Objetivos didácticos
La derivada es la idea más importante del cálculo, y casi siempre se presenta de golpe como un límite difícil de digerir. Este lab la construye al revés: primero la intuición —"¿cómo de rápido sube esta función?"— y solo después la fórmula. Todo ocurre sobre una cuadrícula con escala 1:1, para que el alumno pueda estimar pendientes a ojo contando cuadraditos antes de calcular nada. En 32 salas se recorre el camino completo, desde tocar dónde una curva crece más rápido hasta derivar con la regla de la cadena, entender cómo aproxima un ordenador una derivada y resolver problemas de optimización. Está pensado para Bachillerato y Universidad.
Qué se aprende
El recorrido va de lo visual a lo simbólico y vuelve a lo aplicado. Primero la derivada como "velocidad de subida", luego como pendiente de la tangente, después como límite, después cómo la calcula un ordenador, y finalmente como herramienta de cálculo y optimización.
- Ver la derivada como velocidad instantánea (velocímetro de un coche) y reconocer dónde una función crece, decrece o se aplana, leyendo el signo de la derivada en su gráfica (salas 1 a 4).
- Construir la derivada arrastrando el punto de tangencia, y emparejar f con f′ en ambos sentidos (salas 5 y 6).
- Repasar la pendiente de una recta y entenderla como tan(ángulo) sobre la cuadrícula (sala 7).
- Pasar de la tasa de variación media (secante) a la instantánea (tangente) haciendo h→0, y ver que toda curva suave es casi recta si te acercas lo suficiente (salas 8 a 11).
- Calcular derivadas por la definición como límite para la recta, x², x³, 1/x y √x, y llegar a la regla de la potencia; reconocer los puntos donde no hay derivada (salas 12 a 16).
- Entender cómo aproxima un ordenador una derivada con un paso h fijo, y por qué la derivada simétrica es mucho más precisa que la adelantada (salas 17 y 18).
- Derivar polinomios y funciones elementales y aplicar las reglas del producto, cociente y cadena con justificaciones visuales, y poner a prueba la memoria y la velocidad de reconocimiento en dos tests a contrarreloj (salas 19 a 26).
- Escribir la recta tangente, reconocer curvas cóncavas y convexas y el punto de inflexión, estudiar la forma de la curva con f′ y f″, y resolver dos problemas de optimización geométrica (salas 27 a 31).
- Cerrar con una sala bonus sin retos: un campo de curl noise generado a partir de derivadas parciales, mostrando que la derivada también sirve para crear arte generativo (sala 32).
Ideas matemáticas clave
- La derivada mide la velocidad de variación de una función: dónde es positiva la función crece, dónde es negativa decrece y dónde se anula hay un posible máximo o mínimo.
- La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente, límite de las pendientes de las secantes cuando el segundo punto se acerca al primero: f′(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h)−f(x₀))/h.
- Linealidad local: una función derivable, vista muy de cerca, es indistinguible de una recta —y esa recta es su tangente—, la idea que explica por qué la derivada sirve para aproximar.
- A partir de la definición se obtienen las derivadas elementales; la regla de la potencia (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ las resume y se extiende a exponentes fraccionarios y negativos.
- No toda función continua es derivable: en un pico (como |x|) las dos "medias tangentes" tienen pendientes distintas y no hay una única tangente.
- Un ordenador no calcula límites: aproxima. La diferencia adelantada comete un error proporcional a h; la diferencia simétrica (centrada) comete un error proporcional a h², y por eso es mucho más precisa con el mismo paso.
- Las reglas de derivación —producto, cociente y cadena— permiten derivar cualquier combinación de funciones conocidas.
- El signo de f′ describe el crecimiento y el de f″ la concavidad; juntos dan la forma de la gráfica, con extremos donde f′=0 y puntos de inflexión donde f″ cambia de signo.
- En optimización, los máximos y mínimos se buscan resolviendo f′=0; el mismo principio de mínimo explica la ley de Snell de la refracción.
Contenidos por salas
Sala 1 · El coche y el velocímetro
Un coche recorre una carretera mientras se dibuja en vivo la gráfica posición-tiempo; debajo, un velocímetro con aguja marca la velocidad instantánea. El alumno reproduce la animación con play/pausa y detecta el tramo más rápido y el tramo parado.
Tareas para el alumno
- Ver el recorrido y relacionar la inclinación de la curva con la aguja.
- Pausar cuando el coche va más rápido y cuando está parado.
Sala 2 · ¿Cómo de rápido sube?
