Teaching objectives
¿Hay más números enteros que pares? ¿Cabe un hotel infinito lleno de infinitos huéspedes más? ¿Puede un conjunto ocupar longitud cero y aun así tener tantos puntos como toda la recta? Este lab de bachillerato/universidad, no curricular, recorre la teoría de conjuntos y los cardinales infinitos de Georg Cantor: desde la idea de biyección (la misma que usaban los pastores para contar ovejas con piedras) hasta el extraño conjunto de Cantor, pasando por tres paradojas clásicas del infinito (Zenón, las series divergentes, el jarrón de Ross-Littlewood) y el hotel de Hilbert.
Qué se aprende
La idea central: el infinito no se comporta como un número grande. Una parte propia de un conjunto infinito puede tener el mismo tamaño que el conjunto entero, y no todos los infinitos son iguales — hay unos estrictamente más grandes que otros, y por encima de cualquiera siempre hay uno mayor.
- Conjuntos y biyección (salas 1-3). Qué es un conjunto, el cardinal, y la idea de biyección con la historia del pastor y sus ovejas (piedras que entran y salen de una bolsa).
- Tres paradojas del infinito (salas 4-6). Aquiles y la tortuga (una suma de infinitos términos puede ser finita), las sumas divergentes (1-1+1-1+... y la manipulación de Euler, cuidado con reagrupar), y la paradoja del jarrón de Ross-Littlewood (infinitas tarjetas entran y salen, el resultado depende del orden).
- Infinito numerable, ℵ0 (salas 7-12). Pares vs enteros, naturales vs enteros, el hotel infinito de Hilbert (un cliente más, infinitos clientes más, infinitas delegaciones vía primos), y los racionales listados en diagonal.
- El continuo, no numerable (salas 13-16). El argumento diagonal de Cantor sobre los reales, por qué un intervalo pequeño tiene el mismo cardinal que toda la recta, por qué la recta y el plano tienen el mismo cardinal, y el teorema de Cantor (el conjunto de las partes siempre es mayor).
- El conjunto de Cantor (salas 17-21). Fracciones binarias y ternarias, la construcción del conjunto de Cantor quitando tercios centrales, por qué mide 0, y por qué aun así tiene el cardinal del continuo.
- Cierre (salas 22-24). La Hipótesis del Continuo y su independencia (Gödel/Cohen), un repaso final que vuelve a las ovejas del principio, y un puzzle de cierre: el juego de las 3 fichas, donde un invariante (2^-(m+n)) demuestra que ciertas configuraciones son imposibles de alcanzar por mucho que se juegue.
Ideas matemáticas clave
- Biyección: dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una correspondencia uno-a-uno entre ellos, aunque uno "parezca" más grande.
- Infinito numerable ℵ0: el cardinal de N, Z y Q; una parte propia infinita puede tener el mismo cardinal que el todo.
- Argumento diagonal de Cantor: construir un elemento que difiere de cada uno de una lista en una posición concreta demuestra que ninguna lista puede agotar el conjunto — se usa tanto para probar que R no es numerable como para el teorema de Cantor.
- Teorema de Cantor: |P(A)| > |A| siempre, generando una torre infinita de cardinales cada vez mayores.
- Cardinal del continuo c: |R| = |R²| = |(0,1)|; el número de dimensiones no cambia la cantidad de puntos.
- Medida vs cardinal: el conjunto de Cantor tiene longitud 0 pero cardinal c — tamaño y cantidad son conceptos distintos.
- Series convergentes vs divergentes: una progresión geométrica de razón |r|<1 se puede sumar con seguridad; una serie que no converge (como 1-1+1-1+...) no tiene una suma bien definida, por mucho que el álgebra tiente a asignarle una.
- Hipótesis del Continuo: la pregunta de si existe un cardinal estrictamente entre ℵ0 y c es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos (Gödel 1940, Cohen 1963).
- Invariante (argumento de imposibilidad): asignar un valor a cada estado de un juego que una regla conserva exactamente permite demostrar que ciertos estados son inalcanzables, sin tener que probar todas las jugadas posibles — la misma idea, con otra fórmula, aparece en muchos problemas combinatorios clásicos.
Room-by-room contents
Sala 1 · ¿Qué es un conjunto?
