Objetivos didácticos
Reconocer una función por su gráfica, representarla a mano siguiendo un método fijo, y leer en el dibujo lo que le pasa a una función cerca de un punto conflictivo o cuando x se va al infinito. Pensado para Bachillerato y Universidad, asume que el alumno ya conoce la derivada (lab derivada) y la usa aquí como una herramienta más, no como objeto de estudio.
Qué se aprende
El recorrido va de lo perceptivo (reconocer una familia a simple vista) a lo procedimental (representar siguiendo un método) y termina en lo conceptual (límites y continuidad). Los límites se leen primero en la gráfica, acercando un punto por cada lado o alejando la vista, y después se calculan a mano en retos algebraicos cortos: sustituir cuando la función es continua, factorizar y simplificar un 0/0, comparar grados en el infinito.
- Salas 1–5: repaso de las familias — polinómicas (cuadrática → cúbica), racionales (hipérbola y sus traslaciones), exponencial y logaritmo, funciones pares e impares, y trigonométricas (seno, coseno, tangente, arcoseno, arcotangente) —, con su dominio, rango, crecimiento o simetría y varios retos de reconocimiento en cada sala.
- Sala 6: sala puente que junta las familias en ocho gráficas y pide clasificarlas antes de entrar en el test.
- Salas 7–8: test de reconocimiento cruzado entre familias — de la gráfica a la fórmula (6 opciones) y de la fórmula a la gráfica (4 opciones).
- Salas 9–14: el método de representación (dominio, cortes con los ejes, signo, crecimiento y extremos con f′, puntos sueltos, comportamiento en el infinito) explicado una vez y aplicado a cada familia sobre ejes vacíos, colocando en el plano los puntos que se encuentran, y cerrando con un reto integrador menos guiado sobre una función que toca al azar.
- Salas 15–21: límites y discontinuidades — límite en un punto y continuidad de una función a trozos, discontinuidad de salto (con continuidad lateral), discontinuidad infinita (asíntota vertical), discontinuidad evitable (agujero) con un límite calculado factorizando, límites en el infinito con cocientes de polinomios, un reto de clasificación de discontinuidades que termina con un caso sin gráfica, y una lectura final de una gráfica sin fórmula que reúne todos los fenómenos.
Ideas matemáticas clave
- Cada familia de funciones tiene una "silueta" característica: la forma de la curva, su dominio y su rango son la primera pista para reconocerla sin necesidad de calcular nada.
- Una función es par si f(−x) = f(x) (gráfica simétrica respecto al eje Y) e impar si f(−x) = −f(x) (simétrica respecto al origen); muchas funciones no son ni una cosa ni otra.
- Representar una función a mano sigue siempre el mismo procedimiento: dominio → cortes con los ejes → signo de f → crecimiento/decrecimiento y extremos (signo de f′) → puntos sueltos → comportamiento en el infinito.
- El signo de f′ indica dónde crece (f′>0) y dónde decrece (f′<0) una función; los extremos están donde f′ se anula o no existe, pero que f′ se anule no basta: hace falta que cambie de signo.
- El límite de una función en un punto es el valor al que se acerca por ambos lados; si la función es continua, basta sustituir. Si los límites laterales son finitos pero no coinciden, hay una discontinuidad de salto.
- Una discontinuidad infinita ocurre cuando la función se dispara a ±∞ cerca de un punto (asíntota vertical); una discontinuidad evitable ocurre cuando el límite existe pero la función no está definida (o toma otro valor) justo en ese punto — un "agujero" en la gráfica. Que el numerador y el denominador se anulen a la vez no decide el tipo: hay que simplificar y ver si queda algún factor que se anule abajo.
- Los límites en el infinito describen el comportamiento de la función cuando x crece o decrece sin cota: en un cociente de polinomios del mismo grado se estabiliza en el cociente de los coeficientes principales (asíntota horizontal), y si el grado de arriba es mayor, se va a infinito.
