Objetivos didácticos
La geometría que aprendiste en clase no es la única posible: depende de la forma del espacio en que vives. ¿Cómo lo descubriría un habitante que nunca puede salir de su mundo para verlo "desde fuera"? Este lab de bachillerato responde con un personaje transversal — la hormiga cuentaángulos, que solo puede medir ángulos y distancias — y recorre tres geometrías completas (plana, esférica, hiperbólica) en 24 salas, usando renders reales en 2D y 3D (Three.js) en vez de solo fórmulas.
Qué se aprende
- Se parte del triángulo plano: por mucho que se deformen sus vértices, la suma de sus ángulos es siempre 180° — la firma del mundo de Euclides, que se demuestra trazando una paralela por el vértice opuesto.
- Se plantea la pregunta que dispara todo el lab: ¿es posible superar los 180°? — y se responde girando y agrandando un triángulo sobre una esfera real, donde la suma crece con el tamaño del triángulo.
- Se explora el disco de Poincaré, el modelo plano del mundo hiperbólico donde el borde representa el infinito y la suma de ángulos de un triángulo siempre queda por debajo de 180°.
- Se conecta el disco con una superficie real y tridimensional: el hiperboloide, mostrando que ambos son dos mapas distintos del mismo mundo curvado.
- Se estudia el quinto postulado de Euclides (las paralelas) y su fracaso en ambas direcciones: en la esfera no existen paralelas (todo par de geodésicas se corta), en el disco hiperbólico existen infinitas paralelas por un mismo punto (Lobachevsky, Bolyai, 1830-1832).
- Se descubre la relación entre teselaciones {p,q} y curvatura: si los polígonos alrededor de un vértice dejan hueco, sobra o encaja exacto, el mundo resultante es esférico, hiperbólico o plano — todo decidido por la desigualdad 1/p + 1/q frente a 1/2.
- Se introduce el teorema de Girard: el área de un triángulo esférico se calcula solo a partir del exceso de sus ángulos, sin necesitar reglas — así como su análogo hiperbólico, el defecto angular.
- Se plantean acertijos clásicos: el camino más corto entre dos ciudades (por qué los vuelos transatlánticos "se curvan" sobre el mapa), el acertijo de los 10 km (por qué el Polo Norte no es la única solución) y por qué los mapas mienten (Mercator infla Groenlandia).
- Se cierra preguntando qué forma tiene el universo real, usando el tamaño angular de las manchas del fondo cósmico de microondas como "transportador" cósmico de la hormiga cuentaángulos.
- Una sala de teselación con foto subida permite ver, con un shader propio, cómo una imagen se repite infinitamente hacia el borde del disco hiperbólico — como en los grabados de Escher.
Ideas matemáticas clave
- La suma de ángulos de un triángulo depende de la curvatura del espacio: exactamente 180° en el plano (K=0), mayor que 180° en la esfera (K>0), menor que 180° en el disco hiperbólico (K<0).
- El quinto postulado de Euclides (existencia de una única paralela) es independiente de los otros cuatro: negarlo de dos formas distintas genera las otras dos geometrías consistentes.
- El teorema de Girard (área esférica = exceso angular × R²) y su análogo hiperbólico (área = defecto angular) permiten medir superficie sin usar una regla, solo un transportador.
- Las teselaciones regulares {p,q} existen exactamente cuando 1/p + 1/q es mayor, igual o menor que 1/2, correspondiendo a esférico, plano e hiperbólico respectivamente.
- Un habitante interno de un mundo curvo puede deducir su geometría midiendo únicamente ángulos y distancias locales, sin necesidad de "salir" a verlo desde una dimensión superior — la idea central de curvatura intrínseca (Gauss, Riemann).
- Toda proyección de una esfera sobre un plano distorsiona necesariamente algo (ángulos, áreas o distancias): no existe un mapa perfecto de un mundo curvado.
Contenidos por salas
Sala 1 · El triángulo plano
El alumno arrastra libremente los vértices de un triángulo en un canvas 2D mientras la 🐜 hormiga cuentaángulos mide los tres ángulos interiores. Por mucho que cambie la forma del triángulo, la suma se mantiene siempre en 180° — la firma del mundo plano de Euclides.
