Дидактические цели
В этом лабе ученик никогда не выбирает продолжение ряда из готовых вариантов — он строит его своими руками. Зажигает лампы, закрашивает клетки, выкладывает спички или убирает кубики, чтобы построить следующий шаг визуальной последовательности, а сам лаборатория проверяет, верно ли построено. При правильном ответе предыдущие шаги прячутся, и ученика просят построить ещё один шаг, опираясь только на тот, что он только что сделал: угадать один раз можно случайно, а два раза подряд — уже нет.
Чему учимся
Лаб учит замечать правило, управляющее последовательностью, и применять его вперёд, а не узнавать среди готовых вариантов. Он также тренирует подсчёт одной и той же фигуры двумя разными способами — для многих учеников это первый настоящий опыт алгебраического равенства: два выражения выглядят по-разному, но считают одно и то же.
- Замечать правило образования последовательности по её первым шагам и применять его для построения следующего (залы 1-8).
- Узнавать и применять повороты, отражения и инверсии цвета фигур на сетке (залы 3-5 и 8).
- Считать одну и ту же структуру двумя разными способами и проверять, что оба дают одно и то же число (залы 9-14).
- Узнавать треугольные и квадратные числа как суммы последовательных рядов или слоёв (залы 15-16).
- Наблюдать мультипликативный рост и самоподобие в фигурах, повторяющихся в разных масштабах (залы 17-19).
- Придумывать собственное правило, соединяя преобразования, и разгадывать секретное правило лаборатории, наблюдая, как оно преобразует фигуру шаг за шагом (зал 20).
Ключевые математические идеи
- Регулярность: интересная последовательность — это не набор случайных рисунков, а результат применения одного и того же правила снова и снова. Увидеть это построенным вручную, шаг за шагом, убедительнее, чем просто услышать формулировку.
- Преобразования плоскости — поворот, отражение, инверсия цвета — как операции, которые можно соединять в цепочку и чей эффект можно предсказать до применения.
- Подсчёт одной фигуры двумя способами (например, рамка квадрата как 4N−4 или как N²−(N−2)²) — это вход в идею, что две разные формулы могут быть одним и тем же количеством: зерно алгебраического равенства.
- Треугольные числа (1, 3, 6, 10, 15…) и квадратные числа (1, 4, 9, 16, 25…) как накопленные суммы рядов или Г-образных слоёв.
- Мультипликативный рост и самоподобие: такие фигуры, как треугольник Серпинского или ветвящееся дерево, где каждая часть воспроизводит структуру целого в другом масштабе.
Уровень: начальная школа (8-12 лет). На уроке хорошо работает проекция на весь класс в залах построения с двойной итерацией: эффект «спрячь предыдущее и попроси ещё один шаг» объясняет себя сам и подталкивает вслух спросить «какое правило ты используешь?», прежде чем ученик запишет его своими словами в свободном поле каждого зала.
Содержание по залам
Зал 1 · Скользящее окно
Сетка 3×3, пронумерованная от 1 до 9. Окно из трёх подряд идущих кружков зажигается и сдвигается на одну клетку на каждом шаге: ученик видит первые пять шагов и сам зажигает кружки шестого, а затем, с закрытыми предыдущими шагами, кружки седьмого.
Задания для ученика
- Зажечь три подряд идущих кружка для шага 6.
- С закрытыми предыдущими шагами зажечь кружки для шага 7.
Зал 2 · Буква L
Буква L на сетке 4×4, которая поворачивается на 90° по часовой стрелке на каждом шаге. Ученик проводит по клеткам, чтобы закрасить шаг 4, и проверяет, что шаг 5 снова совпадает с первым: фигура завершает цикл из четырёх поворотов.
Задания для ученика
- Закрасить положение буквы L на шаге 4, повернув её на 90° относительно шага 3.
- Закрасить шаг 5 и проверить, что он снова совпадает с шагом 1.