Contenidos por salas
Sala 1 · Familias: funciones polinómicas
Repaso de cuadráticas y cúbicas con dos gráficas comentadas: f(x) = 0,55x^2 − 2 (dominio ℝ, rango [−2, ∞), un único mínimo) y f(x) = 0,3x^3 − 1 (dominio y rango ℝ, siempre creciente; otras cúbicas tienen un tramo de bajada entre dos extremos). Después, seis retos de opción múltiple sobre dos gráficas nuevas: reconocer la familia de una parábola que abre hacia abajo, su rango ((−∞, 3]) y su dominio (ℝ); reconocer una cúbica y su rango (ℝ); y, para cerrar, los cortes de −0,6x^2 + 3 con el eje X (x = ±√5). Cada respuesta incorrecta trae su propia pista.
Tareas para el alumno
- Reconocer una cuadrática y dar su rango ((−∞, 3]) y su dominio (ℝ).
- Reconocer una cúbica y dar su rango (ℝ).
- Calcular los cortes de −0,6x^2 + 3 con el eje X (x = ±√5).
Sala 2 · Familias: funciones racionales
La hipérbola y = 4/x (k positivo: cuadrantes I y III; dominio ℝ\{0}, con el polo en el origen) y su versión desplazada (ax + b)/(cx + d), con el cero en x = −b/a, la asíntota vertical en x = −d/c y la horizontal en y = a/c. Retos sobre f(x) = (2x + 6)/(4x − 8): dominio (ℝ\{2}), asíntota vertical (x = 2) y horizontal (y = 0,5). Después, reconocer la ecuación de una hipérbola de los cuadrantes II y IV (−12/x) y elegir entre cuatro racionales la que tiene asíntota horizontal y = 3 ((3x + 1)/(x − 2)). Las pistas separan el cero de la asíntota vertical y recuerdan que una vertical se escribe x = … y una horizontal, y = ….
Tareas para el alumno
- Dar el dominio y las asíntotas de (2x + 6)/(4x − 8) (ℝ\{2}, x = 2, y = 0,5).
- Elegir la ecuación de una hipérbola de los cuadrantes II y IV (−12/x).
- Elegir la racional con asíntota horizontal y = 3.
Sala 3 · Familias: exponencial y logaritmo
La exponencial 2^x (dominio ℝ, rango (0, ∞), pasa por (0, 1), asíntota horizontal y = 0) y el logaritmo log₂(x), su inversa (dominio (0, ∞), rango ℝ, pasa por (1, 0), asíntota vertical x = 0); la base decide si crecen o decrecen. Seis retos: reconocer una exponencial (1,5^x) y dar su dominio (ℝ) y su rango ((0, ∞)); reconocer un logaritmo (en base 3) y su dominio ((0, ∞)); y el dominio de log₂(x − 3), que es (3, ∞).
Tareas para el alumno
- Reconocer la exponencial y dar su dominio y su rango.
- Reconocer el logaritmo y dar su dominio.
- Dar el dominio de log₂(x − 3) ((3, ∞)).
Sala 4 · Funciones pares e impares
Las dos definiciones con un ejemplo cada una: par si f(−x) = f(x), con la gráfica simétrica respecto al eje Y (x^2); impar si f(−x) = −f(x), simétrica respecto al origen (x^3). Retos: marcar entre cuatro gráficas todas las pares (x^2 y cos x) y todas las impares (x^3 y sen x); decidir cómo es el producto de una función par por una impar (impar); clasificar x^3 + 1 (ni par ni impar); y deducir cuánto vale f(0) si f es impar y está definida en 0 (f(0) = 0).
Tareas para el alumno
- Marcar las gráficas pares (x^2, cos x) y las impares (x^3, sen x).
- Decidir cómo es el producto de una par por una impar (impar).
- Clasificar x^3 + 1 (ni par ni impar).
- Deducir f(0) para una función impar definida en 0 (0).
Sala 5 · Familias: funciones trigonométricas
Cinco gráficas comentadas: seno y coseno (acotados entre −1 y 1, periodo 2π; el seno es impar y el coseno, par), tangente (periodo π, asíntotas verticales en π/2 + kπ), arcoseno (dominio [−1, 1]) y arcotangente (dominio ℝ, rango (−π/2, π/2)). Retos: reconocer por su gráfica el seno, el coseno y la tangente; decidir que el seno es impar; elegir cuál se acerca a un valor sin alcanzarlo nunca (la arcotangente); y calcular el periodo de sen(3x) (2π/3).