Tareas para el alumno
- Arrastrar los vértices probando varias formas de triángulo.
- Comprobar que la suma de los tres ángulos siempre da 180°.
Sala 2 · La hormiga recorre el triángulo
Una segunda hormiga camina por los tres lados del triángulo y, en cada vértice, suma el ángulo interior a un contador visible. Al completar la vuelta, el contador marca siempre 180°, reforzando desde otra perspectiva —la del recorrido, no la de la medida estática— la misma propiedad de la sala 1.
Tareas para el alumno
- Mover los vértices y observar cómo cambia el contador durante el recorrido.
- Verificar que el contador acumulado llega siempre a 180° al cerrar el recorrido.
Sala 3 · La demostración de Euclides
Se presenta la demostración clásica de por qué la suma de ángulos de un triángulo es 180°: se traza una paralela al lado AB por el vértice C, y los ángulos alternos internos con las secantes AC y BC resultan iguales a los ángulos A y B, formando juntos un ángulo llano.
Tareas para el alumno
- Seguir paso a paso la construcción de la paralela por C.
- Identificar los ángulos alternos internos y explicar por qué su suma con el ángulo en C forma 180°.
Sala 4 · ¿Más de 180° es posible?
Puente conceptual: la demostración de Euclides depende de poder trazar una paralela — el quinto postulado. Se plantea la pregunta que dispara el resto del lab: ¿qué pasaría en una superficie donde no existan paralelas?
Tareas para el alumno
- Leer por qué la demostración de Euclides necesita el quinto postulado.
- Formular una hipótesis sobre qué ocurriría sin paralelas.
Sala 5 · El triángulo gordo
Sobre un globo 3D real (Three.js), lo "recto" son círculos máximos. El alumno gira la esfera y agranda el triángulo con un deslizador: la suma de sus ángulos supera los 180° y crece con el tamaño del triángulo, algo que la hormiga puede notar sin salir de su mundo esférico.
Tareas para el alumno
- Girar el globo y observar el triángulo esférico desde distintos ángulos.
- Agrandar el triángulo con el deslizador y comprobar que la suma de ángulos crece por encima de 180°.
Sala 6 · El camino más corto
El vuelo de Nueva York a Madrid no traza una línea recta sobre el mapa plano — pasa por encima de Groenlandia. Se explica que en la esfera la ruta más corta entre dos puntos es siempre un gran círculo, nunca un paralelo ni una recta del mapa.
Tareas para el alumno
- Comparar la ruta real del vuelo con una línea recta trazada sobre el mapa plano.
- Explicar por qué el gran círculo es el camino más corto sobre la esfera.
Sala 7 · Sin paralelas en la esfera
La hormiga recorre la esfera en línea recta (un gran círculo) mientras una cámara teleobjetivo empieza con un campo de visión muy estrecho (10°), donde la esfera parece plana, y se va abriendo hasta 45°, revelando la curvatura. Después el alumno marca dos puntos y traza su propio gran círculo.
Tareas para el alumno
- Observar cómo cambia la percepción de curvatura al abrir el campo de visión de 10° a 45°.
- Marcar dos puntos propios y trazar el gran círculo que los une.
Sala 8 · Paralelas en la esfera
Dos aviones salen del ecuador perpendiculares a él, separados 1.000 km. Aunque parten en direcciones "paralelas", sus rutas (meridianos) confluyen en el polo norte: en la esfera no existen rectas paralelas, todas las geodésicas acaban cortándose.
Tareas para el alumno
- Seguir la simulación de los dos aviones desde el ecuador.
- Explicar por qué dos rutas que empiezan paralelas terminan cruzándose en la esfera.
Sala 9 · El triángulo flaco
Se presenta el disco de Poincaré: el borde representa el infinito y las "rectas" son arcos que lo cortan perpendicularmente. El alumno arrastra los vértices de un triángulo hiperbólico y comprueba que aquí la suma de ángulos nunca llega a 180° — el mundo de curvatura negativa.