Зал 3 · Как растёт дерево дальше?
Три шага фрактального дерева — 1, 2 и 4 новые веточки — и четыре продолжения на выбор. Три неверных очень похожи на верное: в одном каждый кончик распускается на три, в другом два кончика идут прямо и получается 6 веточек вместо 8, в третьем новые ветки не укорачиваются; при ошибке говорится, что именно не так в выбранном. Дальше — таблица степеней двойки до шага 6, а в награду дерево, нарисованное за девять шагов. Заменяет зал с зеркалом, который не считывался.
Задания для ученика
- Выбрать, какой из четырёх рисунков продолжает дерево.
- Заполнить таблицу новых веточек: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Увидеть, из чего вырастает целое дерево — из крошечного правила.
Зал 4 · Звёзды
Сетка 7×7, где каждая закрашенная клетка заражает четырёх соседей, как иней, растущий на стекле. Размеры пятна следуют ряду 1, 5, 13, 25, и ученик закрашивает следующий шаг, а затем, с закрытым предыдущим, ещё один.
Задания для ученика
- Закрасить следующий шаг, заразив каждой закрашенной клеткой её четырёх соседей.
- С закрытым предыдущим шагом закрасить ещё один шаг.
Зал 5 · Таблица лиц
Таблица 3×3 сочетает три типа носа и три типа рта, не повторяя сочетание ни в одном ряду или столбце — как латинский квадрат. Не хватает одного лица, и ученик собирает его черта за чертой, а не выбирает из списка; в одном из вариантов пустых клеток две.
Задания для ученика
- Определить, какого носа и рта не хватает в пустой клетке, и собрать лицо.
- Решить вариант с двумя пустыми клетками.
Зал 6 · Два правила сразу
Стрелка поворачивается на 45° на каждом шаге, а её цвет чередуется между двумя, следуя двум независимым правилам одновременно. Ученик задаёт следующему шагу нужное направление и нужный цвет, а затем ещё один шаг, опираясь только на него.
Задания для ученика
- Повернуть стрелку на 45° и сменить её цвет, чтобы построить следующий шаг.
- С закрытым предыдущим шагом построить ещё один.
Зал 7 · Два превращения
Та же буква L, поворачивающаяся на 90° за шаг, но теперь ещё меняются местами закрашенные и пустые клетки. Полный цикл занимает четыре шага: ученик обнаруживает это сам, строя шаг за шагом, без предупреждения заранее.
Задания для ученика
- Закрасить следующий шаг, повернув фигуру и поменяв местами закрашенное и пустое.
- Продолжать строить шаги, пока не убедишься, что цикл повторяется каждые четыре шага.
Зал 8 · Часы
Циферблат из двенадцати ламп, где горящие лампы сдвигаются на час вперёд на каждом шаге и добавляется новая лампа, чередуясь между позициями 12 и 6. Показаны четыре шага, и ученик зажигает лампы пятого шага, а затем, с закрытыми предыдущими, шестого; в варианте с обратным ходом нужно вычислить более ранний шаг по более позднему.
Задания для ученика
- Зажечь лампы шага 5, сдвинув шаг 4 на час вперёд и добавив новую лампу.
- С закрытыми предыдущими шагами зажечь лампы шага 6.
- Решить вариант с обратным ходом, вычислив более ранний шаг.
Зал 9 · Спички: ряд квадратов
Ряд квадратов из спичек: каждый новый квадрат делит одну сторону с предыдущим. Ученик заранее называет число спичек для четвёртого квадрата (13), выкладывает их и считает двумя способами: по вертикальным спичкам (n+1) и по горизонтальным (2n).
Задания для ученика
- Назвать число спичек для шага 4, прежде чем его строить.
- Выложить спички и посчитать их по вертикалям и по горизонталям, проверив, что оба подсчёта совпадают.