Tareas para el alumno
- Reconocer el seno, el coseno y la tangente por su gráfica.
- Decidir si el seno es par o impar (impar).
- Elegir la función que se acerca a un valor sin alcanzarlo (arcotangente).
- Calcular el periodo de sen(3x) (2π/3).
Sala 6 · Reconoce la familia
Sala puente antes del test: ocho gráficas, una de cada familia (cuadrática, cúbica, racional, exponencial, logarítmica, seno, coseno y tangente), en orden aleatorio y con variantes. En cada una se elige la familia entre seis opciones; cuando la respuesta es el seno, el coseno aparece siempre entre las opciones, y al revés, y la pista se fija en si la curva pasa por el origen. Cierra un reto de síntesis: qué familia puede tener a la vez una asíntota vertical y una horizontal (la racional).
Tareas para el alumno
- Reconocer la familia de ocho gráficas.
- Elegir la familia que puede tener a la vez asíntota vertical y horizontal (racional).
Sala 7 · Test: de la gráfica a la fórmula
Ocho rondas sacadas al azar de un banco de trece funciones: se ve una gráfica y se elige la fórmula entre seis. Los distractores son de otras familias o de la misma con un cambio (el signo, la base, cotangente en lugar de tangente…), y cada uno tiene su pista. En la ronda final todas las opciones son la misma parábola trasladada, así que no basta con reconocer la familia: hay que leer el vértice para elegir −(x − 1)^2 + 2.
Tareas para el alumno
- Elegir la fórmula de ocho gráficas.
- Leer el vértice de una parábola trasladada y elegir −(x − 1)^2 + 2.
Sala 8 · Test: de la fórmula a la gráfica
Al revés que en la sala anterior: se da la fórmula y se elige la gráfica entre cuatro, en ocho rondas al azar. Si la fórmula es trigonométrica, entre las opciones hay otras trigonométricas, para que no baste con ver que la curva ondula. Al tercer fallo en una ronda se muestra la respuesta. La ronda final es 1/(x − 2) + 1 frente a tres traslaciones de la misma hipérbola, cada una con su pista.
Tareas para el alumno
- Elegir la gráfica de ocho fórmulas.
- Distinguir 1/(x − 2) + 1 entre traslaciones de la misma hipérbola.
Sala 9 · El método para representar una función
Los seis pasos del método, uno por pantalla, sobre f(x) = x^3 − 3x: dominio, cortes con los ejes (0 y ±√3), signo, crecimiento y extremos con f′ (máximo en (−1, 2) y mínimo en (1, −2)), puntos sueltos y comportamiento en el infinito; la gráfica va marcando lo que se encuentra en cada paso. Después, tres retos: en qué paso se usa la derivada (el 4), dónde se anula la derivada de g(x) = x^3 − 12x (x = ±2) y si f′(a) = 0 garantiza un máximo o un mínimo (no: hace falta que f′ cambie de signo, como muestra x^3 en 0).
Tareas para el alumno
- Recorrer los seis pasos del método sobre x^3 − 3x.
- Decir en qué paso se usa la derivada (el 4).
- Hallar dónde se anula la derivada de x^3 − 12x (x = ±2).
- Decidir si f′(a) = 0 garantiza un extremo (no siempre).
Sala 10 · Representa: una función polinómica
El método aplicado a g(x) = x^3 − 3x^2 sobre unos ejes vacíos: la curva no se dibuja hasta el final. El alumno responde en orden el dominio (ℝ) y el corte con el eje Oy ((0, 0)), que después coloca con un clic en el plano; marca los cortes con el eje Ox entre varios candidatos (x = 0 y x = 3); halla dónde se anula g′(x) = 3x^2 − 6x (x = 0 y x = 2) y decide qué hay en x = 2 (un mínimo); calcula g(2) = −4 y coloca ese punto. Al terminar se dibuja la gráfica completa con lo encontrado marcado.
Tareas para el alumno
- Dar el dominio y el corte con Oy, y colocarlo en el plano.
- Marcar los cortes con Ox (x = 0 y x = 3).
