Дидактические цели
Синус и косинус определяются через точку, которая вращается по окружности радиуса 1: cos θ и sin θ — её координаты (x, y). Лаб начинается отсюда и за 25 залов доходит до прямоугольного треугольника, особых углов, графика как функции, частоты и амплитуды, звука, эллипса, двойного угла и полярных координат. Это лаб для бахильерато: рисунки, которые ученик двигает, и задачи, которые решаются вычислением.
Отдельных экранов с объяснениями нет: в каждом зале интерактивный рисунок (перетаскиваемая точка, ползунки, анимация) сочетается с одним или несколькими вопросами, на которые нужно ответить, чтобы пройти дальше. Есть вопросы с выбором ответа, числовые ответы (подсказка после второй ошибки и решение после третьей) и два теста на скорость с ограничением по времени. Некоторые рисунки появляются только как помощь после ошибки (скрытая точка в зале 12, двойной угол в зале 21).
Чему учимся
Лаб ведёт ученика от «синус — это координата» к использованию синуса и косинуса как инструмента для волн, кривых и точек на плоскости.
- Определять cos θ и sin θ как координаты точки единичной окружности и видеть, что cos²θ + sin²θ = 1 (зал 1).
- Переводить градусы в радианы и обратно (зал 2).
- Узнавать катеты прямоугольного треугольника как sin θ и cos θ и масштабировать их, когда гипотенуза не равна 1 (залы 3-4).
- Знать значения синуса и косинуса при 0°, 30°, 45°, 60° и 90° и вычислять с их помощью стороны треугольников (залы 5-6).
- Знать знак синуса и косинуса в каждой четверти (зал 7).
- Видеть в синусе и косинусе высоту и ширину вращающейся точки, «развёрнутые» в график, и понимать, что одна кривая получается из другой сдвигом на четверть оборота (залы 8-10).
- Использовать симметрии (пол-оборота, отражение, четверть оборота) и опорные углы, чтобы вычислять значения без калькулятора (залы 11-12).
- Читать график как функцию: область определения, диапазон и периодичность (залы 13-15).
- Понимать, как частота N сжимает график и как амплитуда A масштабирует диапазон, не завися от N (залы 16-17).
- Применять синусоиду к чистому звуку, к рисунку на компьютере и к эллипсу (залы 18-20).
- Находить знак и значение sin(2x) и cos(2x) (залы 21-24).
- Переходить от декартовых координат к полярным и обратно (зал 25).
Ключевые математические идеи
- Единичная окружность: точка окружности радиуса 1 с углом θ — это (cos θ, sin θ), поэтому cos²θ + sin²θ = 1. Угол может превышать полный оборот или быть отрицательным.
- Радианы: один радиан — угол, дуга которого равна радиусу; полный оборот — 2π радиан. По правилу трёх 150° = 5π/6 и 3π/2 = 270°.
- Треугольник: при гипотенузе 1 противолежащий катет равен sin θ, а прилежащий — cos θ; при гипотенузе h они равны h · sin θ и h · cos θ. Например, при 30° и гипотенузе 4 противолежащий катет равен 4 · 1/2 = 2.
- Особые значения: sin θ равен √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 при 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, а cos θ принимает те же значения в обратном порядке.
- Знаки по четвертям: (+, +), (−, +), (−, −), (+, −) для (cos θ, sin θ) в четвертях I, II, III и IV.
- От оборота к волне: sin t — высота вращающейся точки, cos t — её координата x; cos θ = sin(θ + π/2).
- Симметрии: sin(x + π) = −sin x, sin(−x) = −sin x, cos(x + π) = −cos x, cos(x + π/2) = −sin x. С помощью особого опорного угла и знака четверти находятся значения вроде sin 150° = 1/2 или sin 300° = −√3/2.
- Область определения, диапазон и период: синус и косинус определены при любом x, принимают значения из [−1, 1] и повторяются через 2π: sin(x + 2π) = sin x.
- Частота и амплитуда: в y = A · sin(Nx) число N — это количество периодов на [0, 2π], а A задаёт диапазон [−A, A], который не зависит от N.
