Дидактические цели
Почему у леопарда пятна, а у зебры полосы? Это не случайность — это математика. Этот лаб для старшей школы исследует модель реакции-диффузии Тьюринга (реализованную уравнениями Грея-Скотта) и показывает, что двух веществ, диффундирующих и взаимодействующих с разными скоростями, достаточно, чтобы с нуля породить узоры, покрывающие кожу животных. По ходу залов ученики научатся создавать узоры, управляя параметрами физической реакции, и в конце нарисуют силуэты настоящих животных.
Чему учимся
Интуиция о том, что простые локальные правила порождают сложные глобальные структуры, — через управление непрерывными параметрами вместо дискретных.
- Блок A (залы 1–5): вводится одномерная диффузия со слайдером, затем три качественных режима Грея-Скотта без диффузии (равновесие, осцилляция, затухание), и наконец реакция + диффузия объединяются, чтобы наблюдать рождение узора. Зал асимметрии показывает: отношение скоростей d = D_U/D_V должно превысить критический порог (~6), чтобы структура появилась.
- Блок B (залы 6–8): ученик подбирает f и k, чтобы получить именно пятна (леопард, жираф) или полосы (зебра, тигр, пчела). Зал анизотропии добавляет угол θ для ориентации полос.
- Обобщение (зал 9): объединить все элементы управления на силуэте зебры и получить на ней полосы.
- Блок D (залы 10–12): расширения — филотаксис (золотой угол 137,5° ауксина), раковины с моделью Гирера-Мейнхардта (временна́я ось = рост) и расширяющийся зародыш, где область растёт и узор перестраивается, оставляя дефекты (развилки, концы полос).
Ключевые математические идеи
- Уравнения реакции-диффузии Грея-Скотта: ∂U/∂t = D_U·∇²U − UV² + f(1−U) и симметрично для V, с параметрами питания f и распада k.
- Нестабильность Тьюринга: однородное состояние, устойчивое при чистой реакции, становится неустойчивым при добавлении асимметричной диффузии; необходимое условие: D_V > D_U (ингибитор диффундирует быстрее активатора).
- Фазовое пространство (f, k): области плоскости, соответствующие пятнам, полосам, лабиринтам, осцилляциям и затуханию — исследуются визуально в двумерной симуляции.
- Золотой угол: угол 137,5° максимизирует упаковку спиралей в подсолнухах, шишках и других растениях. Диффузия ауксина действует как латеральный ингибитор.
- Модель Гирера-Мейнхардта (раковины): рост во времени производит послойную «летопись» узора, воспроизводя роды Conus, Oliva и другие.
- Топологические дефекты: когда область растёт быстрее, чем узор успевает перестроиться, появляются развилки и концы полос — те же дефекты, что видны на отпечатках пальцев.
Содержание по залам
Зал 1 · Диффузия: молоко в кофе
Визуальная интуиция диффузии: учащийся кликает по чашке, выпуская капли молока, и наблюдает, как они расплываются сами по себе. Ползунок управляет скоростью диффузии. Это математическая основа всей лаборатории.
Задания для ученика
- Кликнуть по чашке, чтобы выпустить капли, и наблюдать, как они расплываются.
- Передвинуть ползунок скорости и сравнить медленную и быструю диффузию.
Зал 2 · Реакция без диффузии: 3 исхода
Одиночная клетка с уравнениями Грея–Скотта без диффузии. При перемещении параметров f и k достигаются три качественных режима: устойчивое равновесие, постоянные колебания или исчезновение V.
Задания для ученика
- Изучить плоскость (f, k) с помощью пресетов и наблюдать каждый режим.
- Определить, в какой зоне плоскости возникают равновесие, колебания и исчезновение.
Зал 3 · Реакция + диффузия = узор
Сравнение двух панелей: слева только диффузия (всё перемешивается равномерно), справа реакция плюс диффузия. Одни и те же начальные условия дают возникающий узор только при совместном действии обоих процессов.
Задания для ученика
- Наблюдать обе симуляции одновременно и описать разницу.
- Нажимать «Сброс» несколько раз и убеждаться, что узор всегда возникает на правой панели.
