Teaching objectives
How much is the area under a curve worth? Before any formula, this lab starts by counting grid squares by eye. From there it moves to Riemann sums — the rectangles that approximate that area under different criteria — and watches how, as their number grows, two different bounds converge to the same value: the definite integral. With that idea already built, the lab opens up to its applications: signed area, area between curves, and two less obvious uses of the same "slice and add" idea — the length of a curve and the volume of a solid of revolution. Designed for University (Calculus).
What you learn
- Bound the area under a curve by counting grid cells from above and below, and see the estimate improve as the grid gets finer (rooms 1-2).
- Build Riemann sums using the left, right, midpoint, upper and lower criteria, and compare all five at once across several functions (rooms 3-5).
- Watch the upper and lower sums converge to the same value as the number of rectangles grows without bound: that limit is the definite integral (room 6).
- Understand signed area (pieces below the axis subtract), the basic properties of the integral, and why the fundamental theorem of calculus works (rooms 7-9).
- Apply the integral to the area between curves — including curves that cross —, compare numerical methods (Trapezoid, Simpson, Monte Carlo), and reuse the same "slice and add" idea to compute the length of a curve and the volume of a solid of revolution (rooms 10-15).
- Close with an integrative problem that combines a visual estimate, Riemann sums, and the exact integral (room 16).
Key mathematical ideas
- Every Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles; the criterion (left, right, midpoint, upper, lower) decides which height each one uses.
- The upper sum and the lower sum trap any reasonable sum between them, and converge to the same value as the number of rectangles tends to infinity: that limit is the definite integral ∫ₐᵇf(x)dx.
- The definite integral measures signed area: pieces below the x-axis subtract instead of adding.
- The fundamental theorem of calculus connects the integral with the derivative: for a strip narrow enough, f behaves almost like a constant (its tangent line), and its area is better and better approximated by a rectangle.
- The area between curves is the integral of the difference between the top and bottom functions; when curves cross, you must split at the crossing points.
- The same partitioning idea generalizes to the length of a curve (approximating it with straight segments) and to the volume of a solid of revolution (approximating it with stacked discs).
- Numerical methods — Trapezoid, Simpson, Monte Carlo — are alternative ways to approximate an integral when there is no simple antiderivative, each with its own order of accuracy.
Room-by-room contents
Sala 1 · Área bajo la curva, a ojo
El laboratorio arranca sin fórmulas: una curva sobre una cuadrícula y el alumno marcando celdas. Primero acota el área por exceso, luego por defecto, y por último da su mejor estimación. Queda instalada de entrada la idea de que el área se puede atrapar entre dos números que se van acercando.
Student tasks
- Marcar las celdas que cubren el área y las que caben enteras debajo.
- Dar una estimación propia y compararla con las dos cotas.
Sala 2 · Cuadrícula más fina
La misma curva con una cuadrícula mucho más fina. Las dos cotas se estrechan y la estimación mejora sin haber cambiado nada del método: la precisión venía del tamaño de la celda. Es la primera vez que aparece la idea de pasar al límite.
Student tasks
- Repetir el conteo con celdas más pequeñas.
- Comparar las cotas con las de la sala anterior y explicar por qué mejoran.
Sala 3 · Izquierda, derecha, punto medio
Los rectángulos sustituyen a las celdas. Una partición del intervalo y tres formas de elegir la altura de cada rectángulo —por la izquierda, por la derecha o por el punto medio— muestran que la misma idea admite variantes, y que unas se quedan cortas y otras se pasan.
Student tasks
- Comparar las tres formas de elegir la altura sobre una misma partición.
- Decidir cuál sobreestima y cuál subestima en una curva creciente.
Sala 4 · Sumas superior e inferior
En vez de elegir un punto cualquiera del subintervalo se toma el mayor y el menor valor de la función en él. Así el área real queda atrapada siempre entre las dos sumas, pase lo que pase con la curva: es la versión rigurosa de lo que se hacía a ojo en la sala 1.
Student tasks
- Construir la suma superior y la inferior de una misma partición.
- Comprobar que el área verdadera cae entre ambas.
Sala 5 · El explorador de Riemann
La sala de juego libre del bloque: los cinco criterios de elección, un deslizador para el número de rectángulos y varias funciones donde probar. Sirve para ver de golpe que al aumentar n todas las variantes convergen al mismo número, aunque unas lo hagan mucho más deprisa.
Student tasks
- Aumentar el número de rectángulos y observar cómo se estabiliza la suma.
- Comparar la velocidad de convergencia de los distintos criterios.
Sala 6 · La convergencia y la integral
Las sumas superior e inferior se persiguen hasta encontrarse en un único número, y ese número es la integral definida. Aquí se introduce por fin la notación ∫ y se explica de dónde vienen sus partes: el signo alargado que es una suma, la función y el diferencial.
Student tasks
- Seguir la convergencia de las dos sumas al aumentar la partición.
- Relacionar cada parte de la notación con lo que se ha estado haciendo.