Notación de conjuntos con llaves, el conjunto vacío, conjuntos que contienen otros conjuntos, y la regla de que los elementos no se repiten.
Student tasks
- Escribir el conjunto {a,b}.
- Escribir el conjunto de los 4 primeros números primos.
Sala 2 · El cardinal
El cardinal como cantidad de elementos; el mismo cardinal puede representar conjuntos de naturaleza distinta (números, colores).
Student tasks
- Calcular el cardinal de varios conjuntos, incluido uno con una caja dentro y el conjunto vacío.
Sala 3 · El pastor y sus ovejas
La historia de contar ovejas con piedras introduce la biyección: dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una correspondencia uno-a-uno entre ellos.
Student tasks
- Averiguar qué material usaban los pastores.
- Ver la animación de ovejas y piedras.
- Responder qué pasaría si sobraban ovejas.
Sala 4 · Aquiles y la tortuga
La paradoja de Zenón: Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga porque debe recorrer infinitos tramos cada vez más pequeños. Se resuelve sumando la progresión geométrica.
Student tasks
- Identificar el tipo de sucesión de los tramos.
- Distinguir qué es verdad y qué es falso en el razonamiento de Zenón.
- Calcular dónde alcanzaría Aquiles a triple velocidad.
Sala 5 · Cuidado con las sumas infinitas
La serie 1-1+1-1+... da resultados distintos según cómo se agrupe (paradoja de Grandi); la manipulación algebraica de Euler (s=1-s) da un tercer valor, 1/2.
Student tasks
- Comparar las dos agrupaciones.
- Resolver s=1-s y reflexionar sobre por qué ninguno de los tres valores es "el correcto".
Sala 6 · La paradoja del jarrón
Ross-Littlewood: en cada paso entran 10 tarjetas y sale 1; a las 12 el jarrón queda vacío, porque cualquier tarjeta concreta ya salió en su paso. Cambiar el orden de salida cambia el resultado.
Student tasks
- Repasar los pasos con el slider.
- Responder cuántas tarjetas quedan a las 12.
- Repetir el razonamiento si se sacan solo las tarjetas pares.
Sala 7 · ¿Qué números hay más?
Pares vs enteros: se construye una biyección explícita (×2 / ÷2) entre ambos conjuntos, demostrando que tienen el mismo cardinal, ℵ₀.
Student tasks
- Predecir cuál conjunto es mayor.
- Ver la biyección animada.
- Comparar múltiplos de 10 y de 2.
Sala 8 · ¿Hay más naturales o enteros?
Biyección en zigzag entre N y Z repartiendo los naturales en pares consecutivos.
Student tasks
- Ver la correspondencia.
- Deducir la fórmula para 2n-1 sabiendo que 2n→n.
Sala 9 · El hotel infinito: un cliente más
Con el hotel de Hilbert completo, mover a cada huésped de la habitación N a la N+1 libera la habitación 1.
Student tasks
- Encontrar la fórmula de reasignación para un cliente nuevo.
Sala 10 · El hotel infinito: infinitos clientes más
El truco N+1 no basta para infinitos clientes nuevos; hace falta N→2N (o similar) para dejar huecos infinitos.
Student tasks
- Encontrar una fórmula que deje sitio a infinitos clientes nuevos.
Sala 11 · El hotel infinito: infinitas delegaciones
Alojar infinitas delegaciones de infinitos clientes cada una requiere potencias de primos, p_m^k, para garantizar que no haya colisiones.
Student tasks
- Descartar fórmulas que no son biyecciones (con contraejemplo).
- Calcular el cuarto primo impar.
- Encontrar la fórmula final con primos.
Sala 12 · Los racionales, Q
Listar las fracciones positivas por diagonales (numerador+denominador constante) demuestra que |Q|=|N|, aunque la correspondencia inicial no sea inyectiva.
Student tasks
- Predecir si hay más racionales que naturales.
- Ver el listado por diagonales.
- Explicar por qué no es aún una biyección.
Sala 13 · Los irracionales: la diagonal de Cantor
El argumento diagonal: suponiendo una lista completa de los reales en (0,1), se construye un número que difiere de cada uno de la lista en una cifra, demostrando que R no es numerable.
Student tasks
- Ver la construcción del número diagonal.
- Explicar por qué el número no puede estar en la lista.
- Construir un número diagonal con datos nuevos.