Зал 4 · Асимметрия — ключ
Если U и V диффундируют с одинаковой скоростью, никакой узор не появляется. Ползунок управляет отношением d = D_U/D_V; при превышении критического порога (≈ 6) возникает структура. При отпускании ползунка симуляция пересевается.
Задания для ученика
- Медленно увеличивать d, пока не появится первый узор.
- Записать (или оценить) пороговое значение d, при котором возникает структура.
Зал 5 · Твоя первая Gray–Scott
Свободное исследование полной 2D-симуляции Грея–Скотта. Одни и те же параметры f и k из фазовой плоскости порождают очень разные пейзажи: пятна, полосы, пузыри, лабиринт.
Задания для ученика
- Свободно перемещать f и k и зафиксировать не менее трёх визуально различных узоров.
- Попробовать найти зону, дающую пятна, и зону, дающую полосы.
Зал 6 · Проектируй: пятна
Задание на проектирование: найти f и k, порождающие пятна. Достигнув нужного узора, он применяется к галерее силуэтов (леопард, ягуар, жираф) с текстурным тайлом 0,3×, и можно перерисовать.
Задания для ученика
- Подобрать f и k, пока classifyPhase не определит пятна.
- Наблюдать тот же узор, проецируемый на леопарда, ягуара и жирафа.
Зал 7 · Проектируй: полосы
Задание на проектирование: найти f и k, порождающие полосы. Галерея показывает достигнутый узор на силуэтах зебры, тигра и пчелы. Та же зона плоскости (f, k) даёт полосы разных животных.
Задания для ученика
- Подобрать f и k, пока classifyPhase не определит полосы.
- Сравнить вид полос у зебры, тигра и пчелы.
Зал 8 · Анизотропия: ориентируем полосы
Если диффузия быстрее в одном направлении, полосы выстраиваются вдоль него. Один ползунок управляет углом θ, другой — интенсивностью анизотропии; при их перемещении полосы заметно поворачиваются.
Задания для ученика
- Переместить θ от 0° до 180° и наблюдать поворот полос.
- Найти угол, дающий вертикальные полосы, и угол, дающий горизонтальные.
Зал 9 · Апогей: раскрась свою зебру
Финальный вызов: комбинировать f, k, анизотропию и угол θ, чтобы получить полосы, подходящие для силуэта зебры (масштаб ×1,6). Оценка качественная: это полосы? Они ориентированы? Они хорошо покрывают силуэт?
Задания для ученика
- Настроить все параметры до получения реалистичных полос на зебре.
- Заполнить качественный контрольный список проверки.
Зал 10 · Филотаксис и золотой угол
Ботаническое расширение: диффузия ауксина в растениях порождает спиральное расположение листьев и семян. Золотой угол 137,5° обеспечивает наиболее плотную упаковку; учащийся открывает это, изменяя угол.
Задания для ученика
- Изменить угол размещения и наблюдать, как меняется узор точек.
- Убедиться, что 137,5° максимизирует покрытие и даёт спираль Фибоначчи.
Зал 11 · Морские раковины (реакция-диффузия в силуэте)
Реакция-диффузия Грея–Скотта, работающая внутри силуэта раковины: узор зарождается на контуре и растёт внутрь. Каждый участок окрашивается по тому, когда его достиг фронт (кремовый у края, коричневый в центре), как настоящие линии роста, с тьюринговой текстурой поверх. Три пресета (f, k): лабиринт (Conus textile), крапчатый (Conus marmoreus) и кольца.
Задания для ученика
- Попробовать три пресета и соотнести каждую текстуру с типом раковины.
- Подобрать f и k, чтобы найти другие текстуры (пятна, лабиринт, кольца).
Зал 12 · Растущий эмбрион
Если домен растёт в процессе формирования узора, полосы перестраиваются, оставляя дефекты (развилки и концы). Нажатие «Расти» билинейно пересемплирует U и V с коэффициентом 1,18, не меняя f и k, — это имитирует реальное эмбриональное развитие. Именно так формируются отпечатки пальцев.
Задания для ученика
- Дождаться стабильного узора, а затем несколько раз нажать «Расти».
- Наблюдать дефекты (развилки и концы полос), возникающие с каждым циклом роста.
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.