- Звук и рисунок: чистый тон — это A · sin(2π f t) (f определяет высоту тона, A — громкость); окружность рисуется соединением отрезками точек (cx + r · cos t, cy + r · sin t), и при большем числе шагов многоугольник неотличим от окружности; (a · cos t, b · sin t) — эллипс при a ≠ b.
- Двойной угол: sin(2x) = 2 · sin x · cos x и cos(2x) = cos²x − sin²x. При удвоении угол может перейти в другую четверть, а вместе с ней изменится знак. При sin x = 2√6/5 из sin²x + cos²x = 1 получается cos x = 1/5, а отсюда sin(2x) = 4√6/25 и cos(2x) = 23/25.
- Полярные координаты: x = r · cos θ, y = r · sin θ. Точка (3√3, −3) имеет r = 6 и θ = 330°; единичная окружность — случай r = 1.
Уровень: бахильерато (16-17 лет). Желательно знать теорему Пифагора и базовые тригонометрические отношения, хотя зал 3 напоминает их через окружность. На уроке хорошо проецировать зал 1 (перетащить точку и попросить предсказать знаки), зал 8 (остановить анимацию и задать вопрос) и зал 16 (предсказать число периодов до изменения N). Для зала 18 в классе нужен звук.
Содержание по залам
Зал 1 · Синус и косинус рождаются из вращающейся точки
Окружность радиуса 1 и точка, которую ученик перетаскивает. cos θ и sin θ определяются как координаты (x, y) точки. На экране видны угол θ (он продолжает расти после полного оборота, без скачков), значения cos θ и sin θ, их квадраты и сумма cos²θ + sin²θ, которая всегда равна 1: основное тригонометрическое тождество как «точка находится на расстоянии 1 от центра».
Задания для ученика
- Перетаскивать точку по окружности и следить, как меняются cos θ, sin θ и сумма их квадратов.
- Выбрать, какая из четырёх пар (cos θ, sin θ) может быть настоящей точкой единичной окружности: (0,6; 0,8).
Зал 2 · Градусы и радианы
Окружность с ползунком угла, который одновременно показывает значение в градусах и в радианах, а также пройденную дугу. Ниже — правило трёх в обе стороны (градусы в радианы и радианы в градусы). Один радиан — это угол, дуга которого равна радиусу; полный оборот — 2π радиан. Зал заканчивается тестом на скорость по переводу единиц.
Задания для ученика
- Двигать ползунок и сравнивать две меры одного и того же угла.
- Перевести 120° в радианы (2π/3).
- Перевести 5π/4 рад в градусы (225°).
- Тест на скорость: 10 переводов между градусами и радианами для углов 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и 270° в обе стороны, с четырьмя вариантами ответа и временем, которое сокращается после верного ответа и увеличивается после ошибки. Ошибочные вопросы возвращаются в конец очереди, поэтому нужно ответить верно на все 10; если итоговый счёт отрицательный, тест начинается заново.
Зал 3 · Треугольник, который вы уже знаете
Из точки на окружности опускается перпендикуляр на ось x, и появляется прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Ученик меняет угол ползунком и видит, что катеты — это sin θ (противолежащий) и cos θ (прилежащий): тригонометрия треугольника — частный случай окружности.
Задания для ученика
- Менять угол от 5° до 85° и наблюдать за треугольником.
- Сказать, какой отрезок треугольника изображает sin θ (противолежащий катет).
- Сказать, какой отрезок изображает cos θ (прилежащий катет).
Зал 4 · Когда треугольник растёт: гипотенуза больше не 1
Тот же треугольник с двумя ползунками: угол и гипотенуза (от 1 до 5). Катеты можно прочесть на рисунке, и они подчиняются формуле: противолежащий катет = гипотенуза × sin θ, прилежащий катет = гипотенуза × cos θ. В обеих задачах числа отличаются от тех, что на рисунке, так что нужно считать по формуле, а не читать ответ с фигуры.
Задания для ученика
- Менять угол и гипотенузу и проверять формулу катетов.
- Вычислить противолежащий катет при угле 30° и гипотенузе 4 (2).
- Вычислить sin θ в прямоугольном треугольнике с противолежащим катетом 3 и гипотенузой 5 (0,6).
