Дидактические цели
Лаборатория по теории групп для первого курса. Косы — это группа, которую можно потрогать: их плетут из перекрёстков, складывают, ставя одну под другой, и распутывают зеркальным отражением. Группа бесконечна, неабелева и задаётся соотношениями всего двух типов, поэтому на новом примере повторяется почти весь курс: образующие, копредставления, гомоморфизмы, ядра, факторгруппы, сопряжение, центр, абелианизация. В конце, замыкая косы, получаем узлы, а инварианты, которые их различают, оказываются гомоморфизмами.
В каждом зале от четырёх до восьми заданий, одно за другим. У нитей постоянные неоновые цвета, поэтому видно, куда приходит каждая, без лишних объяснений.
Чему учатся
- Читать и записывать косы как слова из образующих σᵢ и σᵢ⁻¹, переходить от рисунка к слову и обратно.
- Групповая операция: сложение двух кос (одна под другой), нейтральный элемент, обратная коса как зеркальное отражение и некоммутативность.
- Копредставление Артина: далёкие перекрёстки коммутируют, и соотношение кос σᵢσᵢ₊₁σᵢ = σᵢ₊₁σᵢσᵢ₊₁. Задавать гомоморфизмы, проверяя соотношения.
- Упрощать слова этими движениями и решать, тривиальна ли коса (проблема слов), с помощью действия Артина на свободной группе и нормальной формы Гарсайда.
- Строение Bₙ: гомоморфизм на Sₙ и его ядро (чистые косы), абелианизация ℤ (подсчёт перекрёстков со знаком) и центр, порождённый полным оборотом Δ².
- Замыкать косу, получая узел или зацепление, считать компоненты, распутывать движениями Рейдемейстера и узнавать, когда две косы дают одно зацепление (Марков).
- Различать узлы инвариантами: коэффициентом зацепления, раскрасками в три цвета и полиномом Джонса.
Ключевые математические идеи
- Хватает трёх движений. Любая деформация косы — это цепочка шагов трёх видов: убрать пару σσ⁻¹, переставить далёкие перекрёстки и соотношение кос (теорема Артина).
- Кос бесконечно много, но их можно сравнивать. Действие на свободной группе точное, а нормальная форма Гарсайда даёт единственную запись: так компьютер решает, одна ли это коса.
- Забыть, какая нить сверху, — это гомоморфизм. π: Bₙ → Sₙ сюръективен; его ядро Pₙ бесконечно, поэтому Bₙ гораздо больше Sₙ.
- Все σᵢ сопряжены, поэтому любой гомоморфизм в абелеву группу переводит их в один элемент, и абелианизация равна ℤ.
- Инвариант — это то, что не меняется при движениях Рейдемейстера. Раскраски в три цвета — это гомоморфизмы группы узла в диэдральную группу Δ₃. У трилистника их 9, у тривиального узла 3, значит, это разные узлы.
Источники
Копредставление — по Э. Артину, «Theorie der Zöpfe» (1925) и «Theory of braids» (1947). Нормальная форма — Ф. А. Гарсайда (1969). В целом — К. Кассель и В. Тураев, Braid Groups (Springer, GTM 247, 2008). Также теоремы Александера (1923) и Маркова (1935), раскраски Р. Фокса и скобка Л. Кауфмана (1987) для полинома В. Джонса (1985).
Заметки для урока
- «Та же коса?» хорошо смотрится на проекторе: пусть класс проголосует до того, как увидит анимацию деформации.
- «Сумматор кос» — удобный момент повторить аксиомы группы на предмете, который можно потрогать (помогают верёвочки или шнурки на столе).
- «Полный оборот» легче понять с трюком с ремнём: поверните один конец ремня на полный оборот и посмотрите, как нити закручиваются, по-настоящему не пересекаясь.
- «Три цвета» — первое доказательство того, что узел нельзя развязать; здесь стоит сделать паузу.
Содержание по залам
Зал 1 · Сплети свою первую косу
Где сегодня используется группа кос (топологические квантовые вычисления, криптография, ДНК) и немного истории (Гурвиц, Артин). Определение косы и перекрёстков σᵢ и σᵢ⁻¹. Четыре косы копируются клавиатурой перекрёстков, и выясняется, что кос бесконечно много.
