Teaching objectives
¿Qué aspecto tendría un mundo con cuatro dimensiones espaciales? Partiendo de una pregunta aparentemente imposible, este lab de bachillerato construye la respuesta paso a paso usando el mismo truco que un ser 2D usaría para imaginar el espacio 3D: analogía dimensional y proyección de sombras.
Qué se aprende
La intuición de que la cuarta dimensión espacial es tan coherente y geométrica como la tercera, aunque escape a nuestra percepción directa.
- Bloque A — Sombras (salas 1-5): el cubo 3D girado proyecta sombras 2D; el teseracto girado proyecta sombras 3D. El alumno aprende a "leer" la estructura 4D desde la sombra.
- Bloque B — Poliedros 4D (salas 6-11): los cinco poliedros regulares 4D — pentacoro, teseracto, 16-celda, 24-celda, 120-celda, 600-celda — con sus propiedades geométricas. La sala 13 reúne la galería completa: se puede seleccionar cada poliedro y explorar su proyección 3D en tiempo real, girándola con el ratón.
- Bloque C — Construcción y cortes (salas 12-13): el teseracto se construye por analogía (punto→segmento→cuadrado→cubo→teseracto) y se corta con hiperplanos para revelar secciones 3D, incluyendo el cuboctaedro.
- Sala 14 — Superpoderes 4D: ¿qué podría hacer un ser 4D en nuestro mundo? Ver el interior de un cuarto cerrado, deshacer nudos imposibles en 3D.
- Sala 15 — Repaso final: quiz visual sobre vértices, aristas, caras y celdas de los poliedros.
- Sala 16 — Variedades de Calabi-Yau: la sala más llamativa del lab. La teoría de cuerdas necesita 10 dimensiones; las 6 extra están compactadas en una variedad de Calabi-Yau. Se muestra la visualización matemática exacta usando trigonometría compleja: cos(x+iy) y sin(x+iy) con n² láminas de colores arcoíris. Dos sliders — grado n y ángulo de proyección 4D — transforman la figura en tiempo real.
Ideas matemáticas clave
- Analogía dimensional: la progresión 0D→1D→2D→3D→4D guía la construcción del teseracto. Los vértices se doblan (2ⁿ), los bordes siguen la regla 2n.
- Proyección perspectiva 4D→3D: igual que 3D→2D. La distancia al "ojo" en la cuarta coordenada determina la escala relativa del cubo interior/exterior del teseracto.
- Característica de Euler 4D: V−A+F−C = 0 para todos los poliedros regulares 4D convexos (análogo del V−A+F = 2 en 3D).
- Poliedros regulares en 4D: existen exactamente 6 (en 3D hay 5). El 24-celda es el único sin análogo en ninguna otra dimensión.
- Calabi-Yau: z₁ = e^(2πik₁/n)·cos(x+iy)^(2/n), z₂ = e^(2πik₂/n)·sin(x+iy)^(2/n). Proyección 4D→3D: X=Re(z₁), Y=Re(z₂), Z=Im(z₁)·cos(a)+Im(z₂)·sin(a). La quíntica n=5 (25 láminas) es la más relevante para la teoría de cuerdas.
Room-by-room contents
Sala 1 · ¿Qué es una dimensión?
Un cubo 3D gira y proyecta su sombra 2D en el "suelo". La animación muestra que la sombra cambia con el ángulo de giro, aunque el cubo no cambia. Punto de partida: un ser 2D nunca podría visualizar el cubo — nosotros lo inferimos desde su sombra.
Student tasks
- Observar cómo la sombra del cubo cambia según el eje de giro.
- Responder: ¿qué información se pierde al proyectar?
Sala 2 · Sombra del tetraedro 4D
Sombra 3D del pentacoro (5-celda): el sólido 4D más simple. Proyección perspectiva interactiva — se puede girar con el ratón.
Student tasks
- Girar la sombra del pentacoro.
- Contar los vértices visibles y compararlos con los 5 reales.
Sala 3 · Sombra del octaedro 4D
Sombra 3D del hexadecacoro (16-celda): dual del teseracto. Sus 8 vértices están en los polos de los 4 ejes.
Student tasks
- Identificar los vértices del hexadecacoro en la proyección.
- Comparar la sombra con la de un octaedro 3D.
Sala 4 · Cortes del cubo
Slider que mueve un plano de corte a través del cubo 3D: sección triangular, rectangular, hexagonal. Preparación del concepto de sección transversal.
Student tasks
- Encontrar la posición del slider que da un corte hexagonal.
- Entender que el corte 2D del cubo es análogo al corte 3D del teseracto.
Sala 5 · Cortes del teseracto
Hiperplano que barre el teseracto rotado en el plano xw: secciones 3D visibles (cubo, cuboctaedro, rombododecaedro). Dos sliders: ángulo de giro 4D y posición del hiperplano.
Student tasks
- Encontrar el ángulo y posición que producen un cuboctaedro.
- Explorar al menos tres formas distintas del corte.
Sala 6 · La característica de Euler
Para el cubo: V−A+F = 8−12+6 = 2. ¿Qué ocurre en 4D? Se presentan las fórmulas y se introduce V−A+F−C para el teseracto.
