Objetivos didácticos
¿Qué es (y qué no es) una función? Antes de trabajar con fórmulas y familias concretas, hay que entender bien la idea misma de correspondencia: un elemento del dominio, una única imagen. El alumno aprenderá a distinguir funciones de "no funciones" con conjuntos finitos y con gráficas reales, conocerá las propiedades inyectiva, sobreyectiva y biyectiva (incluyendo cómo contarlas), y aprenderá a encontrar el dominio de una función real, tanto leyendo su gráfica como analizando su fórmula.
Qué se aprende
Se trabaja la comprensión intuitiva de función como correspondencia, los contraejemplos que la rompen, las tres propiedades clásicas (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva) con su conteo, y el procedimiento para encontrar el dominio de una función real.
- Salas 1–2: el concepto de función con conjuntos finitos (flechas), dominio y rango, y comparación entre dos funciones con el mismo dominio.
- Sala 3: contraejemplos — correspondencias que no son función (flechas dobles, invertidas, elementos sin flecha).
- Sala 4: criterio de la recta vertical para reconocer funciones en gráficas reales.
- Salas 5–9: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, con reconocimiento y conteo (incluyendo el criterio de la recta horizontal para la inyectividad en gráficas reales y la clasificación de gráficas de funciones reales en inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna).
- Salas 10–11: dominio y rango visual en funciones reales, leyendo directamente el gráfico.
- Salas 12–13: operaciones prohibidas (división entre 0, raíz cuadrada o de índice par de un negativo, logaritmo de un no positivo) y cómo determinan el dominio algebraico, distinguiendo intervalos abiertos y cerrados.
- Sala 14: funciones a trozos — el dominio es la unión de los dominios de cada trozo.
- Sala 15: dominio como intersección de intervalos, cuando dos operaciones prohibidas actúan a la vez.
- Sala 16: repaso final de todo el lab.
Ideas matemáticas clave
- Una función es una correspondencia unívoca: un x → un solo f(x). Si algún x tiene dos imágenes, o si no tiene ninguna, no es (o no está bien definida como) función.
- Dominio: conjunto de valores para los que la función está definida. Rango (imagen): conjunto de valores que f realmente toma.
- Una función es inyectiva si elementos distintos van siempre a imágenes distintas; se comprueba con el criterio de la recta horizontal en una gráfica.
- Una función es sobreyectiva si todo el codominio queda cubierto por alguna flecha; contarlas exige a veces descartar por complementario (total menos las que no cumplen la condición).
- Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez; entre dos conjuntos del mismo tamaño n, el número de biyecciones es n!.
- El dominio algebraico de una función se determina evitando tres operaciones prohibidas: dividir entre 0 (excluye un punto), tomar la raíz cuadrada o de índice par de un negativo (excluye un intervalo cerrado, con corchete) y tomar el logaritmo de un no positivo (excluye un intervalo abierto, con paréntesis).
- En una función a trozos, el dominio total es la unión de los dominios de cada trozo; cuando dos condiciones actúan simultáneamente sobre la misma fórmula, el dominio es su intersección.
Contenidos por salas
Sala 1 · Conjuntos y flechas
Se presenta el concepto de función mediante un diagrama de flechas entre dos conjuntos: cada elemento del dominio apunta a exactamente un elemento del codominio. Un cuestionario en cadena repasa dominio, codominio y rango.
Tareas para el alumno
- Observar el diagrama de flechas y reconocer dominio, codominio, rango y por qué un elemento sin flecha queda fuera del dominio.
- Responder las 5 preguntas encadenadas.
Sala 2 · Dos funciones, un mismo dominio
Dos correspondencias finito→finito con el mismo dominio pero rangos distintos, presentadas una junto a la otra para comparar.
Tareas para el alumno
- Calcular el rango de cada función por separado.
- Explicar por qué comparten dominio pero no rango.
Sala 3 · ¿Es función?
Cuatro correspondencias entre {A, B, C} y {1, 2, 3}, presentadas una a una: una válida, una con dos flechas desde el mismo origen, una con una flecha invertida y una con un elemento sin flecha.
Tareas para el alumno
- Decidir en cada uno de los 4 casos si la correspondencia es o no es función.
- Identificar la razón concreta cuando no lo es.
Sala 4 · Criterio de la recta vertical
Cuatro mini-gráficas (circunferencia, parábola y = x², parábola tumbada x = y², recta vertical x = 1.5), cada una con una vertical de prueba superpuesta.
Tareas para el alumno
- Determinar para cada gráfica si la vertical de prueba la corta más de una vez.
- Concluir si cada una es o no es función.
Sala 5 · Funciones inyectivas
Se revelan una a una dos correspondencias de ejemplo (una inyectiva, otra no) en notación de flechas, cada una con su propia pregunta y su pista si falla. Después, un reto de conteo: cuántas funciones inyectivas hay de un conjunto de 2 elementos a otro de 3.
Tareas para el alumno
- Reconocer si cada ejemplo es inyectivo.
- Calcular cuántas funciones inyectivas hay de {1,2} en {a,b,c}.