Задания для ученика
- Скопировать четыре нарисованные косы.
- Решить, сколько существует кос из 3 нитей.
Зал 2 · Та же коса?
Шесть пар кос. Если коса одна и та же, показывается анимированная деформация (перестановка, удаление пары, соотношение кос); если нет — инвариант, который это запрещает: куда приходит каждый цвет или сумма степеней.
Задания для ученика
- Решить для шести пар, одна ли это коса.
Зал 3 · От слова к рисунку
От слова к рисунку (миниатюры с ловушками: обратная коса, обратный порядок, зеркало, один знак изменён) и от рисунка к слову.
Задания для ученика
- Выбрать рисунок для трёх слов.
- Записать слово для трёх рисунков.
Зал 4 · Куда приходит каждый цвет?
Гомоморфизм π: Bₙ → Sₙ. Куда приходит нить, перестановка в циклах, π(ab) = π(a)π(b), сюръективность и ядро (σ₁²) — чистые косы.
Задания для ученика
- Проследить две нити.
- Записать перестановку в циклах.
- Составить композицию двух перестановок кос.
- Найти косу из ядра.
Зал 5 · Сумматор кос
Сумматор ставит одну косу под другой с анимацией. Повторение аксиом группы: какой рисунок — A·B, равно ли A·B и B·A, нейтральный элемент, ассоциативность и уравнение σ₁σ₂·B = σ₂σ₁σ₂.
Задания для ученика
- Узнать две суммы.
- Решить, коммутативно ли сложение.
- Решить уравнение в B₃.
Зал 6 · Коса, которая распутывает
Обратная коса — зеркальное отражение сверху вниз; сложение A и A⁻¹ распутывается, как застёжка-молния. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ и бесконечный порядок σ₁.
Задания для ученика
- Записать три обратные косы.
- Выбрать (AB)⁻¹.
- Определить порядок σ₁.
Зал 7 · Далёкие перекрёстки
σᵢσⱼ = σⱼσᵢ при |i − j| ≥ 2. Головоломки с перестановкой далёких перекрёстков до целевого слова и вопросы о том, какие образующие коммутируют.
Задания для ученика
- Решить две головоломки с перестановками.
- Решить три вопроса о коммутировании.
- Увидеть, что ⟨σ₁, σ₃⟩ абелева.
Зал 8 · Соотношение кос
σᵢσᵢ₊₁σᵢ = σᵢ₊₁σᵢσᵢ₊₁ в анимации, варианты с обратными и сопряжение: все σᵢ сопряжены.
Задания для ученика
- Решить две головоломки с R3.
- Найти другое слово для σ₂σ₃σ₂.
- Найти c, при котором cσ₁c⁻¹ = σ₂.
Зал 9 · Косы рядом
A и B ставятся рядом: Bₘ × Bₙ → Bₘ₊ₙ, индексы B сдвигаются. Это инъективный гомоморфизм.
Задания для ученика
- Записать два слова A ⊕ B.
- Узнать рисунок.
- Решить три вопроса о свойствах.
Зал 10 · Копредставление Артина
Теорема Артина и то, как гомоморфизм задаётся из копредставления проверкой соотношений, в S₃, S₄ и ℤ.
Задания для ученика
- Посчитать соотношения B₄ и B₅.
- Решить, задают ли гомоморфизм четыре сопоставления.
- Узнать B₂.
Зал 11 · Убираем пары
Почему важно решать, равны ли две косы (проблема слов). Головоломки только с R2 и единственность свободного сокращения.
Задания для ученика
- Решить четыре головоломки с R2.
- Решить, важен ли порядок.
- Посчитать две длины после сокращения.
Зал 12 · Упроститель
Пять головоломок с R2, перестановками и R3 до кратчайшего слова, в сравнении с рекордом упростителя, решение которого можно посмотреть.
Задания для ученика
- Решить пять головоломок на упрощение.
Зал 13 · Тривиальна ли коса?
Действие Артина на свободной группе с калькулятором, который обновляет образы x₁, …, xₙ. Действие точное, поэтому оно решает, тривиальна ли коса.