Student tasks
- Calcular V−A+F para el cubo y el tetraedro.
- Predecir el valor de V−A+F−C para el teseracto.
Sala 7 · Dualidad 4D
El teseracto y el hexadecacoro son duales (los centros de las celdas de uno son los vértices del otro). Animación de la dualidad.
Student tasks
- Ver cómo los 16 vértices del hexadecacoro corresponden a las 16 celdas del teseracto.
- Responder: ¿cuántas celdas tiene el dual del pentacoro?
Sala 8 · El pentacoro
El poliedro 4D más simple: 5 vértices, 10 aristas, 10 caras triangulares, 5 celdas tetraédricas. Análogo al tetraedro en 3D y al triángulo en 2D.
Student tasks
- Girar el pentacoro y localizar sus 5 vértices.
- Verificar: V−A+F−C = 5−10+10−5 = 0.
Sala 9 · El teseracto
El hipercubo 4D: 16 vértices, 32 aristas, 24 caras cuadradas, 8 celdas cúbicas. El poliedro 4D más famoso.
Student tasks
- Girar el teseracto y contar los cuadrados visibles en la proyección.
- Confirmar que la sombra interior es siempre un cubo.
Sala 10 · El hexadecacoro
El 16-celda: 8 vértices, 24 aristas, 32 caras triangulares, 16 celdas tetraédricas. Cada vértice está en (±1,0,0,0) y sus permutaciones: uno por polo de cada eje 4D.
Student tasks
- Identificar la simetría de los 8 vértices del hexadecacoro.
- Comparar con el octaedro 3D (que tiene 6 vértices, uno por polo de cada eje 3D).
Sala 11 · El icositetraedro
El 24-celda: 24 vértices, 96 aristas, 96 caras triangulares, 24 celdas octaédricas. Es el único poliedro regular propio de la 4ª dimensión — no tiene análogo en ninguna otra.
Student tasks
- Girar el 24-celda y apreciar su simetría.
- Responder: ¿qué lo hace único comparado con los demás poliedros regulares?
Sala 12 · Construcción por analogía
De 0D a 4D: punto→segmento→cuadrado→cubo→teseracto. Canvas que muestra cada paso con sus estadísticas (V, A, F, C). Quiz: ¿cuántos vértices tendría el hipercubo en 5D? (32 = 2⁵); ¿cuántos teseractos tiene el 5D? (10 = 2×5).
Student tasks
- Seguir la construcción dimensional hasta el teseracto.
- Responder las dos preguntas del quiz sobre el hipercubo 5D.
Sala 13 · Galería de poliedros 4D ★
Una de las salas más vistosas: cinco botones seleccionan el poliedro (5-celda, teseracto, 16-celda, 24-celda, 600-celda) y la Three.js renderiza su proyección 3D giratoria en 720 px de alto. Se puede arrastrar para rotar. Panel de estadísticas (V, A, F, C) actualizado en tiempo real. Quiz de input libre: ¿cuánto vale V−A+F−C para cualquier poliedro regular 4D? (siempre 0).
Student tasks
- Explorar los cinco poliedros y observar sus proyecciones.
- Calcular V−A+F−C para dos o tres poliedros y comprobar el patrón.
- Introducir la respuesta en el quiz de input.
Sala 14 · Superpoderes de un ser 4D
Ilustración de Flatland: ser 2D encerrado en una caja — nosotros lo vemos desde arriba. Analogía: un ser 4D ve el interior de tu cuarto cerrado. Quiz con distractores no obvios (doblar el espacio, percibir el tiempo como dimensión espacial, transmitir fuerza sin contacto) versus la respuesta correcta: deshacer un nudo que en 3D es imposible.
Student tasks
- Entender la analogía 2D→3D como preparación para 3D→4D.
- Identificar cuál de los cuatro "poderes" requiere realmente una dimensión espacial extra.
Sala 15 · Repaso final
Tres preguntas de quiz visual sobre los poliedros 4D: el 16-celda (8 vértices en polos de ejes), la sección cuboctaédrica del teseracto rotado, y el 24-celda como único sin análogo dimensional.
Student tasks
- Responder las tres preguntas aplicando lo aprendido en el lab.
Sala 16 · Variedades de Calabi-Yau ★
La sala más espectacular del lab. La teoría de cuerdas exige 10 dimensiones; las 6 no percibidas están compactadas en una variedad de Calabi-Yau. Se visualiza la quíntica (n=5) con la parametrización matemática exacta usando trigonometría compleja: z₁=e^(2πik₁/n)·cos(x+iy)^(2/n), z₂=e^(2πik₂/n)·sin(x+iy)^(2/n). MeshNormalMaterial da el arcoíris característico. Slider de grado n (2-6, n² láminas) y slider de ángulo 4D a (proyección). Rotación automática.
Student tasks
- Observar la quíntica n=5 (25 láminas arcoíris).
- Mover el slider de grado n y contar cuántas láminas aparecen.
- Arrastrar el slider de ángulo 4D y ver cómo se deforma la variedad.
Rooms to project
The most striking ones to show and discuss in class.