение дальше всего.
- Запустить три эксперимента и сравнить результаты с предсказанием.
Зал 5 · Три разных мира
Три панели показывают три различные топологии сети (случайную, «тесный мир» и безмасштабную). Перед симуляцией ученик назначает метки в зависимости от того, какая сеть, по его мнению, распространит заражение быстрее; затем заражение запускается во всех трёх сразу и раскрывает ответ: безмасштабная сеть обычно самая быстрая, потому что хаб проходит её за несколько шагов.
Задания для ученика
- Назначить прогностическую метку (быстрее/средняя/медленнее) каждой панели.
- Запустить симуляции и проверить предсказание.
Зал 6 · Как рождается сеть?
Сеть растёт из ядра в 5 узлов: каждую секунду появляется новый узел и присоединяется к 2 уже существующим по активному правилу — предпочтительному (популярный привлекает больше), антипредпочтительному (одиночки привлекают больше) или случайному; ползунок p задаёт интенсивность правила. Рядом с графом гистограмма показывает распределение степеней, а счётчик — степень самого крупного хаба. Когда в сети становится 22 узла, появляется вопрос: какое правило объясняет, что в Instagram у немногих миллионы подписчиков, а у большинства — лишь десятки (предпочтительное присоединение, которое даёт безмасштабную сеть; Барабаши и Альберт).
Задания для ученика
- Выращивать сеть по каждому правилу и при разных значениях p.
- Сравнить гистограммы степеней и размер самого крупного хаба.
- Ответить, какое правило даёт несколько гигантских хабов и много узлов с малым числом связей.
Зал 7 · Секрет вакцинации
Ученик получает 7 вакцин для сети из 100 человек, состоящей из 7 плотных сообществ, соединённых в кольцо узлами-мостами, и должен решить, кого иммунизировать до того, как эпидемия начнётся со случайного узла. Действенная стратегия — вакцинировать мосты между сообществами: тогда каждая группа оказывается изолированной и заражение не перескакивает из одной в другую.
Задания для ученика
- Нажать на 7 узлов, которые нужно иммунизировать.
- Запустить эпидемию и оценить, удалось ли сдержать распространение.
Зал 8 · Слух против болезни
Две панели с одной и той же сетью из 28 узлов, которая может быть случайной (Эрдёша–Реньи), «тесным миром» или безмасштабной. Слева распространяется слух: каждый узел один раз решает, с вероятностью p, рассказывать ли его, и тогда слух доходит либо до всех соседей, либо ни до кого. Справа — болезнь SIR: узел остаётся заразным T циклов, и у каждого соседа свой независимый шанс заразиться с вероятностью p. Два вопроса: кто при T = 1 обычно охватывает больше узлов (болезнь) и что происходит при увеличении T (болезнь распространяется дальше, потому что вероятность избежать заражения падает с 1 − p до (1 − p)ᵀ).
Задания для ученика
- Выбрать топологию и задать p и T.
- При T = 1 запустить симуляцию несколько раз и сравнить, сколько узлов охватывает каждая панель.
- Увеличить T до 2 или больше и проверить, как меняется охват болезни.
Зал 9 · Волшебный скачок
Квадратная сетка, представляющая случайный лес: зелёный = дерево, серый = пустое место. Ученик снижает плотность деревьев и ищет порог, ниже которого огонь перестаёт пересекать лес от края до края (перколяция, p_c ≈ 0,59).
Задания для ученика
- Пробовать различные плотности деревьев.
- Найти процент, ниже которого огонь уже не пересекает весь лес.
Зал 10 · Число 59
Автоматический перебор плотностей при многих симуляциях на каждое значение: строится кривая вероятности пересечения в зависимости от плотности. Резкий переход около 59 % (p_c ≈ 0,59) становится виден на графике.
Задания для ученика
- Запустить перебор и наблюдать получившуюся кривую.
- Прочитать на графике значение плотности, при котором происходит переход.
Зал 11 · Шестиугольные клетки
Лес переходит от квадратной сетки к шестиугольной (у каждой клетки 6 соседей). Ученик снова ищет порог перколяции и проверяет, изменился ли он по сравнению с квадратной сеткой (теперь он около 50 %).
Задания для ученика
- Исследовать различные плотности на шестиугольной сетке.
- Оценить новый порог перколяции и сравнить его с прежними 59%.
Зал 12 · Треугольные клетки
Теперь сетка треугольная: каждая клетка граничит только с 3 соседями. При меньшем числе связей порог перколяции возрастает (примерно до 70 %). Ученик предсказывает направление изменения и проверяет это экспериментально. После того как порог назван, появляется таблица, сводящая три сетки: 3, 4 и 6 соседей у клетки, пороги ≈ 70 %, 59 % и 50 %.
Задания для ученика
- Предсказать, поднимется ли порог, опустится или останется прежним по сравнению с шестиугольной сеткой.
- Найти порог на треугольной сетке и сравнить с предсказанием.
Зал 13 · Ветер правит
Лес из шестиугольных клеток с фиксированной плотностью, два очага слева и противопожарная просека в центральном столбце; ветер всегда дует на восток. Три ползунка управляют скоростью ветра (0–100 км/ч), температурой (5–45 °C) и сухостью. Каждая попытка добавляет на график кривую числа горящих клеток по ходам, а для сравнения можно наложить экспоненту. Ученик называет скорость ветра, начиная с которой искры перелетают через просеку и поджигают другую сторону (≈ 40 км/ч).
Задания для ученика
- Провести несколько попыток с разными скоростями ветра, температурой и сухостью.
- Сравнить кривые числа горящих клеток по ходам для каждой попытки.
- Назвать скорость ветра, начиная с которой огонь пересекает просеку.
Зал 14 · Спаси деревню
Стратегическая игра в реальном времени: пожар начинается на северо-западе, ветер дует с северо-запада на юго-восток, в сторону деревни. Есть три сценария (умеренный ветер в обычный день, сильный ветер и умеренный ветер в жару) с бюджетом 400, 500 и 500 монет и не более чем 60 ходами. Ученик расставляет противопожарные просеки (20 монет), пожарных (30), вертолёт (100, на участок 5 × 5) или, в крайнем случае и только один раз, искусственный дождь (250), чтобы ни один дом не сгорел.
Задания для ученика
- Распределить бюджет между четырьмя доступными инструментами.
- Симулировать пожар и корректировать стратегию до полной защиты деревни в каждом сценарии.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.