Зал 10 · Спички: треугольники
Треугольники, переворачивающиеся через один и делящие сторону с предыдущим: ряд спичек — 3, 5, 7, 9. В одном из вариантов каждый треугольник разбивается на треугольники поменьше, с рядом 3, 9, 18.
Задания для ученика
- Назвать и построить число спичек четвёртого треугольника (9).
- Решить вариант с разбитыми треугольниками, посчитав двумя способами.
Зал 11 · Большой треугольник
Большой треугольник со стороной N, разбитый на одинаковые маленькие: 1, 4 и 9 треугольничков и 3, 9 и 18 спичек. Стороны 1 и 2 даны собранными, а сторона 3 показана серым, в натуральную величину и только линиями, чтобы было понятно, что значит «сторона 3», прежде чем считать. Ученик предсказывает, выкладывает спички и считает двумя способами.
Задания для ученика
- Предсказать, сколько спичек нужно для треугольника со стороной 3.
- Выложить 18 спичек и посчитать их по наклонам и по рядам.
- Заполнить таблицу до треугольника со стороной 4, который не нарисован.
Зал 12 · Рамка
В сетке N×N закрашивается только край. Ученик заранее называет, сколько это будет клеток, закрашивает их и считает двумя путями: напрямую по периметру (4N−4) и вычитая внутреннюю дыру из общего числа (N²−(N−2)²).
Задания для ученика
- Назвать число клеток рамки, прежде чем закрашивать.
- Закрасить рамку и проверить подсчёт по обеим формулам.
Зал 13 · Скелет кубика
Кубик N×N×N, от которого остались только кубики рёбер и вершин. Шаг 1 (2×2×2, 8 деталей) и шаг 2 (3×3×3, 20) даны собранными, число показано крупно. Ученик предсказывает, сколько останется в кубике 4×4×4, и, если ошибся, вытачивает его сам, убирая центры граней и внутренность; ползунок слоёв необходим, чтобы добраться до спрятанного. Два подсчёта числами того кубика, который на экране: 8 вершин + 12 рёбер по 2 детали или 64 минус внутренний блок минус шесть пластин.
Задания для ученика
- Предсказать, сколько деталей в скелете кубика 4×4×4.
- Убрать лишние кубики и найти спрятанные с помощью ползунка.
- Заполнить таблицу до кубика 6×6×6 и заметить, что каждый шаг добавляет 12.
Зал 14 · Треугольники из точек
Треугольные числа 1, 3, 6, 10. Видна вся треугольная решётка, гораздо больше того, что нужно зажечь, и первые два слоя уже горят: ученик сам решает, где новый ряд, — ему не показывают. Строятся два шага подряд, второй — с закрытыми предыдущими.
Задания для ученика
- Выложить ряд, продолжающий треугольник.
- Повторить с закрытыми предыдущими шагами.
- Заполнить таблицу до шага 7, который не нарисован.
Зал 15 · Квадраты и слои
Квадратные числа 1, 4, 9, 16 как слои-уголки. Видна вся квадратная решётка, первые два слоя горят; каждый готовый слой красится своим цветом, а панель складывает 1+3+5+7. Ученик выкладывает два уголка подряд.
Задания для ученика
- Выложить уголок, продолжающий квадрат.
- Повторить с закрытыми предыдущими шагами.
- Заполнить таблицу до шага 7, который не нарисован.
Зал 16 · Соты
Центрированные шестиугольники 1, 7, 19, 37. Видны все соты с запасным кольцом, первые два слоя горят; ученик выкладывает целое кольцо. В конце — два подсчёта одной и той же фигуры: по кольцам и по шести долькам плюс центр.
Задания для ученика
- Выложить кольцо, продолжающее соты.
- Повторить с закрытыми предыдущими шагами.
- Посчитать фигуру по кольцам и по долькам и заполнить таблицу до шага 7.
