Дидактические цели
Как вирус распространяется от одного человека до тысяч? Этот лаб использует COVID-19 как сквозную нить, чтобы ученики средней школы шаг за шагом построили реальные математические модели, которыми пользуются эпидемиологи. Начинается с сетки людей, заражающихся случайным образом, и заканчивается тремя миссиями по управлению кризисом — грипп A, Эбола и COVID — где ученик решает, когда вводить карантин, сколько вакцин раздать и кому их отдать.
Чему учимся
Ученики развивают способность переходить от качественного наблюдения («кривая быстро растёт») к количественной модели, настраиваемой по реальным данным.
- Выясняется, что плотность контактов определяет, будет ли эпидемия: ниже ~50 % плотности болезнь затухает сама (порог перколяции).
- Сравнивая клеточный автомат с реальными данными COVID, видно: без перемещения кривая линейна, а добавление радиуса перемещения делает её экспоненциальной.
- Вводится модель SAIR (бессимптомные носители, заражающие незаметно для себя) и её влияние на скорость распространения.
- Ученик вручную вычисляет дискретные дифференциальные уравнения ΔS = −β·S·I/N, ΔR = γ·I, ΔI = −ΔS − ΔR, а затем подбирает β и γ по реальным данным COVID.
- Изучается базовое репродуктивное число R₀ и проводятся эксперименты с вакцинацией, карантином и масками, чтобы удержать пик заражений ниже конкретных порогов.
- В зале про социальные сети сравниваются топологии (регулярная, случайная, безмасштабная) и принимается решение, кого вакцинировать в реальной сети всего тремя дозами.
Ключевые математические идеи
- Клеточный автомат на сетке моделирует локальное распространение; окрестность из 4 клеток определяет, кто может заразиться на каждом шаге.
- Перколяция: существует критический порог плотности, начиная с которого инфекция охватывает всю систему.
- Уравнения SIR — система конечных разностей, дискретизирующая скорости заражения (β) и выздоровления (γ).
- R₀ = β / γ: если R₀ > 1, эпидемия развивается; коллективный иммунитет требует вакцинировать не менее 1 − 1/R₀ населения.
- В безмасштабной сети немногие узлы с множеством связей (хабы) резко ускоряют распространение; вакцинировать их в первую очередь эффективнее, чем случайная вакцинация.
Содержание по залам
Зал 1 · Добро пожаловать в модель
Введение в клеточный автомат SIR: сетка людей с тремя состояниями (здоров, заражён, иммунен) и вероятностью заражения β. Учащийся запускает симуляцию и наблюдает, как распространяется первый очаг.
Задания для ученика
- Нажать «Старт» и наблюдать, как начальная красная клетка заражает соседей каждый день.
- Найти на сетке три цвета: зелёный (S), красный (I) и серый (R).
Зал 2 · Плотность имеет значение
Вводится понятие плотности населения: при незаполненной сетке часть клеток пустует. Учащийся обнаруживает порог перколяции (~50 %), ниже которого болезнь не успевает охватить всех.
Задания для ученика
- Передвигать ползунок плотности и наблюдать, когда эпидемия гаснет раньше, чем успевает распространиться.
- Найти приблизительное значение плотности, при котором болезнь перестаёт достигать всего населения.
Зал 3 · Какая кривая похожа на реальность?
Показаны первые 25 дней COVID-19 в Испании и три кривые-кандидата: линейная, полиномиальная и экспоненциальная. Учащийся определяет, какая подходит лучше всего, и объясняет почему.
Задания для ученика
- Визуально сравнить три кривые с реальными данными.
- Выбрать наилучшую кривую и объяснить, почему динамика заражения является экспоненциальной.
Зал 4 · Наш автомат против реальных данных
Статичный автомат (без движения) накладывается красным цветом поверх реальной кривой COVID жёлтым. Расхождение разительное: автомат достигает пика гораздо позже и меньшего масштаба — это мотивирует ввести движение.
Задания для ученика
- Наблюдать разницу между кривой автомата и реальной кривой COVID.
- Обдумать и записать хотя бы одну причину, объясняющую расхождение.
Зал 5 · Добавляем движение
Заражённые могут перемещаться в некотором радиусе перед тем, как передать болезнь. Два ползунка: вероятность заражения β и радиус движения. Лишь один из них меняет форму кривой с линейной на экспоненциальную.
Задания для ученика
- Передвинуть ползунок β и наблюдать его влияние на кривую.
- Передвинуть ползунок радиуса и выяснить, который из двух меняет форму кривой.
Зал 6 · Бессимптомные и изоляция
Вводится модель SAIR: заражённые сначала проходят бессимптомную фазу (заражают и перемещаются, не зная об этом), а затем изолируются при появлении симптомов. Чем дольше бессимптомная фаза, тем выше пик.
Задания для ученика
- Изменить ползунок продолжительности бессимптомной фазы.
- Наблюдать, как более долгий бессимптомный период увеличивает пик заражённых.