El alumno toca primero en la curva dónde crece más rápido y los dos puntos donde no sube ni baja. Después, con un botón de play/pausa, una animación recorre f y, sincronizado, su derivada f′ debajo, con comentarios en vivo de velocidad.
Tareas para el alumno
- Tocar el punto de mayor pendiente y los dos puntos planos.
- Reproducir la animación de f y f′ y leer los comentarios de velocidad.
Sala 3 · El signo de la derivada
Sobre una cúbica con un mínimo y un máximo, el alumno pinta cada tramo de verde (crece, f′>0) o amarillo (decrece, f′<0) y comprueba. Consolida la lectura crecimiento ↔ signo de la derivada.
Tareas para el alumno
- Marcar los tres tramos según la función crezca o decrezca.
- Relacionar crece ↔ f′>0 y decrece ↔ f′<0.
Sala 4 · Picos y valles
En una función con dos mínimos y un máximo, el alumno toca los tres puntos donde la tangente queda horizontal (f′=0). Al acertar aparece la tangente horizontal marcada.
Tareas para el alumno
- Localizar las cimas y los fondos de la curva.
- Tocar los tres puntos donde f′=0.
Sala 5 · Traza tú la derivada
El alumno arrastra el punto de tangencia a lo largo de f; en el panel inferior se va dejando un rastro con el valor de la pendiente, dibujando f′ con su propio dedo. Al cubrir la curva se superpone la f′ real para comparar.
Tareas para el alumno
- Recorrer toda la curva arrastrando el punto de tangencia.
- Comparar el rastro obtenido con la gráfica real de f′.
Sala 6 · Empareja f y f′
Cuatro rondas alternando dirección: dos veces "dada f, elige f′" (parábola, cúbica creciente) y dos veces "dada f′, elige f" (constante, la recta −x).
Tareas para el alumno
- Analizar dónde f crece y dónde decrece (o el signo de f′).
- Completar las cuatro rondas.
Sala 7 · Pendiente: escalón y ángulo
Primero un slider de pendiente muestra el escalón "1 a la derecha, m arriba", con dos preguntas de identificación. Después, un slider del ángulo θ hace girar la recta y muestra que m = tan θ, con dos preguntas más.
Tareas para el alumno
- Leer la pendiente como altura del escalón.
- Variar el ángulo y comprobar que m = tan θ.
Sala 8 · La velocidad media
Sobre y = x²/2 se traza la secante (gris discontinua) entre dos puntos y el triángulo Δy/Δx. El alumno calcula la tasa de variación media en dos intervalos distintos.
Tareas para el alumno
- Calcular Δy y Δx entre los puntos dados.
- Obtener la tasa de variación media (pendiente de la secante).
Sala 9 · De la secante a la tangente
Un slider de h acerca el segundo punto al primero. Las secantes anteriores quedan como rastro que se desvanece mientras giran hasta la tangente roja; un número grande muestra la pendiente estabilizándose en 2, con una animación de acierto.
Tareas para el alumno
- Reducir h y observar el rastro de secantes girando.
- Comprobar que la pendiente tiende a 2 cuando h→0.
Sala 10 · Acércate: la curva es casi recta
Un slider de zoom (1× a 200×) acerca la vista sobre un punto de una curva suave hasta que se ve recta; al comprobarlo se superpone la tangente. Se repite en un segundo punto con más curvatura.
Tareas para el alumno
- Subir el zoom hasta al menos 40× en cada punto.
- Comprobar que la recta coincide con la tangente.
Sala 11 · Estima la pendiente
Sobre una cúbica suave, con la tangente dibujada como pista, el alumno estima a ojo la pendiente en tres puntos contando cuadraditos y eligiendo el valor aproximado.
Tareas para el alumno
- Contar cuántos cuadros sube la tangente por cada paso a la derecha.
- Elegir la estimación correcta en los tres puntos.
Sala 12 · La definición
Se presenta f′(x₀) = lim (f(x₀+h)−f(x₀))/h. Una tabla con h cada vez más pequeño muestra el cociente acercándose a 6 para f=x² y x₀=3; al pasar el ratón, cada fila resalta su secante correspondiente en la gráfica.
Tareas para el alumno
- Seguir la tabla y ver a qué número tiende el cociente.
- Escribir el valor del límite (f′(3)=6).
Sala 13 · Derivada de una recta
Demostración por límite de que la derivada de a·x+b es a, en cualquier punto. Tres ejercicios: 3x−5, −2x+7 y una constante (derivada 0).
Tareas para el alumno
- Seguir la demostración por límite.
- Calcular f′ de las tres rectas propuestas.
Sala 14 · Derivada de x²
Desarrollo (x+h)²−x² = 2xh+h² ⇒ f′(x)=2x. El alumno evalúa f′(3), f′(−5) y halla dónde f′=0 (el vértice).