Зал 5 · Тест на скорость: синус и косинус
Таблица значений sin θ и cos θ при 0°, 30°, 45°, 60° и 90° (0, 1/2, √2/2, √3/2, 1) и замечание, что синус растёт, а косинус убывает, но они принимают одни и те же значения. Затем две фазы по 12 вопросов: сначала с синусом, потом с косинусом. Появляется «sin(θ) = ?», и нужно выбрать значение до окончания времени. Таблица видна при первых верных ответах, потом исчезает. Верный ответ сокращает время, ошибка увеличивает его; после ошибки верный вариант мигает, а вопрос возвращается в конец очереди, так что фаза заканчивается, когда на все 12 вопросов дан верный ответ. Если счёт фазы отрицательный, она повторяется.
Задания для ученика
- Прочитать таблицу особых значений.
- Фаза синуса: верно ответить на 12 вопросов вида sin(θ) = ? для θ от 0° до 90°.
- Фаза косинуса: верно ответить на 12 вопросов вида cos(θ) = ?.
Зал 6 · Углы, которые стоит запомнить
Закономерность √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, которая даёт синус (а в обратном порядке — косинус) при 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Разобранный пример появляется по шагам с паузой между ними. Затем две задачи с нарисованным треугольником: значения считаются по таблице, и ответы получаются целыми.
Задания для ученика
- Проследить за разобранным примером.
- При угле 30° и прилежащем катете √27 вычислить гипотенузу (6).
- При угле 45° и гипотенузе 6√2 вычислить противолежащий катет (6).
Зал 7 · Знак зависит от четверти
Окружность, разделённая на четыре цветные четверти, и точка, которую можно перетаскивать. Рядом с точкой показана пара (cos θ, sin θ), а текущая четверть выделяется. Ученик сам находит сочетание знаков для каждой четверти, двигая точку.
Задания для ученика
- Перетаскивать точку по четырём четвертям и следить за знаками cos θ и sin θ.
- Назвать знаки (cos θ, sin θ) в III четверти (−, −).
- Назвать знаки во II четверти (−, +).
- Назвать знаки в IV четверти (+, −).
Зал 8 · Высота — это и есть синус
Окружность и рядом график, который строится, пока точка вращается: высота точки в каждый момент переносится на график пунктирной линией. Синус перестаёт быть абстрактным числом и становится высотой вращающейся точки, «развёрнутой» во времени.
Задания для ученика
- Наблюдать, как высота точки даёт кривую синуса.
- Остановить анимацию в любой момент и сказать, высота (sin t) положительна, отрицательна или близка к нулю.
Зал 9 · Та же идея с шириной
Та же сцена, но теперь с координатой x точки: выделяется отрезок на оси x и переносится на график. Ученик сравнивает две анимации (синус и косинус) и видит, что кривая косинуса опережает кривую синуса.
Задания для ученика
- Наблюдать, как значение x точки даёт кривую косинуса.
- Сказать, растёт или убывает косинус в первой четверти, от 0° до 90° (убывает).
Зал 10 · Синус и косинус — одна волна со сдвигом
Кривые синуса и косинуса, нарисованные вместе, с маркером, который одновременно движется по обеим. Одна получается из другой сдвигом на четверть оборота: cos θ = sin(θ + π/2).
Задания для ученика
- Следить за маркером на двух кривых.
- Выбрать верное соотношение из cos θ = sin(θ + π), cos θ = sin(θ + π/2) и cos θ = sin(π − θ) (второе).
Зал 11 · Полповорота, поворот назад
Точка с углом θ и вторая точка, полученная поворотом на пол-оборота (+π), на четверть оборота (+π/2) или отражением относительно оси x (−θ). Так ученик видит, как меняются координаты, и выводит симметрии синуса и косинуса. После ошибки на рисунке показаны обе точки и отмечена нужная координата у каждой.
Задания для ученика
- Менять θ и выбирать пол-оборота, четверть оборота или отражение, чтобы увидеть вторую точку.
- Если sin x = 0,6, вычислить sin(x + π) (−0,6).
- Если sin x = 0,6, вычислить sin(−x) (−0,6).
- Если cos x = 0,6, вычислить cos(x + π) (−0,6).
