Objetivos didácticos
¿Qué aspecto tendría un mundo con cuatro dimensiones espaciales? Partiendo de una pregunta aparentemente imposible, este lab de bachillerato construye la respuesta paso a paso usando el mismo truco que un ser 2D usaría para imaginar el espacio 3D: analogía dimensional y proyección de sombras.
Qué se aprende
La intuición de que la cuarta dimensión espacial es tan coherente y geométrica como la tercera, aunque escape a nuestra percepción directa.
- Bloque A — Sombras (salas 1-5): el cubo 3D girado proyecta sombras 2D; el teseracto girado proyecta sombras 3D. El alumno aprende a "leer" la estructura 4D desde la sombra.
- Bloque B — Poliedros 4D (salas 6-11): los cinco poliedros regulares 4D — pentacoro, teseracto, 16-celda, 24-celda, 120-celda, 600-celda — con sus propiedades geométricas. La sala 13 reúne la galería completa: se puede seleccionar cada poliedro y explorar su proyección 3D en tiempo real, girándola con el ratón.
- Bloque C — Construcción y cortes (salas 12-13): el teseracto se construye por analogía (punto→segmento→cuadrado→cubo→teseracto) y se corta con hiperplanos para revelar secciones 3D, incluyendo el cuboctaedro.
- Sala 14 — Superpoderes 4D: ¿qué podría hacer un ser 4D en nuestro mundo? Ver el interior de un cuarto cerrado, deshacer nudos imposibles en 3D.
- Sala 15 — Repaso final: quiz visual sobre vértices, aristas, caras y celdas de los poliedros.
- Sala 16 — Variedades de Calabi-Yau: la sala más llamativa del lab. La teoría de cuerdas necesita 10 dimensiones; las 6 extra están compactadas en una variedad de Calabi-Yau. Se muestra la visualización matemática exacta usando trigonometría compleja: cos(x+iy) y sin(x+iy) con n² láminas de colores arcoíris. Dos sliders — grado n y ángulo de proyección 4D — transforman la figura en tiempo real.
Ideas matemáticas clave
- Analogía dimensional: la progresión 0D→1D→2D→3D→4D guía la construcción del teseracto. Los vértices se doblan (2ⁿ), los bordes siguen la regla 2n.
- Proyección perspectiva 4D→3D: igual que 3D→2D. La distancia al "ojo" en la cuarta coordenada determina la escala relativa del cubo interior/exterior del teseracto.
- Característica de Euler 4D: V−A+F−C = 0 para todos los poliedros regulares 4D convexos (análogo del V−A+F = 2 en 3D).
- Poliedros regulares en 4D: existen exactamente 6 (en 3D hay 5). El 24-celda es el único sin análogo en ninguna otra dimensión.
- Calabi-Yau: z₁ = e^(2πik₁/n)·cos(x+iy)^(2/n), z₂ = e^(2πik₂/n)·sin(x+iy)^(2/n). Proyección 4D→3D: X=Re(z₁), Y=Re(z₂), Z=Im(z₁)·cos(a)+Im(z₂)·sin(a). La quíntica n=5 (25 láminas) es la más relevante para la teoría de cuerdas.
Contenidos por salas
Sala 1 · Las sombras pierden una dimensión
Un cubo 3D gira y proyecta su sombra 2D en el «suelo», con los rayos de proyección dibujados; se puede girar arrastrando. La sombra cambia con el ángulo aunque el cubo no cambie. Del mismo modo, nosotros (seres 3D) solo podemos ver sombras 3D de los objetos 4D. Pregunta de selección múltiple: qué polígonos pueden ser la sombra de un cubo. Solo cuadriláteros y hexágonos: la simetría central del cubo obliga a un número par de lados. Si se falla, aparecen botones para ver el cuadrado, el rectángulo y el hexágono.
Tareas para el alumno
- Girar el cubo arrastrando y observar cómo cambia la sombra.
- Marcar qué polígonos pueden ser la sombra de un cubo (cuadrilátero y hexágono).
Sala 2 · Sombras del tetraedro
Tetraedro regular (4 vértices, 6 aristas) que gira sobre el suelo con su sombra 2D; se puede girar arrastrando. Pregunta de selección múltiple: qué figuras puede proyectar como sombra. Triángulo (visto de cara) y cuadrado (mirando desde el punto medio de una arista hacia la arista opuesta): un cuadrado a partir de un sólido hecho solo de triángulos. Una sombra de 4 vértices no puede tener más de 4 lados.
Tareas para el alumno
- Girar el tetraedro hasta encontrar la sombra cuadrada.
- Marcar las sombras posibles (triángulo y cuadrado).
Sala 3 · Sombras del octaedro
Octaedro regular (6 vértices, 12 aristas), dual del cubo, con su sombra 2D. Pregunta de selección múltiple: qué figuras puede proyectar. Cuadrado (mirando desde un vértice), rombo (ángulos intermedios) y hexágono regular (mirando desde el centro de una cara); nunca un triángulo.