Tareas para el alumno
- Seguir el desarrollo del límite hasta 2x.
- Evaluar f′ en los puntos pedidos.
Sala 15 · Tres puertas: x³, 1/x, √x
El alumno elige el orden en que abre tres puertas, cada una con su límite y su truco algebraico (binomio, común denominador, conjugado). Al completar las tres se desbloquea la regla de la potencia xⁿ → n·xⁿ⁻¹.
Tareas para el alumno
- Completar los tres límites en el orden que prefiera.
- Aplicar la regla de la potencia, incluidos exponentes fraccionarios y negativos.
Sala 16 · Donde no hay derivada
Tres curvas (|x|, ∛x y x²) con sliders que acercan un punto por la izquierda y por la derecha (el de la izquierda en magnitud, coherente con el de la derecha); dos números grandes muestran ambas pendientes. Se explica primero que la derivada existe si los límites laterales coinciden y son finitos, y una pregunta por curva decide si existe una única tangente, con conclusión en texto grande y botón "Entendido".
Tareas para el alumno
- Comparar la pendiente por la izquierda y por la derecha en cada curva.
- Decidir si hay o no una única tangente.
Sala 17 · La derivada que calcula un ordenador
Con un slider de h fijo, el alumno ve la secante adelantada junto a la tangente real y un número de error que se encoge al bajar h; un mini-gráfico ilustra que si h es demasiado pequeño el error vuelve a crecer.
Tareas para el alumno
- Mover h y observar cómo se acerca la secante a la tangente.
- Encontrar el h con menor error total.
Sala 18 · Adelantada vs. simétrica
Sobre la misma curva se comparan la tangente real, la secante adelantada y la secante simétrica (centrada), con una tabla numérica en vivo. Reto final: igualar con la adelantada la precisión que la simétrica logra con h=0.5.
Tareas para el alumno
- Comparar cuál secante sigue mejor a la tangente al mover h.
- Encontrar un h para la adelantada que iguale la precisión de la simétrica.
Sala 19 · Potencia, constante y suma
Linealidad de la derivada: (c·u)′=c·u′, (u+v)′=u′+v′, (c)′=0. Varios cálculos de f′ de polinomios y una ecuación f′=0.
Tareas para el alumno
- Derivar polinomios término a término.
- Evaluar f′ y resolver f′=0.
Sala 20 · Seno y coseno
El alumno traza la derivada de sin x arrastrando; al completar el trazo se revela que es cos x. Después marca en el propio seno los puntos donde decrece más rápido y los puntos donde ni crece ni decrece. Se oculta todo y se repite con cos x: traza su derivada (−sin x), decide si en (0,π) es positiva o negativa, y marca dónde el coseno crece más rápido.
Tareas para el alumno
- Trazar la derivada de sin x arrastrando y marcar sus puntos clave.
- Repetir el proceso completo con cos x.
Sala 21 · Exponencial y logaritmo
El alumno traza la derivada de eˣ arrastrando y descubre que cae encima de la propia curva. Después traza la derivada de ln x e identifica a qué función conocida se parece (opción múltiple: x², √x, 1/x, 1/x²). Cierra con dos cálculos de evaluación.
Tareas para el alumno
- Trazar la derivada de eˣ y comprobar que es ella misma.
- Trazar la derivada de ln x, identificarla como 1/x y calcular en un punto.
Sala 22 · Test de velocidad: derivadas básicas
Se presenta la tabla de las 10 derivadas básicas (x², x³, x⁵, 1/x, √x, ln x, eˣ, sin x, cos x, tan x) y, cuando el alumno está listo, empieza una cuenta atrás. En cada ronda hay que elegir la derivada correcta entre 5 opciones antes de que se acabe el tiempo: acertar resta 300 ms al límite de tiempo y suma 1 punto, fallar suma 400 ms y resta 1 punto. Hay que terminar las 10 rondas con puntuación positiva.
Tareas para el alumno
- Memorizar la tabla de derivadas básicas.
- Superar las 10 rondas a contrarreloj con puntuación positiva.
Sala 23 · La regla del producto
Un rectángulo de lados u y v se agranda con un slider Δ, mostrando las dos franjas u·Δv y v·Δu y la esquina despreciable Δu·Δv de donde sale el incremento de área y (f·g)′ = f′·g + f·g′. Los ejercicios usan productos de exponencial o logaritmo por un polinomio, para que no se puedan resolver abriendo paréntesis.
Tareas para el alumno
- Aumentar los lados del rectángulo e identificar las franjas y la esquina.