Sala 7 · Área con signo
La integral no siempre es un área: lo que hay bajo el eje resta. Con el seno en un periodo completo el resultado es cero, y la sala cierra con el reto de la piscina —una función con una parte constante y otra oscilante— donde el truco es separar el rectángulo del trozo que ya se sabe que integra cero.
Student tasks
- Predecir el signo de la integral de una función que cruza el eje.
- Resolver el reto de la piscina separando la parte constante de la oscilante.
Sala 8 · Propiedades de la integral
Partir el intervalo por un punto interior y sumar los dos trozos da lo mismo que integrar de una vez. La animación recorre primero el intervalo entero, luego el primer trozo, y muestra la resta, que es la forma en que esta propiedad se usa de verdad al calcular.
Student tasks
- Comprobar la aditividad partiendo el intervalo por un punto.
- Calcular una integral como diferencia de otras dos.
Sala 9 · El teorema fundamental
El corazón del laboratorio. Si se define la función que da el área acumulada hasta x, su derivada resulta ser la propia f. La sala lo hace ver ampliando un trozo estrechísimo: lo que crece el área al avanzar un poco es, casi exactamente, un rectángulo de altura f(x).
Student tasks
- Estimar cuánto crece el área al avanzar un poco en x.
- Reconocer que ese crecimiento es la altura de la función.
Sala 10 · f(x) y su función de área
Las dos gráficas lado a lado: la función y su área acumulada, con un deslizador que las recorre a la vez. Se ve que donde f es positiva el área sube, donde es negativa baja, y donde f corta el eje la función de área tiene un máximo o un mínimo.
Student tasks
- Relacionar el signo de f con el crecimiento de la función de área.
- Localizar los extremos de la función de área a partir de los ceros de f.
Sala 11 · Dibuja tu función
El alumno traza a mano la curva que quiera y el laboratorio calcula su integral y su función de área en vivo. Es la sala donde comprobar por cuenta propia lo que las dos anteriores han explicado, dibujando a propósito curvas que suban, bajen o crucen el eje.
Student tasks
- Dibujar una función libre y observar su función de área.
- Dibujar a propósito una curva cuya integral sea cero.
Sala 12 · La Regla de Barrow
El teorema fundamental se convierte en herramienta de cálculo: si se conoce una primitiva, la integral definida es la diferencia de sus valores en los extremos. Aquí es donde el laboratorio pasa de entender la integral a saber calcularla.
Student tasks
- Calcular una integral definida buscando una primitiva y evaluándola.
- Comprobar el resultado contra la estimación numérica.
Sala 13 · Área entre dos curvas
El área encerrada entre dos funciones es la integral de su diferencia. Con la de arriba y la de abajo bien identificadas, el problema se reduce al de siempre.
Student tasks
- Identificar cuál es la curva superior en el intervalo.
- Calcular el área encerrada entre ambas.
Sala 14 · Curvas que se cruzan
Cuando las dos curvas se cruzan, la de arriba deja de serlo a mitad de camino, así que hay que partir el intervalo por los puntos de corte y sumar los tramos. Es el error clásico de este tema y aquí se ve por qué la resta directa da un resultado equivocado.
Student tasks
- Hallar los puntos de corte de las dos curvas.
- Partir el intervalo y sumar el área de cada tramo.
Sala 15 · Trapecio y Simpson
Dos formas mejores de aproximar que los rectángulos: unir los puntos con segmentos o con parábolas. Las barras de error, en escala logarítmica, muestran cuánto mejora cada método al doblar el número de trozos, y ahí se ve que Simpson gana por mucho más que un poco.
Student tasks
- Comparar el error de Riemann, del trapecio y de Simpson con el mismo número de trozos.
- Estimar cuánto mejora cada método al doblar los trozos.
Sala 16 · Integración por Monte Carlo
Un método completamente distinto: lanzar puntos al azar dentro de un rectángulo y contar qué proporción cae bajo la curva. Es lento y ruidoso en una dimensión, pero es la puerta a la idea de que hay métodos probabilísticos de calcular integrales.
Student tasks
- Lanzar puntos y estimar el área a partir de la proporción que cae debajo.
- Observar cómo mejora la estimación al aumentar el número de puntos.
Sala 17 · La longitud de una curva
La misma idea de trocear, aplicada a otra magnitud: aproximar la curva por una poligonal y sumar las longitudes de los segmentos. Al afinar los trozos aparece la fórmula de la longitud de arco.
Student tasks
- Aproximar la longitud con una poligonal y afinar los trozos.
- Reconocer de dónde sale la raíz de la fórmula.
Sala 18 · Volumen de revolución
El cierre del laboratorio, en tres dimensiones: la curva gira alrededor del eje y el sólido resultante se aproxima por discos, cada uno de radio f(x). La escena se puede girar con el ratón, y el volumen sale de sumar los discos exactamente igual que el área salía de sumar rectángulos.
Student tasks
- Girar la curva y ver el sólido formado por discos.
- Calcular el volumen sumando los discos y comparar con la fórmula.
Rooms to project
The most striking ones to show and discuss in class.