Дидактические цели
Эта лаборатория — одна из самых красочных: она создаёт прекрасные цветные изображения. Рассчитана на учеников основной школы. Начинается с самого простого вопроса — «что будет, если соединить точки двух отрезков?» — и ведёт ученика, зал за залом, к открытию парабол, гипербол, кардиоид, астроид и многого другого.
Чему учимся
Прежде всего — что математика может быть красивой и цветной! Помимо этого развивается геометрическое мышление и умение выдвигать гипотезы: ученик работает с интерактивными построениями и угадывает, какую кривую видит, прежде чем получить подтверждение. Маршрут идёт от плоскости к пространству и от простых кривых к кривым, порождённым скоростями или преследованиями.
- В залах 1–2 соединяются точки двух отрезков с общей вершиной (построение Аполлония) и обнаруживается, что огибающая всегда является параболой независимо от угла между отрезками.
- В зале 3 шаг меняется на обратные высоты (1, 1/2, 1/3…) и появляется гипербола как кривая xy = c с асимптотами.
- Зал 4 (фокус и серединные перпендикуляры) показывает, что вспомогательная кривая Γ определяет конику: прямая → парабола, окружность с F внутри → эллипс, окружность с F снаружи → гипербола.
- Зал 5 (седловина) вводит третье измерение и свойство двух семейств прямых, проходящих через каждую точку.
- Залы 6–7 строят кардиоиду и нефроиду, соединяя точки окружности с двойной и кратной скоростью; ученик обнаруживает, что скорость ×M даёт M−1 фокусов.
- Зал 8 (эллипсограф Леонардо) доказывает, что середина отрезка, скользящего между двумя осями, описывает окружность, а не эллипс.
- Зал 9 завершает кривой преследования в правильных многоугольниках и вычислением пройденного расстояния.
- Зал 13 (свободная мастерская) позволяет нарисовать любую кривую вручную и видеть её касательные в реальном времени, замыкая цикл определением огибающей.
Ключевые математические идеи
- Огибающая семейства прямых — кривая, касающаяся каждой прямой семейства хотя бы в одной точке.
- Коники (парабола, эллипс, гипербола) появляются как огибающие серединных перпендикуляров FP в зависимости от положения фокуса F относительно вспомогательной кривой Γ.
- Гипербола xy = c возникает из обратного шага 1/k; её координатные оси являются асимптотами.
- Линейчатая квадрика (седловина) — поверхность, содержащая два семейства прямых; через каждую точку проходит ровно по одной прямой из каждого семейства.
- Кардиоида — огибающая хорд окружности при соотношении скоростей 2:1; нефроида при соотношении M:1 имеет M−1 фокусов (число каспов).
- Эллипсограф Леонардо описывает окружность, потому что расстояние от середины до начала координат постоянно (равно половине длины отрезка).
- Кривая преследования в правильном N-угольнике со стороной L сходится в центре; пройденное расстояние равно L / (1 − cos(2π/N)).
Содержание по залам
Зал 1 · Что такое огибающая?
Анимированное открытие: 36 касательных прямых рисуются одна за другой и обнаруживают, что их общий «край» — скрытая гладкая кривая. Вводится понятие огибающей семейства прямых.
Задания для ученика
- Наблюдать, как появляются касательные и образуют кривую.
- Перейти далее, прочитав определение огибающей.
Зал 2 · Выбери кривую и посмотри на её касательные
Ученик выбирает одну из нескольких классических кривых (парабола, кардиоида, циклоида, дельтоида, роза, лемниската) и видит в реальном времени, как касательные её восстанавливают. Финальный вызов: найти кривые ровно с одной осью симметрии.
Задания для ученика
- Нажать не менее трёх различных кривых и наблюдать их семейство касательных.
- Отметить кривые ровно с одной осью симметрии для финального задания.
Зал 3 · Хорды между двумя отрезками
Два отрезка делят общую вершину; при соединении точки k одного с точкой k другого (от противоположных концов) хорды касаются параболы. Классическая конструкция Аполлония.
Задания для ученика
- Наблюдать конструкцию и возникающую кривую.
- Ответить, какая кривая образует огибающую (вариант ответа: парабола, гипербола, циклоида, цепная линия).
Зал 4 · Меняем угол — что происходит с кривой?
Та же конструкция, что в предыдущем зале, но с 30 фиксированными точками и произвольно изменяемым углом между отрезками. Свободное исследование: остаётся ли кривая параболой при любом угле, даже 180° или очень малом?
Задания для ученика
- Перетаскивать угол и наблюдать, как меняется форма кривой.
- Ответить, остаётся ли огибающая параболой или превращается в другую кривую при изменении угла.