- Если sin x = 0,6, вычислить cos(x + π/2) (−0,6).
Зал 12 · Угадайте, не глядя
Окружность показана без точки. Ученик должен предсказать значение sin θ для углов, которые сводятся к особому (150°, 210°, 300°, 120°), используя опорный угол и знак четверти. Шесть вариантов ответа всегда одни и те же (1/2, √2/2, √3/2 и им противоположные), поэтому методом исключения не обойтись. После ответа (или ошибки) рисуются точка и её опорный угол.
Задания для ученика
- Выбрать sin(150°), sin(210°), sin(300°) и sin(120°) из шести вариантов, не видя точки.
Зал 13 · Читать график без окружности
Два рисунка рядом: график sin x с осью, размеченной кратными π, и единичная окружность. При касании или перетаскивании по графику соответствующая точка появляется на обоих. Каждый гребень, впадина и нуль графика — это определённое положение точки на окружности.
Задания для ученика
- Исследовать график и смотреть, где оказывается точка на окружности.
- Для x = π, 3π/2, 3π/4 и 7π/6 сказать, в какой части окружности находится точка (слева, внизу, вверху слева, внизу слева). После верного ответа точка отмечается на графике и на окружности.
Зал 14 · Насколько далеко заходит функция?
График синуса внутри полосы, отмечающей диапазон [−1, 1]. Областью определения служит всё ℝ, потому что точка может вращаться бесконечно, а диапазон ограничен, потому что точка всегда находится на расстоянии 1 от центра.
Задания для ученика
- Сказать, существует ли x, для которого sin x = 1,5 (нет: точка никогда не уходит от центра дальше, чем на 1).
- Назвать наибольшее значение cos x (1).
- Назвать наименьшее значение cos x (−1).
Зал 15 · Синус и косинус — периодические функции
График синуса с закрашенным окном в один полный оборот (2π), которое ползунок сдвигает на 0, 1 или 2 оборота. Значения повторяются через 2π: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x.
Задания для ученика
- Сдвинуть окно на один или два оборота и сравнить график.
- Если sin x = 0,3, вычислить sin(x + 2π) (0,3).
- Если sin x = 0,3, вычислить sin(x + 4π) (0,3).
- Если sin x = 0,3, вычислить sin(x − 2π) (0,3).
Зал 16 · Вращение быстрее: sin(Nx)
Анимированная окружность, на которой точка вращается с углом N·t, а справа — два графика друг под другом с точкой-трассером, движущейся с одинаковой горизонтальной скоростью на обоих: сверху sin x (или cos x) как образец, снизу sin(Nx). Ползунок меняет N от 1 до 6, кнопка переключает синус и косинус. Умножение угла на N заставляет точку делать N оборотов за то время, за которое раньше она делала один, и график сжимается в N раз.
Задания для ученика
- Менять N и сравнивать два графика.
- Сказать, сколько периодов делает sin(3x) на [0, 2π] (3).
- Сказать, сколько периодов делает cos(5x) на [0, 2π] (5).
Зал 17 · Диапазон не зависит от частоты
График y = A · sin(Nx) с формулой, которая обновляется на лету, и полосой диапазона. Два ползунка: амплитуда A (от 0,5 до 4) и N (от 1 до 5). Изменение N не меняет высоту волны, а изменение A масштабирует диапазон до [−A, A].
Задания для ученика
- Менять A и N и смотреть, что изменяется на графике и в формуле.
- Назвать диапазон 3 sin(5x) ([−3, 3]).
- Назвать диапазон 0,5 cos(2x) ([−0,5, 0,5]).
Зал 18 · Чистый звук — это синусоида
Чистый тон — это A · sin(2π f t): частота f задаёт высоту тона, амплитуда A — громкость. Два ползунка (f от 200 до 800 Гц, A от 0,2 до 1,4) и кнопка, воспроизводящая тон средствами звука браузера; нарисованная волна в реальном времени отражает оба значения. Две кнопки, тон A и тон B, воспроизводят два тона, 300 и 600 Гц, в случайном порядке и показывают их волну с настоящей частотой.
Задания для ученика
- Менять частоту и амплитуду, слушать тон и смотреть на волну.
- Прослушать тон A и тон B и сказать, у какого частота выше (звучит выше).