Sala 14 · Un trozo de recta, tan grande como toda ella
Una biyección geométrica (arco + proyección) muestra que el intervalo (0,1) tiene el mismo cardinal que toda la recta real.
Student tasks
- Observar qué pasa con los puntos cercanos a los extremos.
- Explicar por qué el intervalo debe ser abierto.
Sala 15 · La recta y el plano
Intercalando las cifras decimales de x e y se construye una biyección entre el cuadrado (0,1)×(0,1) y el intervalo (0,1), demostrando que |R²|=|R|.
Student tasks
- Intercalar cifras para construir z a partir de x e y.
- Separar un z dado en su x e y.
Sala 16 · El teorema de Cantor
Contando subconjuntos (2ⁿ) y luego con una prueba rigurosa por contradicción (el conjunto de los "traidores"), se demuestra que |P(A)|>|A| siempre, incluso para conjuntos infinitos.
Student tasks
- Contar subconjuntos con el slider interactivo.
- Identificar los traidores en un ejemplo concreto.
- Seguir la contradicción de que D no puede ser la imagen de ningún x.
Sala 17 · Fracciones binarias y decimales
Todo real de (0,1) tiene una expansión binaria, lo que da una versión concreta de la sala anterior (subconjuntos de N ↔ reales) y una versión más simple del argumento diagonal.
Student tasks
- Convertir entre binario y decimal.
- Construir una diagonal invertida en binario.
- Identificar el subconjunto de N que representa una sucesión.
Sala 18 · Fracciones en base tres
Notación en base 3 y la observación clave: los números cuya expansión ternaria usa solo 0 y 2, sin ningún 1.
Student tasks
- Convertir entre base 3 y decimal.
- Identificar qué números usan solo 0s y 2s.
Sala 19 · El conjunto de Cantor
Construcción quitando tercios centrales repetidamente; se identifica con los números de [0,1] cuya expansión en base 3 solo usa 0 y 2 (izquierda/derecha en cada iteración).
Student tasks
- Ver la construcción paso a paso.
- Contar los trozos tras el paso 4.
- Localizar un punto en el conjunto de Cantor eligiendo izquierda/derecha en cada iteración.
Sala 20 · El conjunto de Cantor mide 0
La suma de las longitudes quitadas es una serie geométrica que converge a 1: no queda longitud.
Student tasks
- Calcular a qué converge la serie de longitudes quitadas.
Sala 21 · El conjunto de Cantor tiene el cardinal del continuo
Reetiquetando los dígitos ternarios (0,2)→(0,1) se construye una biyección entre el conjunto de Cantor y (0,1): mide 0 pero tiene cardinal c.
Student tasks
- Convertir un punto de Cantor a binario.
- Convertir un binario de vuelta a un punto de Cantor.
Sala 22 · La hipótesis del continuo
¿Hay algún cardinal entre ℵ₀ y c? La conjetura de Cantor, y la independencia demostrada por Gödel (1940) y Cohen (1963).
Student tasks
- Dar una intuición sobre la pregunta.
- Entender qué significa que la respuesta sea independiente de los axiomas.
Sala 23 · Repaso: el zoo de los infinitos
Repaso final con verdadero/falso de todas las ideas del lab y un cierre visual que retoma la animación de las ovejas de la sala 3.
Student tasks
- Responder la batería de verdadero/falso.
- Elegir la frase que mejor resume el lab.
Sala 24 · El juego de las 3 fichas
Puzzle final: 3 fichas en (1,1),(1,2),(2,1) de una cuadrícula infinita; tocar una la divide en (m+1,n) y (m,n+1) si ambas están libres. Tras 25 movimientos se revela, con el mismo tablero interactivo, por qué es imposible vaciar las 3 casillas de partida: a cada casilla (m,n) se le asigna el valor 2^-(m+n), las 3 casillas iniciales y el tablero entero suman 1/2 y 1 respectivamente, y cada división conserva la suma exactamente, así que ningún número finito de fichas puede agotar nunca esa 1/2 fuera de ellas.
Student tasks
- Intentar vaciar las 3 casillas iniciales (25 movimientos).
- Calcular la suma de valores de filas del tablero.
- Explicar por qué es imposible con un número finito de fichas.
Rooms to project
The most striking ones to show and discuss in class.