Tareas para el alumno
- Arrastrar los vértices del triángulo dentro del disco de Poincaré.
- Comprobar que la suma de ángulos siempre queda por debajo de 180°.
Sala 10 · El hiperboloide
El disco de Poincaré es solo una foto plana de una superficie curva real: el hiperboloide. El alumno gira esta superficie de curvatura negativa en 3D y agranda el triángulo, viendo simultáneamente el triángulo sobre la superficie y su sombra proyectada en el disco — dos mapas del mismo mundo.
Tareas para el alumno
- Girar el hiperboloide en 3D y observar el triángulo sobre la superficie.
- Comparar el triángulo sobre el hiperboloide con su proyección en el disco de Poincaré.
Sala 11 · Infinitas paralelas: Lobachevsky
En el disco hiperbólico el quinto postulado también falla, pero al revés que en la esfera: por un punto exterior a una recta pasan infinitas geodésicas que no la cortan. El alumno arrastra un punto P y observa las paralelas dinámicas, un descubrimiento independiente de Lobachevsky (1830) y Bolyai (1832).
Tareas para el alumno
- Arrastrar el punto P y observar cómo cambian las geodésicas paralelas a la recta dada.
- Contar cuántas paralelas distintas es posible trazar por P.
Sala 12 · El hiperboloide: paralelas en 3D
La geometría hiperbólica tiene un modelo tridimensional: la hoja superior del hiperboloide. Cada punto del disco de Poincaré corresponde a un punto de esa superficie, y las geodésicas de la sala anterior se convierten ahora en curvas reales sobre el hiperboloide. Desde M hay infinitas paralelas a D.
Tareas para el alumno
- Girar el hiperboloide 3D y localizar el punto M y la recta D.
- Verificar que, igual que en el disco, desde M pasan infinitas paralelas a D.
Sala 13 · Distancias hiperbólicas
Cinco círculos tienen exactamente el mismo tamaño en pantalla. En la métrica hiperbólica del disco de Poincaré, el espacio se "comprime" hacia el borde, así que lo que parece igual de grande puede ser hiperbólicamente mucho mayor cuanto más cerca del borde esté.
Tareas para el alumno
- Comparar el tamaño aparente de los cinco círculos en pantalla.
- Explicar por qué, en la métrica hiperbólica real, no todos representan el mismo tamaño.
Sala 14 · ¿Qué teselaciones caben?
El alumno coloca q polígonos de p lados alrededor de un mismo punto. Si dejan hueco, el mundo resultante se cierra en esfera; si encajan justos, es plano; si se solapan, solo caben curvándose hacia dentro (hiperbólico). La misma desigualdad 1/p + 1/q frente a 1/2 decide en qué mundo se está.
Tareas para el alumno
- Probar distintas combinaciones de p y q y observar si dejan hueco, encajan o se solapan.
- Relacionar el resultado con el valor de 1/p + 1/q comparado con 1/2.
Sala 15 · Curva el espacio
Se retoma la figura de vértice de la sala anterior y se curva el espacio en 3D: cuando sobra hueco, los polígonos se pliegan y se cierran formando la esquina de un poliedro (esfera); cuando se solapan, no caben en el plano y hace falta el mundo hiperbólico para acomodarlos.
Tareas para el alumno
- Curvar el espacio con la figura de vértice que dejaba hueco y observar cómo se cierra en un poliedro.
- Repetir con una figura que se solapaba y comprobar que necesita el mundo hiperbólico.
Sala 16 · Una teselación que no acaba
Se muestra qué pasaría al teselar el plano hiperbólico con polígonos regulares: los polígonos parecen encogerse hacia el borde del disco, pero en la geometría hiperbólica real todos son idénticos — es el disco de Poincaré quien comprime el infinito dentro de un círculo.
Tareas para el alumno
- Observar la teselación hiperbólica completa dentro del disco.
- Explicar por qué los polígonos que parecen más pequeños hacia el borde son en realidad iguales a los del centro.