Sala 6 · Criterio de la recta horizontal
Se revelan una a una cuatro gráficas de funciones reales (y = x², y = x³/3, y = |x|, y = 2x − 1), cada una con una horizontal de prueba, para decidir si son inyectivas.
Tareas para el alumno
- Determinar para cada gráfica si la horizontal de prueba la corta más de una vez.
- Concluir si cada una es o no es inyectiva.
Sala 7 · Funciones sobreyectivas
Se revelan una a una dos correspondencias de ejemplo, cada una con su propia pregunta y su pista si falla. Después, un reto de conteo más exigente: cuántas funciones sobreyectivas hay de {a, b, c} en {0, 1}.
Tareas para el alumno
- Reconocer si cada ejemplo es sobreyectivo.
- Calcular cuántas funciones sobreyectivas hay de {a,b,c} en {0,1} (por complementario: 2³ − 2).
Sala 8 · Funciones biyectivas
Se revelan una a una dos correspondencias de ejemplo (inyectiva y sobreyectiva a la vez, o ninguna de las dos). Después, un reto de conteo mediante factorial: cuántas biyecciones hay entre dos conjuntos de 4 elementos.
Tareas para el alumno
- Reconocer si cada ejemplo es biyectivo.
- Calcular 4! y explicar por qué cuenta las biyecciones.
Sala 9 · Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna
Se parte de un ejemplo resuelto: f(x) = x² no es inyectiva porque f(1) = f(−1), ni sobreyectiva sobre ℝ porque no toma valores negativos, así que no es ninguna de las tres. Después se muestran una a una, en orden aleatorio, las gráficas de ocho funciones reales con codominio ℝ: x³ − x, 9 − x², 2ˣ, log₂ x (con dominio x > 0), sen x, 2x − 5, |x| − 3 y arctan x. En cada una el alumno elige entre inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna, y cada respuesta tiene su propia explicación.
Tareas para el alumno
- Clasificar cada una de las 8 gráficas como inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna.
- Justificar cada clasificación con el criterio de la recta horizontal y comprobando si la función alcanza todos los valores de ℝ.
Sala 10 · Explorando y = √(9 − x²)
El alumno mueve un slider de x y ve en tiempo real cómo varía f(x) sobre el gráfico de la función y = √(9 − x²) (semicírculo). Se leen dominio e imagen directamente de la gráfica.
Tareas para el alumno
- Mover x por todo su recorrido y observar cómo cambia f(x).
- Determinar el dominio y la imagen de la función leyendo el gráfico.
Sala 11 · Más dominio y rango
Dos exploradores más en secuencia: g(x) = √(x + 4), con dominio no acotado por arriba, y h(x) = 4 − x², con dominio ℝ pero rango acotado superiormente.
Tareas para el alumno
- Leer el dominio y el rango de g(x) = √(x + 4).
- Leer el dominio y el rango de h(x) = 4 − x².
Sala 12 · Operaciones prohibidas
Se introducen las tres operaciones que restringen el dominio: dividir entre 0, la raíz cuadrada o de índice par de un negativo, y el logaritmo de un número no positivo, con tres ejemplos resueltos. Se insiste en que las raíces pares dan intervalos cerrados (con corchete) y los logaritmos, abiertos (con paréntesis).
Tareas para el alumno
- Calcular el dominio de f(x) = 3/(x − 2).
- Calcular el dominio de f(x) = √(x − 5).
- Calcular el dominio de f(x) = ln(x − 3).
Sala 13 · Practica: dominio con una prohibición
Cuatro ejercicios más de dominio con una sola operación prohibida: una división simple, una raíz, un logaritmo y una división con denominador cuadrático (dos puntos excluidos). Los distractores mezclan intervalos abiertos y cerrados a propósito.
Tareas para el alumno
- Calcular el dominio de f(x) = 5/(x + 3).
- Calcular el dominio de g(x) = √(2x − 6).
- Calcular el dominio de h(x) = ln(4 − x).
- Calcular el dominio de k(x) = 4/(x² − 9).
Sala 14 · Funciones a trozos
Se presenta f(x) = √(x+2) si x ≤ 1, x−1 si x>1. El alumno calcula el dominio de cada trozo por separado y comprueba que el dominio total es la unión de ambos.
Tareas para el alumno
- Calcular el dominio del primer trozo.
- Calcular el dominio del segundo trozo.
- Unir ambos dominios para obtener el dominio total.
Sala 15 · Dominio como intersección de intervalos
Se presenta f(x) = √(x − 1) + √(6 − x), con dos operaciones prohibidas simultáneas. El alumno calcula cada condición por separado y las intersecta.
Tareas para el alumno
- Calcular la condición del primer radicando.
- Calcular la condición del segundo radicando.
- Intersectar ambas condiciones para obtener el dominio total.
Sala 16 · Repaso final
Cinco preguntas encadenadas que repasan todo el lab: ¿es función?, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, y dominio de una función real.
Tareas para el alumno
- Responder las 5 preguntas de repaso.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.