- Hallar los ceros de g′ (x = 0 y x = 2) y clasificar x = 2 (mínimo).
- Calcular g(2) (−4) y colocar el mínimo.
Sala 11 · Representa: una función racional
El método aplicado a h(x) = (−x − 1)/(x + 2), también sobre ejes vacíos: dominio (ℝ\{−2}), corte con el eje Ox ((−1, 0), que se coloca en el plano), asíntota horizontal (y = −1) y hacia dónde se dispara h justo a la derecha del polo (+∞), mirando por separado el signo del numerador y del denominador. Al final aparece la gráfica completa.
Tareas para el alumno
- Dar el dominio (ℝ\{−2}).
- Hallar y colocar el corte con Ox ((−1, 0)).
- Dar la asíntota horizontal (y = −1).
- Decidir hacia dónde va h justo a la derecha de x = −2 (+∞).
Sala 12 · Representa: exponencial y logaritmo
El método aplicado a k(x) = 2^x − 1: dominio (ℝ), corte con el eje Oy ((0, 0), que se coloca en el plano), a qué se acerca k cuando x → −∞ (−1, asíntota horizontal) y si tiene máximos o mínimos (no, es creciente: la derivada de una exponencial nunca se anula). Sin extremos, lo que da forma a la gráfica es la asíntota.
Tareas para el alumno
- Dar el dominio y colocar el corte con Oy ((0, 0)).
- Dar el límite cuando x → −∞ (−1).
- Decidir si k tiene extremos (no).
Sala 13 · Representa: una función trigonométrica
El método aplicado a m(x) = sen(x) en [0, 2π]: dominio (ℝ), cortes con el eje Ox (0, π y 2π, que se colocan en el plano), ceros de m′(x) = cos(x) (π/2 y 3π/2) y qué hay en π/2 (un máximo, que también se coloca). La gráfica final marca además el mínimo en 3π/2.
Tareas para el alumno
- Dar el dominio (ℝ).
- Hallar y colocar los cortes con Ox en [0, 2π] (0, π, 2π).
- Hallar los ceros de la derivada (π/2 y 3π/2).
- Clasificar y colocar el punto de x = π/2 (máximo).
Sala 14 · Reto integrador
El método completo sobre una función que toca al azar entre cuatro, una por familia: −x^3 + 3x, −2/(x − 1), 3^x − 4 o cos(x). Son tres preguntas por función, menos guiadas que en las salas anteriores (dominio o rango, cortes, ceros de la derivada, asíntotas o comportamiento junto al polo); en tres de las cuatro hay además algún punto que colocar en el plano. Al final se dibuja la gráfica completa.
Tareas para el alumno
- Aplicar el método a la función que toque.
- Colocar en el plano los puntos que se pidan (un extremo o los cortes).
Sala 15 · Límite en un punto: acércate por los dos lados
Dos deslizadores, uno rojo y otro verde, acercan un punto a x = 1 por la izquierda y otro por la derecha sobre f(x) = x^2 − x + 1, mostrando el valor de f en cada uno. Cuando los dos llegan, aparece la conclusión: los dos límites laterales coinciden con f(1), así que la función es continua en x = 1. Retos: el límite de x^2 − x + 1 cuando x → 2 (3, sustituyendo, porque es continua) y el valor de a que hace continua en x = 1 la función que vale x^2 − x + 1 si x < 1 y 2x + a si x ≥ 1 (a = −1).
Tareas para el alumno
- Acercar los dos puntos a x = 1 y comparar los límites laterales con f(1).
- Calcular el límite de x^2 − x + 1 cuando x → 2 (3).
- Hallar el valor de a que hace continua la función a trozos (−1).
Sala 16 · Discontinuidad de salto
Una función a trozos, x + 1 a la izquierda de 1 y x − 1 a la derecha, con un punto hueco en (1, 2) y uno relleno en (1, 0). Cuatro preguntas encadenadas: el límite por la izquierda (2), el límite por la derecha (0), si existe el límite en x = 1 (no, porque no coinciden) y si f es continua por la derecha en x = 1 (sí: f(1) coincide con el límite por la derecha). Cierra con la definición: límites laterales finitos pero distintos son una discontinuidad de salto.
