Objetivos didácticos
¿Qué son las funciones? Quizás sea el concepto matemático más importante, y sin embargo pocos alumnos llegan a entenderlo. A través de ejemplos reales como nota de un examen y metáforas como la de un cartero introducimos la idea de dominio, rango, valor... El alumno aprenderá que una función es una transformación, buscará rango y dominio de manera visual, aprenderá a graficar afines, parábolas e hipérbolas siguiendo un algoritmo paso a paso, y conocerá las principales familias de Secundaria y Bachillerato: afín, cuadrática, cúbica y racional.
Qué se aprende
Se trabaja la comprensión intuitiva de función como correspondencia, la lectura de gráficas, la influencia de los parámetros sobre la forma de una curva y, de forma explícita, el procedimiento para graficar cada familia a mano.
- Sala 1: familia lineal (y = m·x); el slider m controla la pendiente.
- Sala 2: tutorial guiado — graficar una función afín punto a punto (elegir x, calcular f(x), colocar el punto), dos veces (creciente y decreciente).
- Salas 3–9: familia afín (y = m·x + n) y la parábola en sus formas y = x², y = a·x² + c, y = x² + b·x + c y la general y = a·x² + b·x + c, con retos de "consigue el rango", "consigue raíces y concavidad" y "consigue el eje de simetría".
- Sala 10: tutorial guiado — algoritmo completo para graficar una parábola (vértice, corte con Oy, cortes con Ox si existen, puntos extra).
- Salas 11–12: familia cúbica, primero y = a·x³ + d (centro de simetría, monotonía) y después la general y = x³ + b·x² + c·x + d (raíces, rango, dominio).
- Salas 13–14: reconocimiento fórmula↔gráfica entre parábolas y cúbicas.
- Salas 15–17: familia racional (hipérbolas) y = k/x, y = k/(x−v) + h e y = (a·x+b)/(c·x+d), con retos de "consigue estas asíntotas".
- Sala 18: tutorial guiado — algoritmo completo para graficar una hipérbola (asíntotas, cortes con los ejes).
- Sala 19: reconocimiento final cruzando las cuatro familias estudiadas.
Ideas matemáticas clave
- Una función es una correspondencia unívoca: un x → un solo f(x). Si algún x llega a dos imágenes, no es función.
- Dominio: conjunto de valores de x para los que la función está definida. Imagen (rango): conjunto de valores que toma f(x).
- Graficar a mano sigue siempre el mismo patrón: elegir puntos estratégicos (vértice, cortes con los ejes, asíntotas), calcular su valor sustituyendo en la fórmula, y situarlos en el plano antes de unirlos con la curva.
- La función lineal y = m·x pasa por el origen; m determina si crece (m > 0) o decrece (m < 0).
- En la parábola y = a·x² + c, el signo de a decide si se abre hacia arriba o hacia abajo (máximo/mínimo) y el número de raíces depende de la posición del vértice respecto al eje x.
- El vértice de y = ax² + bx + c se halla en x = −b/(2a); el eje de simetría es la vertical que pasa por ese punto.
- Una cúbica y = a·x³ + d es siempre monótona y tiene un centro de simetría en (0, d); al ser de grado impar, cualquier cúbica tiene siempre al menos una raíz real, y su dominio y su rango son siempre ℝ.
- Una hipérbola y = (a·x+b)/(c·x+d) tiene una asíntota vertical en x = −d/c (donde se anula el denominador) y una asíntota horizontal en y = a/c (cociente de los coeficientes principales); ni el dominio ni el rango incluyen esos valores.
Contenidos por salas
Sala 1 · La función lineal y = m·x
Se explora la familia lineal y = m·x con un slider para m. La recta y la tabla de valores se actualizan en vivo; se aprecia cuándo la función crece o decrece según el signo de m.
Tareas para el alumno
- Mover m y describir qué cambia en la recta (inclinación, sentido).
- Indicar para qué valores de m la función es creciente y para cuáles decreciente.
Sala 2 · Tutorial: graficar una función afín
Tutorial guiado paso a paso. Primero el propio lab modela el cálculo del primer punto (elige un x, sustituye en f(x), calcula, rellena la tabla y dibuja el punto). Después el alumno repite el proceso para dos puntos más: toca el x marcado en el eje, calcula f(x) escribiendo el resultado y coloca el punto correcto en la gráfica. Con 3 puntos aparece la recta. Todo el proceso se repite dos veces: una función creciente y otra decreciente.