Зал 5 · Точки на обратных высотах
Вертикальная ось имеет точки на высотах 1, 1/2, 1/3, …, 1/N (обратные значения). При соединении конца k горизонтального отрезка с k-й точкой вертикального в качестве огибающей возникает гипербола.
Задания для ученика
- Посмотреть, как обратный шаг порождает иную кривую.
- Определить получившуюся кривую из вариантов: окружность, гипербола, парабола, эллипс.
Зал 6 · Построение конических сечений с фокусом и серединными перпендикулярами
Перетаскиваемый фокус F и вспомогательная кривая Γ (прямая, окружность или парабола). Для каждой точки P на Γ строится серединный перпендикуляр к FP; огибающая всех этих перпендикуляров — коническое сечение, которое меняется в зависимости от положения F относительно Γ.
Задания для ученика
- Перетаскивать F и менять Γ (прямая → парабола, окружность с F внутри, окружность с F снаружи).
- Ответить, при какой конфигурации огибающая является эллипсом (или окружностью).
Зал 7 · Седловая поверхность
Трёхмерная визуализация двух скрещивающихся прутьев. При соединении равноотстоящих точек хорды образуют линейчатую поверхность (однополостный гиперболоид) в форме седла. Ученик может вращать угол между прутьями.
Задания для ученика
- Вращать угол и наблюдать, как деформируется седло.
- Ответить, сколько прямых проходит через каждую точку поверхности (одна, две, три или бесконечно много).
Зал 8 · Все против всех
N точек на окружности, соединённых всевозможными отрезками. Хорды пересекаются, образуя вложенные кольца. Комбинаторный вызов: сколько отрезков при N точках?
Задания для ученика
- Изменять N и наблюдать узоры хорд и внутренних колец.
- Вычислить, сколько отрезков можно провести при заданном числе точек.
Зал 9 · Кардиоида при двойной скорости
Окружность делится на 36 частей; точка k соединяется с точкой 2k («быстрый» конец движется вдвое быстрее). Хорды строят кардиоиду как огибающую.
Задания для ученика
- Наблюдать, как кардиоида возникает из конструкции хорд.
- Ответить, сколько полных оборотов совершает быстрый конец, пока медленный делает один.
Зал 10 · Больше скорость — больше фокусов
Увеличивается число точек и исследуются различные скорости (×2, ×3, …, ×10). При скорости ×M появляется нефроида и другие кривые с M−1 видимыми фокусами.
Задания для ученика
- Пробовать нарастающие скорости и считать образующиеся фокусы.
- Ответить, сколько фокусов будет при скорости ×10.
Зал 11 · Эллипсограф Леонардо
Отрезок фиксированной длины скользит концами по двум перпендикулярным осям (кривошипно-шатунный механизм). Средняя точка отрезка описывает точную кривую — какую именно?
Задания для ученика
- Наблюдать движение отрезка и след средней точки.
- Определить кривую, которую описывает средняя точка (окружность, ромб, квадрат или овал).
Зал 12 · Почему именно окружность?
Геометрическое доказательство: при отрезке под 60° к оси x строится прямоугольник, диагональю которого является отрезок, а сторонами — оси. Вторая диагональ — OC. Поскольку в любом прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, OM = ½·L постоянно — поэтому середина описывает окружность. В конце ставится вопрос: останется ли это окружностью при изменении угла между осями.
Задания для ученика
- Прочитать вопрос и нажать «Посмотреть доказательство».
- Проследить анимацию прямоугольника и его двух диагоналей до вывода OM = ½·L.
Зал 13 · А если оси не перпендикулярны…
Тот же эллипсограф, но с ползунком, меняющим угол между осями. Кот едет на середине отрезка. Рядом со следом пунктиром показана окружность радиуса ½·L из предыдущего зала: она совпадает с траекторией только при угле 90°; в остальных случаях середина описывает эллипс.
Задания для ученика
- Менять угол между осями и наблюдать, как деформируется кривая, по которой едет кот.
- Ответить, какую кривую описывает середина, когда оси не перпендикулярны.
Зал 14 · Преследование в многоугольнике
В правильном многоугольнике каждая точка преследует соседнюю с одинаковой скоростью. Все одновременно спирально движутся к центру. Можно включить вид изменяющегося многоугольника.
Задания для ученика
- Включить анимацию и наблюдать спирали преследования.
- Вычислить, какой путь пройдёт каждая точка в квадрате со стороной 1 м до встречи в центре.
Зал 15 · Нарисуй свою кривую
Творческий завершающий зал: ученик свободно рисует мышью любую кривую, а система мгновенно строит её касательные, показывая, что любая гладкая кривая является огибающей своих же касательных.
Задания для ученика
- Нарисовать хотя бы одну собственную кривую и посмотреть её касательные в реальном времени.
- Стереть и поэкспериментировать с разными формами.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.