Зал 7 · Модель SIR: день за днём
Приводятся три дискретных дифференциальных уравнения модели SIR: ΔS = −β·S·I/N, ΔR = γ·I, ΔI = −ΔS − ΔR. Учащийся вручную рассчитывает первые два дня, а затем симулятор достраивает кривую.
Задания для ученика
- Рассчитать значения S, I и R на день 1 по приведённым формулам.
- Рассчитать день 2 и сравнить с результатом симулятора.
Зал 8 · Подгоняем модель к данным COVID
Используя реальные точки COVID-19 в Испании как ориентир, учащийся подбирает параметры β и γ жёлтой кривой SIR так, чтобы средняя ошибка упала ниже 550 случаев/день.
Задания для ученика
- Передвигать ползунок β и наблюдать, как поднимается или опускается пик.
- Подобрать γ, чтобы ширина кривой совпала с данными.
- Добиться средней ошибки ниже 550 случаев/день.
Зал 9 · R₀ и эпидемический порог
Вводится R₀ как среднее число заражений от одного больного. Учащийся изменяет β и продолжительность заразного периода, чтобы довести R₀ до ≈1 — критического порога между затуханием и эпидемией.
Задания для ученика
- Передвигать ползунки β и «дней заразности» и изучать, как меняется R₀.
- Привести R₀ как можно ближе к 1, чтобы разблокировать кнопку «Продолжить».
Зал 10 · Вакцинация: сгладить кривую
Добавляется начальный иммунитет (вакцинированные), и появляется жёлтая пунктирная линия на уровне 15 % заражённых. Учащийся поднимает долю вакцинированных до тех пор, пока пик не перестаёт превышать эту линию.
Задания для ученика
- Постепенно повышать ползунок «Вакцинированные» и наблюдать, как падает пик.
- Найти минимальный процент вакцинированных, удерживающий пик ниже 15 %.
Зал 11 · Сколько нужно вакцинировать?
Три болезни с очень разными R₀: грипп (R₀ ≈ 1,5), COVID (R₀ ≈ 3) и корь (R₀ ≈ 15). Для каждой учащийся ищет минимальный охват вакцинации, который гасит эпидемию.
Задания для ученика
- Для каждой болезни подобрать охват вакцинации до полного угасания вспышки.
- Сравнить три порога и связать их с формулой 1 − 1/R₀.
Зал 12 · Локдаун
Часть населения остаётся дома (не перемещается, но всё ещё может заразиться от соседей). Задача — удержать пик ≤ 30 %, применив наименее жёсткий карантин.
Задания для ученика
- Усилить уровень локдауна и наблюдать падение пика.
- Найти минимальный процент изолированного населения, удерживающий пик ≤ 30 %.
Зал 13 · Маски
Маски снижают β: β_эфф = β · (1 − ношение). Учащийся должен удержать пик ≤ 25 % при минимальном использовании масок, добиваясь баланса между эффективностью и социальными издержками.
Задания для ученика
- Изменить ползунок ношения масок и наблюдать, как меняется β_эфф и пик.
- Найти минимальное ношение, удерживающее пик ниже 25 %.
Зал 14 · Социальные сети: сила хаба
Сетка заменяется графом контактов. Учащийся сравнивает три топологии (регулярную, случайную, безмасштабную) и выясняет, почему безмасштабные сети наиболее уязвимы; затем решает, кого вакцинировать, имея лишь 3 дозы.
Задания для ученика
- Запустить вспышку в трёх топологиях и сравнить скорость распространения.
- Выбрать 3 узла для вакцинации в реальной сети, чтобы минимизировать ущерб.
Зал 15 · Миссия 1 — вспышка гриппа A
Первая открытая миссия: неизвестный вирус появляется в углу карты. Учащийся располагает бюджетом и несколькими инструментами (вакцинация, локдаун, маски) и должен удержать число погибших ниже установленного предела.
Задания для ученика
- Проанализировать начальную вспышку и выработать стратегию вмешательства с имеющимся бюджетом.
- По окончании симуляции число погибших должно быть ниже порогового значения.
Зал 16 · Миссия 2 — вспышка лихорадки Эбола
Вторая миссия с патогеном, имеющим иные параметры (высокая летальность, низкая воздушно-капельная передача). Используются те же инструменты, что и в предыдущей миссии, но оптимальная стратегия иная.
Задания для ученика
- Адаптировать стратегию, выработанную в зале 15, к новому профилю Эболы.
- Завершить миссию, удержав число погибших в пределах лимита.
Зал 17 · Миссия 3 — COVID-19 (первые дни)
Финальная миссия: воспроизвести сценарий первых дней COVID-19 с реальными параметрами и инструментами лаборатории. Завершает маршрут, связывая математическое моделирование с конкретным историческим событием.
Задания для ученика
- Применить всё изученное (β, γ, R₀, вакцинация, локдаун, маски), чтобы сдержать вспышку.
- Завершить миссию с максимально эффективной стратегией.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.