Tareas para el alumno
- Seguir la demostración del primer punto.
- Completar tú mismo los otros dos puntos: tocar el eje, calcular f(x) y marcar el punto en la gráfica.
- Repetir el proceso completo para una función decreciente.
Sala 3 · La función afín y = m·x + n
Se añade el parámetro n a la función anterior. Con dos sliders (m y n) el alumno descubre el efecto de cada uno e identifica dominio y rango de la función afín.
Tareas para el alumno
- Manipular m y n por separado y describir qué modifica cada parámetro.
- Responder: ¿cuáles son el dominio y el rango de y = m·x + n?
Sala 4 · La parábola y = x²
Presentación de la función cuadrática básica mediante una tabla animada que revela la curva. Se señalan el vértice (0, 0) y el eje de simetría x = 0, y se contrasta el crecimiento con el de una recta.
Tareas para el alumno
- Calcular o verificar varios valores de la tabla y observar la forma de U.
- Localizar el vértice y el eje de simetría en el gráfico.
Sala 5 · La parábola y = a·x² + c
Dos sliders (a y c) permiten escalar y desplazar verticalmente la parábola. El alumno observa cómo el signo de a determina la concavidad y el rango, y cómo la combinación de signos afecta al número de raíces reales.
Tareas para el alumno
- Explorar distintas combinaciones de signos de a y c y contar las raíces en cada caso.
- Describir cómo cambia el rango de la función al variar a y c.
Sala 6 · Consigue el rango
Reto práctico: se proponen tres objetivos de rango y el alumno debe ajustar los sliders a y c de y = a·x² + c hasta que el rango de su parábola coincida exactamente con el pedido.
Tareas para el alumno
- Ajustar a y c para que el rango de la parábola coincida con cada objetivo propuesto.
- Completar los 3 retos de rango.
Sala 7 · Consigue raíces y concavidad
Continuando con y = a·x² + c, se plantean tres combinaciones de número de raíces (0, 1 o 2) y tipo de extremo (máximo o mínimo). El alumno elige los signos correctos para cumplir cada condición.
Tareas para el alumno
- Determinar qué signos de a y c producen cada combinación pedida de raíces y extremo.
- Completar los 3 retos de configuración.
Sala 8 · Parábola y = x² + b·x + c
Se incorpora el término b·x. Con sliders b y c se ven en vivo el vértice, el eje de simetría (x = −b/2) y las raíces cuando existen. Incluye además dos retos: conseguir un eje de simetría concreto, y conseguir un eje de simetría y un mínimo dados a la vez.
Tareas para el alumno
- Mover b y c y registrar cómo se desplaza el vértice y cambia el eje de simetría.
- Encontrar configuraciones con 0, 1 y 2 raíces reales.
- Completar los 2 retos de eje de simetría.
Sala 9 · Parábola general y = a·x² + b·x + c
Con los tres parámetros activos se realiza el análisis completo: concavidad (signo de a), vértice, eje de simetría, rango y raíces. Incluye dos retos adicionales con a negativo: conseguir un eje de simetría dado y, además, un máximo concreto.
Tareas para el alumno
- Explorar los tres sliders (a, b, c) y describir el efecto de cada uno.
- Para una parábola elegida, identificar vértice, eje de simetría, rango y número de raíces.
- Completar los 2 retos con a negativo.
Sala 10 · Tutorial: graficar una parábola
Tutorial guiado con el algoritmo completo: calcular el discriminante y el vértice (x_v = −b/2a, y_v = f(x_v)), el corte con Oy, las raíces (en cualquier orden) y añadir un par de puntos extra de la tabla. Cada valor calculado se coloca en la gráfica tocando el punto correcto. Se repite en 2 ejercicios, con raíces reales (a>0 y a<0).
Tareas para el alumno
- Calcular el vértice de la parábola y marcarlo en la gráfica.
- Calcular el discriminante y las dos raíces.
- Completar los 2 ejercicios guiados.