Задания для ученика
- Вычислить два образа.
- Решить, тривиальны ли три косы.
- Понять, что значит точное действие.
Зал 14 · Полуоборот и нормальная форма
Полуоборот Δ, простые косы и нормальная форма Гарсайда Δᵏ·A₁⋯A_r, нарисованная в рамках.
Задания для ученика
- Узнавать простые косы.
- Посчитать простые косы B₃ и B₄.
- Вычислить |Δ₅| и Δσ₁Δ⁻¹.
- Сравнить две пары слов с помощью нормальной формы.
Зал 15 · Чистые косы
Pₙ = ker π, нормальная подгруппа индекса n!. Образующие Aᵢⱼ, P₂ ≅ ℤ и смежные классы как перестановки.
Задания для ученика
- Узнавать чистые косы.
- Вычислить [B₄ : P₄].
- Выбрать косу из того же смежного класса.
- Определить, какие нити зацепляет Aᵢⱼ.
Зал 16 · Считаем перекрёстки со знаком
Сумма степеней — гомоморфизм в ℤ; так как все σᵢ сопряжены, абелианизация равна ℤ, а коммутант — её ядро.
Задания для ученика
- Посчитать две суммы степеней.
- Решить вопросы о гомоморфизмах в ℤ и ℤ₆.
- Решить, произведение ли коммутаторов σ₁σ₂⁻¹.
Зал 17 · Полный оборот
3D-сцена: поворот нижнего диска на 360° сплетает полный оборот Δ². Δ² центральна, Δ не коммутирует с σ₁, центр Bₙ равен ⟨Δ²⟩.
Задания для ученика
- Вычислить длину и сумму степеней Δ².
- Решить, чистая ли Δ² и центральна ли Δ.
- Выбрать центральную косу.
Зал 18 · Замыкаем косу
Почему важны узлы (ДНК, белки, физика) и их история. Замыкание косы даёт узел или зацепление; компоненты — это циклы перестановки. Теорема Александера.
Задания для ученика
- Посчитать компоненты трёх замыканий.
- Выбрать то, что является узлом.
- Сопоставить трилистник, Хопфа и восьмёрку с их косами.
Зал 19 · Распутай узел
Движения Рейдемейстера на замкнутой косе с анимированными демонстрациями. Пять узлов, которые распутываются движениями R1, R2, R3, перестановками и поворотом, и трилистник, который не распутывается.
Задания для ученика
- Распутать пять диаграмм.
- Решить, можно ли распутать трилистник.
Зал 20 · Движения Маркова
Две косы дают одно зацепление тогда и только тогда, когда одну можно перевести в другую сопряжениями и стабилизациями. Пары различаются по числу компонент и полиному Джонса.
Задания для ученика
- Решить для пяти пар.
- Стабилизировать σ₁³ до σ₁³σ₂.
- Узнать поворот как сопряжение.
Зал 21 · Коэффициент зацепления
lk — половина суммы знаков перекрёстков между двумя компонентами. У зацепления Уайтхеда lk = 0, но оно всё равно зацеплено.
Задания для ученика
- Посчитать четыре коэффициента зацепления.
- Решить, тривиально ли зацепление Уайтхеда.
- Объяснить, почему lk — инвариант.
Зал 22 · Три цвета
Зачем нужны инварианты. Раскраски в три цвета как гомоморфизмы группы узла в Δ₃: трилистник и 6₁ раскрашиваются, восьмёрка — нет; у трилистника 9 раскрасок, у тривиального узла 3, значит, они различны. Раскраски восьмёрки в 5 цветов.
Задания для ученика
- Раскрасить трилистник и 6₁.
- Решить, раскрашивается ли восьмёрка.
- Посчитать раскраски трилистника и тривиального узла.
Зал 23 · Полином Джонса
Скобка Кауфмана с разобранным примером, пошаговое вычисление для зацепления Хопфа, хиральность трилистника и финальное задание: узнать три замаскированных узла с помощью калькулятора инвариантов.
Задания для ученика
- Пошагово вычислить скобку зацепления Хопфа.
- Сравнить трилистник с его зеркальным отражением.
- Определить три узла.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.