- Derivar cada factor y combinar con la regla en los ejercicios.
Sala 24 · La regla del cociente
Se enuncia (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g² y se aplica en tres ejercicios de fracciones algebraicas, con aviso sobre el orden de la resta.
Tareas para el alumno
- Aplicar la regla del cociente paso a paso.
- Evaluar h′ en el punto pedido.
Sala 25 · La regla de la cadena
Una animación de engranajes (x mueve a g, g mueve a f) muestra que las velocidades se multiplican: (f∘g)′ = f′(g(x))·g′(x). Tres ejercicios de aplicación.
Tareas para el alumno
- Ver la animación de engranajes y deducir la multiplicación de velocidades.
- Derivar los tres casos propuestos.
Sala 26 · Test de velocidad: regla de la cadena
Cuenta atrás y 10 rondas a contrarreloj: para cada función (cos(3x), ln(5x+1), √(2−x), e^(x²), (3−x²)¹⁰ y otras cinco) hay que elegir su derivada entre 5 opciones muy parecidas antes de que se acabe el tiempo. Mismo sistema de puntos y tiempo que en la sala 22: hay que terminar en positivo.
Tareas para el alumno
- Reconocer a golpe de vista la derivada de funciones con regla de la cadena.
- Superar las 10 rondas a contrarreloj con puntuación positiva.
Sala 27 · Tutorial: la recta tangente
Se modela primero el ejercicio completo (y = x²/2, x₀=2) y después el alumno repite solo con una función de pendiente negativa: calcula f(x₀), f′(x₀) y coloca el punto de tangencia en la gráfica antes de ver la recta.
Tareas para el alumno
- Seguir el ejercicio modelado.
- Calcular f(x₀) y f′(x₀) del segundo ejercicio, colocar el punto y ver la tangente.
Sala 28 · Cóncava y convexa
En dos tramos de la misma curva, el alumno compara la curva con el segmento (secante) que une sus extremos: cóncava si la curva queda por encima, convexa si queda por debajo. Se explica que esto está ligado a la derivada segunda y se pide localizar a ojo el punto de inflexión, donde cambia la concavidad.
Tareas para el alumno
- Clasificar los dos tramos como cóncavo o convexo comparando con el segmento.
- Localizar a ojo el punto de inflexión.
Sala 29 · La forma de la curva
Tres paneles apilados y sincronizados —f, f′ y f″— con una línea vertical que los recorre. Reto 1: tocar en f′ donde cruza el 0 (extremos). Reto 2, ya desbloqueado: tocar en f″ donde cruza el 0 (inflexión). Se explica que el cambio de signo de f′ marca extremos y el de f″, inflexión, y cierra con tres preguntas de signo.
Tareas para el alumno
- Reto 1: marcar los dos extremos en el panel de f′.
- Reto 2: marcar el punto de inflexión en el panel de f″ y responder las preguntas de signo.
Sala 30 · La caja de volumen máximo
De una lámina 12×12 el alumno recorta cuadrados de lado x en las esquinas (slider, sin números visibles) y dobla; ve la caja y la curva V(x). Primero elige la fórmula correcta de V′(x) entre cuatro opciones, y solo entonces se habilita igualarla a 0 y resolver, hallando el recorte óptimo x=2 con V=128 cm³.
Tareas para el alumno
- Elegir la fórmula correcta de V′(x).
- Igualar a 0, resolver y comprobar el máximo V(2)=128.
Sala 31 · El socorrista
Un socorrista corre por la arena a 6 m/s y nada a 2 m/s: el tiempo no se minimiza en línea recta. Llamando x a la distancia horizontal hasta el punto de entrada, el alumno elige entre 4 opciones la distancia recorrida por la playa y luego por el agua. Se revela la fórmula T(x) y T′(x), y con el slider hay que encontrar con precisión decimal el x que minimiza el tiempo. Al acertar se revela que esa condición es la ley de Snell de la refracción (principio de Fermat), con un esquema de un rayo de luz.
Tareas para el alumno
- Identificar las expresiones de las dos distancias en función de x.
- Encontrar con precisión decimal el x que minimiza T(x) y relacionarlo con la ley de Snell.
Sala 32 · Arte generativo con derivadas
Sala bonus sin retos: un campo de curl noise, generado a partir de las derivadas parciales de una función potencial ψ(x,y), dibuja remolinos animados que nunca tienen fuentes ni sumideros, con un botón para regenerar el patrón.
Tareas para el alumno
- Observar cómo las derivadas parciales generan un flujo sin fuentes ni sumideros.
- Regenerar el patrón y explorar el resultado.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.