Sala 17 · Tesela tu propia foto
Un shader WebGL dibuja píxel a píxel una teselación hiperbólica {p, q}. El alumno sube su propia foto y elige el modo: "Foto entera" la muestra completa (curvada) en cada celda, "Caleidoscopio" la fragmenta en espejos. La imagen se repite infinitas veces hacia el borde, como en los grabados de Escher.
Tareas para el alumno
- Subir una foto propia y probar los dos modos (foto entera y caleidoscopio).
- Cambiar los valores de p y q y observar cómo cambia la teselación resultante.
Sala 18 · Área sin regla
Se presenta el teorema de Girard: el área de un triángulo esférico es igual al exceso de sus ángulos (la suma menos 180°) multiplicado por R². Así, la hormiga puede calcular el área de una región de su mundo usando solo un transportador, sin necesitar ninguna regla.
Tareas para el alumno
- Medir los tres ángulos de un triángulo esférico dado.
- Calcular su área aplicando el teorema de Girard (exceso × R²).
Sala 19 · El acertijo de los 10 km
Un clásico acertijo de orientación: caminas 10 km al norte, 10 km al este y 10 km al sur, y vuelves exactamente al punto de partida. ¿Dónde estás? La respuesta más conocida es el Polo Norte, pero el alumno descubre que existen infinitas soluciones más, cerca del Polo Sur.
Tareas para el alumno
- Verificar por qué el Polo Norte cumple las condiciones del acertijo.
- Explorar la familia de soluciones adicionales cerca del Polo Sur.
Sala 20 · Área hiperbólica
En el disco hiperbólico, el área de un triángulo es igual al defecto de ángulos: π menos la suma (A+B+C). Cuanto más grande es el triángulo, más pequeños se vuelven sus ángulos, hasta llegar al triángulo ideal, con ángulos nulos y área máxima π·R².
Tareas para el alumno
- Comparar triángulos hiperbólicos de distinto tamaño y sus ángulos.
- Calcular el área de un triángulo dado su defecto angular y verificar el caso límite del triángulo ideal.
Sala 21 · Los mapas mienten
No es posible aplanar una esfera sobre un plano sin distorsionar algo. La proyección Mercator conserva los ángulos pero infla enormemente las regiones cercanas a los polos: en el mapa, Groenlandia parece del tamaño de África, aunque África es en realidad 14 veces mayor.
Tareas para el alumno
- Comparar el tamaño de Groenlandia y África en la proyección Mercator.
- Explicar por qué ninguna proyección plana de la esfera puede evitar toda distorsión.
Sala 22 · La hormiga mide la curvatura
Un habitante interno de un mundo curvo no puede verlo desde fuera, pero sí puede medir ángulos locales. La clave: en un mundo curvo, la suma de ángulos de un triángulo grande se aleja de 180° tanto más cuanto mayor es el triángulo. El alumno mueve un control y observa crecer esa señal de curvatura.
Tareas para el alumno
- Mover el control de tamaño del triángulo y observar cómo se aleja la suma de ángulos de 180°.
- Relacionar la magnitud de esa desviación con la curvatura del mundo.
Sala 23 · ¿Qué forma tiene el universo?
El fondo cósmico de microondas (CMB) es la luz más antigua del universo observable. El tamaño angular de sus manchas calientes y frías depende de la curvatura del espacio: mayor de 1° si la curvatura es positiva, exactamente 1° si es plana, menor de 1° si es negativa — el transportador cósmico de la hormiga cuentaángulos.
Tareas para el alumno
- Leer cómo el tamaño angular de las manchas del CMB revela la curvatura del universo.
- Relacionar los tres casos (K>0, K=0, K<0) con los tres mundos estudiados en el lab.
Sala 24 · Los tres mundos
Resumen final: plano, esférico e hiperbólico son tres geometrías consistentes, cada una con su propia respuesta a las preguntas planteadas por Euclides. El alumno repasa una tabla comparativa y comprueba que ya conoce cada una de sus propiedades clave.
Tareas para el alumno
- Repasar la tabla comparativa de los tres mundos.
- Verificar, para cada propiedad de la tabla, en qué sala del lab se descubrió.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.