Tareas para el alumno
- Buscar la dirección desde la que la sombra es un hexágono regular.
- Marcar las sombras posibles (cuadrado, rombo y hexágono).
Sala 4 · Cortes del cubo
Un plano corta un cubo 3D. Dos deslizadores: inclinación (de corte recto a corte diagonal) y posición del plano; una etiqueta nombra la sección obtenida. Pregunta de selección múltiple: qué figuras pueden ser sección de un cubo. Cuadrado y rectángulo (cortes rectos), triángulo y hexágono (corte diagonal) y pentágono (corte oblicuo); el octógono nunca aparece. Es la preparación para los cortes del teseracto.
Tareas para el alumno
- Mover los deslizadores hasta obtener un triángulo, un pentágono y un hexágono.
- Marcar las secciones posibles (todas salvo el octógono).
Sala 5 · Secciones diagonales: cubo y teseracto
Dos paneles animados en paralelo. A la izquierda, un plano diagonal x+y+z = t barre el cubo (punto → triángulo → hexágono regular); a la derecha, el análogo 4D: un hiperplano diagonal x+y+z+w = t barre el teseracto (punto → tetraedro → tetraedro truncado → octaedro regular). Un deslizador de inclinación pasa del corte diagonal al recto, y tocar un panel lo pausa. Pregunta de selección múltiple: qué figuras pueden ser una sección 3D del teseracto (cubo, paralelepípedo, tetraedro, tetraedro truncado, cuboctaedro y octaedro; nunca icosaedro ni dodecaedro).
Tareas para el alumno
- Pausar los dos paneles en momentos equivalentes y comparar la sección del cubo con la del teseracto.
- Marcar las secciones 3D posibles del teseracto.
Sala 6 · La característica de Euler
Tetraedro, cubo y octaedro, uno tras otro. Para cada uno se introducen los vértices (V), las aristas (A) y las caras (C); si hace falta, unos botones iluminan los elementos para contarlos. Una tabla va recogiendo los resultados y la columna V − A + C da siempre 2: la característica de Euler de los poliedros convexos.
Tareas para el alumno
- Contar V, A y C del tetraedro (4, 6, 4), el cubo (8, 12, 6) y el octaedro (6, 12, 8).
- Comprobar que V − A + C = 2 en los tres.
Sala 7 · Cómo contar aristas y vértices
Ejemplo guiado con el octaedro, paso a paso: 8 triángulos × 3 lados = 24 lados; cada arista la comparten 2 triángulos, luego 24 ÷ 2 = 12 aristas; hay 24 vértices de triángulo y en cada vértice se juntan 4, luego 24 ÷ 4 = 6 vértices. Después, «Ahora tú: el icosaedro» (20 triángulos).
Tareas para el alumno
- Calcular las aristas del icosaedro (20 × 3 ÷ 2 = 30).
- Calcular sus vértices sabiendo que en cada uno se juntan 5 triángulos (20 × 3 ÷ 5 = 12).
Sala 8 · Dualidad: cubo y octaedro
Animación: se marca el centro de cada cara del cubo y esos centros forman un octaedro; los centros de las 8 caras del octaedro forman a su vez un cubo más pequeño. Después, el mismo proceso con el tetraedro. Se puede volver a ver. Pregunta: cuál es el dual del tetraedro. Es otro tetraedro: es el único poliedro regular autodual.
Tareas para el alumno
- Seguir la animación cubo → octaedro → cubo.
- Responder cuál es el dual del tetraedro (otro tetraedro).
Sala 9 · El pentacoro: el poliedro 4D más simple
Sombra 3D (proyección perspectiva) del pentacoro o 5-celda: 5 vértices, 10 aristas, 10 caras triangulares y 5 celdas tetraédricas. Es el análogo del tetraedro en 3D y del triángulo en 2D. Se gira arrastrando y con tres deslizadores de rotación 4D (planos XW, YW y ZW). Pregunta numérica: cuántos tetraedros contiene. Un botón los ilumina uno a uno, incluida la celda exterior que envuelve a las demás.
Tareas para el alumno
- Girar el pentacoro en 3D (arrastrando) y en 4D (deslizadores).
- Responder cuántos tetraedros contiene (5, uno por cada vértice que queda fuera).
Sala 10 · El teseracto
El hipercubo 4D: 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas. Mismos controles de giro que la sala anterior. Pregunta numérica: cuántos cubos contiene. Un botón ilumina los cubos uno a uno (celdas x−, x+, y−, y+, z−, z+, w−, w+). Con 6 se recuerda que ese es el número de caras del cubo.
Tareas para el alumno
- Girar el teseracto y observar el cubo interior y el exterior de la sombra.
- Responder cuántos cubos contiene (8: 2 por cada una de las 4 dimensiones).