Зал 17 · Считаем треугольники
Треугольник Серпинского: 1, 3, 9, 27 закрашенных треугольников. Ученик предсказывает, сколько будет на шаге 4, и, если ошибся, строит его, деля по одному начиная с шага 3; если угадал — шаг показывают готовым. Потом он заполняет таблицу закрашенных и, глядя на шаг 4, считает чёрные треугольнички (дырки) и обнаруживает, что они тоже образуют ряд: 0, 1, 4, 13.
Задания для ученика
- Предсказать, сколько закрашенных треугольников будет на шаге 4.
- Делить треугольник за треугольником, пока шаг не закончен.
- Посчитать дырки шага 4 и заполнить таблицу дырок.
Зал 18 · Ветвящееся дерево
Из каждого кончика выходят две ветки из одной точки: одна идёт прямо длиной 0,6 от предыдущей, другая отходит на 20° длиной 0,5. Ученик растит дерево, нажимая на кончики, и не может забежать вперёд: кончики следующего уровня не отвечают, пока не открыты все кончики текущего. После трёх уровней — таблица накопленных веток (1, 3, 7, 15, 31, 63) и дерево, нарисованное за семь уровней, которое уже похоже на папоротник.
Задания для ученика
- Выбрать, на сколько веточек распускается кончик.
- Открыть все кончики шага.
- Заполнить таблицу новых веточек и предсказать шаг, не строя его.
Зал 19 · Покрашенные кубики
Зал начинается с вопроса, на сколько кубиков 1×1×1 разрезается кубик 3×3×3. После ответа кубик раскрывается на слои: кто угадал — идёт дальше, кто нет — считает кубики одного слоя и складывает 9+9+9. Только потом идёт вопрос о краске: сколько кубиков будет с тремя покрашенными гранями. Дальше 27 кубиков раскладываются по числу покрашенных граней, но **по одной кучке за раз**: сначала отмечаются кубики с тремя гранями и проверяются, и только потом появляется следующая кучка. Кубик по-настоящему покрашен — грани, которые были снаружи, показаны цветом краски, — а три слоя раздвинуты, так что можно нажать на любой кубик. В конце весы: 8 + 12 + 6 + 1 = 27.
Задания для ученика
- Сказать, на сколько маленьких кубиков разрезается кубик, и проверить это по слоям.
- Предсказать, сколько кубиков будет с тремя покрашенными гранями.
- Разложить 27 кубиков и заполнить таблицу для кубика 4×4×4.
Зал 20 · Палочки и пластилин
Проволочный каркас кубической решётки: пластилиновые шарики в узлах и палочки на рёбрах. Шаг 1 дан собранным (8 шариков и 12 палочек), а шаг 2 нарисован серым в натуральную величину, чтобы было видно, о чём спрашивают. Шарики в узлах отмечаются по одному (27), а потом пересчитываются двумя способами: по слоям и по столбцам. Зал стоит в конце лаборатории, потому что объёмный каркас читается труднее всего.
Задания для ученика
- Предсказать, сколько пластилиновых шариков в каркасе шага 2.
- Отметить узлы и посчитать их по слоям и по столбцам.
- Заполнить таблицу шариков до шага 3, который не нарисован.
Зал 21 · Твоё собственное правило
Два режима. В режиме конструктора ученик рисует фигуру на сетке 3×3 и соединяет преобразования — повернуть, отразить, инвертировать, сдвинуть; ряд строится на сетке 7×7, где фигура вставлена в левый верхний угол, чтобы сдвиг читался как движение, а не как прыжок. В режиме отгадки лаборатория прячет цепочку из двух преобразований, показывает четыре шага, а ученик строит пятый и шестой; за два верных подряд ему открывают цепочку словами.
Задания для ученика
- Нарисовать фигуру и соединить преобразования, чтобы получить свой ряд.
- Разгадать спрятанную цепочку, построив следующий шаг.
- Повторить с закрытыми предыдущими шагами и сравнить со своей догадкой.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.