Зал 19 · Как компьютер рисует окружность
Окружность рисуется так: вычисляется много точек (cx + r·cos t, cy + r·sin t), и они соединяются отрезками. Это цикл, который много раз вызывает синус и косинус. Ползунок меняет число шагов (от 3 до 64), и многоугольник приближается к окружности; показан и фрагмент кода, который её рисует.
Задания для ученика
- Увеличивать число шагов и смотреть, как многоугольник приближается к окружности.
- Выбрать, при каком числе шагов (6, 12 или 60) многоугольник уже не отличить от гладкой окружности (60).
Зал 20 · Когда окружность растягивается: эллипс
Кривая (a·cos t, b·sin t) — окружность при a = b и эллипс при a ≠ b. Ученик настраивает два ползунка, a и b (от 0,5 до 3), которые начинают со значений a = 0,5 и b = 1,4, и сравнивает свою кривую с целевым эллипсом, нарисованным пунктиром.
Задания для ученика
- Подобрать a и b так, чтобы кривая совпала с целевым эллипсом (a = 2,5, b = 1, с допуском 0,15). Задача закрывается, когда это удаётся.
Зал 21 · Знак sin(2x)
Окружность с двумя точками — углом x и его удвоением 2x — и формула sin(2x) = 2 · sin x · cos x. Удвоение угла может перевести его в другую четверть, а вместе с ней изменить знак. Ползунок позволяет исследовать x от 0° до 170°. Во всех трёх задачах удвоенный угол 2x переходит в другую четверть, поэтому знак нельзя определить, глядя только на x. После ошибки рисунок устанавливается на угол из вопроса.
Задания для ученика
- Менять x и смотреть, в какую четверть попадает 2x.
- Назвать знак sin(2x) для x = 100° (отрицательный), x = 200° (положительный) и x = 300° (отрицательный).
Зал 22 · Вычислите sin(2x)
По формуле sin(2x) = 2 · sin x · cos x ученик должен вычислить sin(2x) по значению sin x, которое не является особым. Каждый случай состоит из двух шагов: сначала найти cos x из sin²x + cos²x = 1 (числовой ответ), затем выбрать sin(2x) из пяти похожих вариантов (тот же радикал с другим числителем или знаком либо результат ошибочного применения формулы косинуса).
Задания для ученика
- При sin x = 2√6/5 найти cos x (1/5) и выбрать sin(2x) (4√6/25).
- При sin x = √5/3 найти cos x (2/3) и выбрать sin(2x) (4√5/9).
Зал 23 · Знак cos(2x)
Как в зале 21, но с формулой cos(2x) = cos²x − sin²x: нужно определить четверть угла 2x и вспомнить, где косинус положителен, а где отрицателен. Есть окружность с x и 2x и ползунок для исследования.
Задания для ученика
- Назвать знак cos(2x) для x = 80° (отрицательный), x = 200° (положительный) и x = 280° (отрицательный).
Зал 24 · Вычислите cos(2x)
Та же механика, что в зале 22, но с cos(2x) = cos²x − sin²x. Дан cos x, по основному тождеству находится sin x, затем из пяти вариантов выбирается cos(2x). Результат получается рациональным, без радикала, потому что при возведении в квадрат корень исчезает.
Задания для ученика
- При cos x = 2√6/5 найти sin x (1/5) и выбрать cos(2x) (23/25).
- При cos x = √5/3 найти sin x (2/3) и выбрать cos(2x) (1/9).
Зал 25 · Другой способ задать точку: полярные координаты
Точка, заданная парой (r, θ), с двумя ползунками (r от 0,5 до 6, θ от 0° до 350°), концентрическими вспомогательными окружностями и показаниями на лету (r, θ) → (x, y). Соотношения: x = r·cos θ и y = r·sin θ; единичная окружность — это случай r = 1. Зал завершает лабораторию, связывая всё пройденное.
Задания для ученика
- Менять r и θ и смотреть, как меняются x и y.
- Выбрать выражение для координаты x (r cos θ) и для координаты y (r sin θ).
- Для декартовой точки (3√3, −3) найти r (6).
- Для той же точки найти угол θ (330°).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.