Tareas para el alumno
- Leer los dos límites laterales en x = 1 (2 y 0).
- Decidir si existe el límite (no).
- Decidir si f es continua por la derecha en x = 1 (sí).
Sala 17 · Discontinuidad infinita
f(x) = 1/(x − 2) en dos paneles con la asíntota trazada: un deslizador acerca un punto desde la izquierda y otro desde la derecha, y el eje vertical se reescala para seguirlos hacia −∞ y hacia +∞. Primero se elige qué le pasa a f(x) cerca de 2 (se dispara: asíntota vertical); después, el límite por la izquierda (−∞) y cuál de cuatro funciones tiene una discontinuidad infinita en x = 3 (1/(x − 3)^2; de las otras, dos se simplifican y dejan solo un agujero, y la tercera tiene el polo en −3).
Tareas para el alumno
- Acercar los puntos por los dos lados y describir qué le pasa a f.
- Dar el límite por la izquierda en x = 2 (−∞).
- Elegir la función con discontinuidad infinita en x = 3 (1/(x − 3)^2).
Sala 18 · Discontinuidad evitable
f(x) = (x^2 − 4)/(x − 2), con la fórmula a la vista y los dos deslizadores acercándose a un agujero en x = 2. Preguntas: si f(2) está definida (no) y si existe el límite cuando x → 2 (sí, vale 4, aunque f(2) no exista). Conclusión: bastaría definir f(2) = 4 para tapar el agujero. Un tercer reto, a mano: el límite de (x^2 − 3x + 2)/(x − 1) cuando x → 1, factorizando y simplificando (−1).
Tareas para el alumno
- Decidir si f(2) está definida (no).
- Decidir si existe el límite en x = 2 y su valor (4).
- Calcular el límite de (x^2 − 3x + 2)/(x − 1) en x = 1 (−1).
Sala 19 · Límites en el infinito
f(x) = (2x + 1)/(x − 1) con un deslizador de alcance que aleja la vista desde x = ±5 hasta x = ±400, con la recta y = 2 en discontinuo. El alumno escribe a qué valor se acerca f(x) cuando x → ±∞ (2) y aparece el nombre: asíntota horizontal. Retos: el límite de (3x − 5)/(6x + 1) en +∞ (1/2, el cociente de los coeficientes de x cuando arriba y abajo tienen el mismo grado) y el de (x^2 + 1)/(x − 1) (+∞, porque el grado de arriba es mayor).
Tareas para el alumno
- Alejar la vista y escribir a qué se acerca f(x) (2).
- Calcular el límite de (3x − 5)/(6x + 1) en +∞ (1/2).
- Calcular el límite de (x^2 + 1)/(x − 1) en +∞ (+∞).
Sala 20 · Clasifica la discontinuidad
Tres gráficas en orden aleatorio, un salto, una asíntota vertical y un agujero, para clasificar como salto, infinita o evitable. El último caso no tiene gráfica: f(x) = (x^2 − 4)/(x^2 − 4x + 4) en x = 2. Parece evitable porque se cancela un factor (x − 2), pero el denominador es (x − 2)^2 y queda uno abajo: es infinita.
Tareas para el alumno
- Clasificar tres discontinuidades a partir de su gráfica.
- Clasificar sin gráfica la de (x^2 − 4)/(x^2 − 4x + 4) en x = 2 (infinita).
Sala 21 · Lee la gráfica: todo junto
Una función a trozos dibujada sin fórmula reúne todo el bloque: asíntota vertical en x = −2, salto en x = 1, agujero en x = 4, asíntota horizontal y = 3, máximo relativo en x = −8 y mínimo relativo en x = −5. El alumno localiza cada fenómeno eligiendo entre cuatro valores, sin hacer ningún cálculo, y al final cuenta en cuántos puntos es discontinua la función (3: los extremos y la asíntota horizontal no rompen la curva).
Tareas para el alumno
- Localizar la asíntota vertical, el salto y el agujero (x = −2, 1 y 4).
- Dar la asíntota horizontal (y = 3).
- Localizar el máximo y el mínimo relativos (x = −8 y x = −5).
- Contar los puntos de discontinuidad (3).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.