Sala 11 · La cúbica y = a·x³ + d
Dos sliders (a y d) muestran cómo esta familia de cúbicas es siempre monótona (sin máximos ni mínimos locales) y tiene un centro de simetría en (0, d). Un breve cuestionario repasa el centro de simetría, el rango y el papel de cada parámetro.
Tareas para el alumno
- Mover a y d y observar cómo cambia la curva.
- Responder el cuestionario sobre centro de simetría, rango y monotonía.
Sala 12 · La cúbica general y = x³ + b·x² + c·x + d
Con tres sliders (b, c, d) el alumno explora libremente la cúbica general. El cuestionario insiste en que, por ser de grado impar, siempre tiene al menos una raíz real, y en que su dominio y su rango son siempre ℝ, con opciones de respuesta pensadas para confundir con el caso de la parábola.
Tareas para el alumno
- Mover b, c y d y observar los distintos tipos de curva que aparecen.
- Responder el cuestionario sobre raíces, rango y dominio.
Sala 13 · Reconoce la gráfica
Se muestra una fórmula (parábola o cúbica, con coeficiente principal positivo o negativo) y el alumno elige entre 4 mini-gráficas cuál le corresponde. Se repite 3 veces con fórmulas y posiciones distintas cada vez.
Tareas para el alumno
- Leer la fórmula dada e identificar su familia y el signo de su coeficiente principal.
- Completar los 3 retos de reconocimiento.
Sala 14 · Reconoce la fórmula
Dirección inversa a la sala anterior: se muestra una gráfica y el alumno elige entre 4 fórmulas cuál le corresponde. Se repite 3 veces.
Tareas para el alumno
- Observar la gráfica dada e identificar su familia y el signo de su coeficiente principal.
- Completar los 3 retos de reconocimiento.
Sala 15 · La hipérbola y = k/x
Un slider para k presenta la hipérbola más simple. El cuestionario cubre las asíntotas (siempre x=0 e y=0), el dominio y el rango (ambos ℝ\{0}), en qué cuadrantes vive la curva según el signo de k, y el matiz de que decrece en cada rama por separado aunque no sea monótona en todo su dominio.
Tareas para el alumno
- Mover k y observar cómo cambian las dos ramas de la curva.
- Responder el cuestionario sobre asíntotas, dominio, rango y monotonía por rama.
Sala 16 · La hipérbola trasladada y = k/(x−v) + h
Con tres sliders (k, v, h) las asíntotas se desplazan a x=v (vertical) e y=h (horizontal). El cuestionario pide leer directamente de v y h la posición de las asíntotas y deducir el dominio y el rango.
Tareas para el alumno
- Mover v y h y observar cómo se desplazan las asíntotas junto con la curva.
- Responder el cuestionario sobre asíntotas, dominio y rango.
Sala 17 · Hipérbola general y = (a·x+b)/(c·x+d)
Con cuatro sliders (a, b, c, d) el alumno debe conseguir dos retos: una asíntota vertical concreta (x = −d/c) y, en el segundo reto, una asíntota vertical y otra horizontal simultáneas (x = −d/c e y = a/c).
Tareas para el alumno
- Calcular qué valores de c y d dan la asíntota vertical pedida.
- Calcular además qué valores de a y c dan la asíntota horizontal pedida.
- Completar los 2 retos de asíntotas.
Sala 18 · Tutorial: graficar una hipérbola
Tutorial guiado con el algoritmo completo para una hipérbola: asíntota vertical (resolver c·x+d=0), asíntota horizontal (a/c), corte con Oy y corte con Ox. Cada valor calculado se coloca en la gráfica. Se repite en 2 ejercicios con hipérbolas distintas.
Tareas para el alumno
- Calcular las dos asíntotas de la hipérbola dada.
- Calcular los cortes con los ejes y marcarlos en la gráfica.
- Completar los 2 ejercicios guiados.
Sala 19 · Reconocimiento final
Cierre del lab: se muestra una fórmula de cualquiera de las familias estudiadas (afín, parábola, cúbica o hipérbola) y el alumno elige entre 6 mini-gráficas cuál le corresponde. Se repite 3 veces, mezclando familias distintas en cada ronda.
Tareas para el alumno
- Reconocer la familia de la fórmula dada entre las 6 gráficas propuestas.
- Completar los 3 retos finales.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.