Sala 11 · El hexadecacoro
El 16-celda, dual del teseracto: 8 vértices, 24 aristas, 32 caras triangulares y 16 celdas tetraédricas. Sus vértices son (±1, 0, 0, 0) y sus permutaciones: uno por polo de cada eje 4D. Su sombra es una estrella de octaedros. Dos preguntas: qué forma tienen sus 16 celdas (tetraedros, como el octaedro 3D tiene 8 caras triangulares) y cuántos vértices tiene (8).
Tareas para el alumno
- Elegir la forma de las celdas del hexadecacoro (tetraedro).
- Responder cuántos vértices tiene (8) y compararlo con el octaedro 3D (6 vértices, uno por polo de cada eje).
Sala 12 · El icositetraedro 4D
El 24-celda: 24 vértices (todas las permutaciones de (±1, ±1, 0, 0)), 96 aristas, 96 caras triangulares y 24 celdas octaédricas. Es su propio dual y el único poliedro regular propio de la cuarta dimensión: no tiene análogo en ninguna otra. Al rotar en XW o YW, su sombra pasa de estrella a cuboide y vuelve. Pregunta de selección: qué forma tienen sus 24 celdas (octaedro).
Tareas para el alumno
- Rotar en XW o YW y observar cómo cambia la sombra.
- Elegir la forma de las celdas (octaedro).
Sala 13 · Construir por analogía
De 0D a 4D: un punto se barre y forma un segmento, el segmento un cuadrado, el cuadrado un cubo y el cubo un teseracto. Un lienzo muestra los cinco pasos con sus vértices, aristas, caras y celdas (V, A, F, C). Cada paso dobla los vértices. Dos preguntas de opción: cuántos vértices tendría el hipercubo en 5D (32 = 2⁵) y cuántos teseractos contiene (10, siguiendo la serie 2 vértices, 4 lados, 6 caras, 8 cubos: regla 2n).
Tareas para el alumno
- Seguir la construcción dimensional hasta el teseracto.
- Responder las dos preguntas sobre el hipercubo 5D (32 vértices y 10 teseractos).
Sala 14 · Galería de poliedros 4D ★
Cinco botones seleccionan el poliedro (5-celda, teseracto, 16-celda, 24-celda y 600-celda) y se muestra su proyección 3D giratoria en un visor grande; se puede arrastrar para rotar. Un panel de estadísticas (V, A, F, C) se actualiza con cada poliedro. En 4D hay exactamente 6 poliedros regulares; el 120-celda no aparece en la galería. Pregunta de respuesta libre: cuánto vale V − A + F − C para cualquier poliedro regular 4D (siempre 0).
Tareas para el alumno
- Explorar los cinco poliedros y comparar sus proyecciones.
- Calcular V − A + F − C para dos o tres poliedros y comprobar el patrón.
- Introducir la respuesta (0).
Sala 15 · Los superpoderes del ser 4D
Ilustración al estilo de Planilandia: un ser 2D encerrado en una «caja cerrada» que nosotros vemos desde arriba. Por analogía, un ser 4D vería el interior de tu habitación cerrada, podría tocar tu corazón sin abrir la piel o sacar un anillo sin quitártelo. Pregunta con distractores no obvios (doblar el espacio para acortar distancias, percibir el tiempo como una dirección espacial más, transmitir fuerza sin contacto) frente a la respuesta correcta: deshacer el nudo de una cuerda cerrada, imposible en 3D.
Tareas para el alumno
- Entender la analogía 2D → 3D como preparación para 3D → 4D.
- Identificar cuál de los cuatro «poderes» requiere realmente una dimensión espacial extra.
Sala 16 · ¿Qué sombra ves?
Repaso final: tres preguntas de opción única, con explicación tras cada respuesta, sobre el hexadecacoro (8 vértices, uno por polo de cada eje), la sección cuboctaédrica del teseracto girado 45° en el plano xw y cortado en w = 0, y el icositetraedro (24-celda) como único poliedro regular sin análogo en otra dimensión.
Tareas para el alumno
- Responder las tres preguntas aplicando lo aprendido en el lab.
Sala 17 · Dimensiones ocultas: variedades de Calabi-Yau ★
La teoría de cuerdas exige 10 dimensiones; las 6 que no percibimos están compactadas, en cada punto del espacio, en una variedad de Calabi-Yau (3 dimensiones complejas = 6 reales, a escala de Planck). Se visualiza con la parametrización exacta mediante trigonometría compleja: z₁ = e^(2πik₁/n)·cos(x+iy)^(2/n), z₂ = e^(2πik₂/n)·sin(x+iy)^(2/n), proyectada a 3D con un ángulo a. Un deslizador de grado n (2-6, n² láminas de colores) con una ficha para cada grado (de la variedad tórica a la séxtica) y un deslizador de ángulo 4D (de 0 a π). La figura gira sola. La quíntica (n = 5, 25 láminas) es la más estudiada en teoría de cuerdas.
Tareas para el alumno
- Observar la quíntica n = 5 (25 láminas).
- Mover el deslizador de grado n y contar cuántas láminas aparecen.
- Mover el deslizador de ángulo 4D y ver cómo se deforma la variedad.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.