Objetivos didácticos
¿Cuánto vale el área bajo una curva? Antes de cualquier fórmula, este lab empieza contando cuadrículas a ojo. De ahí pasa a las sumas de Riemann —los rectángulos que aproximan esa área con distintos criterios— y observa cómo, al aumentar su número, dos cotas distintas convergen al mismo valor: la integral definida. Con esa idea ya construida, el lab se abre a sus aplicaciones: área con signo, área entre curvas, y dos usos menos obvios de la misma idea de "trocear y sumar" — la longitud de una curva y el volumen de un sólido de revolución. Pensado para Universidad (Cálculo).
Qué se aprende
- Acotar el área bajo una curva contando cuadrículas por exceso y por defecto, y ver cómo mejora la estimación al refinar la cuadrícula (salas 1-2).
- Construir sumas de Riemann con los criterios izquierda, derecha, punto medio, superior e inferior, y comparar los cinco a la vez sobre varias funciones (salas 3-5).
- Ver converger la suma superior y la inferior al mismo valor cuando el número de rectángulos crece sin límite: ese valor límite es la integral definida (sala 6).
- Entender el área con signo (los tramos bajo el eje restan), las propiedades básicas de la integral, y por qué funciona el teorema fundamental del cálculo (salas 7-9).
- Aplicar la integral al área entre curvas —incluidas curvas que se cruzan—, comparar métodos numéricos (Trapecio, Simpson, Monte Carlo), y usar la misma idea de "trocear y sumar" para calcular la longitud de una curva y el volumen de un sólido de revolución (salas 10-15).
- Cerrar con un problema integrador que combina estimación visual, sumas de Riemann e integral exacta (sala 16).
Ideas matemáticas clave
- Toda suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos; el criterio (izquierda, derecha, medio, superior, inferior) decide qué altura usa cada uno.
- La suma superior y la suma inferior atrapan entre ambas cualquier suma razonable, y convergen al mismo valor cuando el número de rectángulos tiende a infinito: ese límite es la integral definida ∫ₐᵇf(x)dx.
- La integral definida mide área con signo: los tramos por debajo del eje x restan en vez de sumar.
- El teorema fundamental del cálculo conecta la integral con la derivada: para una tira suficientemente estrecha, f se comporta casi como una constante (su recta tangente), y su área se aproxima cada vez mejor por un rectángulo.
- El área entre curvas es la integral de la diferencia entre la función de arriba y la de abajo; cuando las curvas se cruzan, hay que trocear en los puntos de corte.
- La misma idea de partición se generaliza a la longitud de una curva (aproximándola por segmentos rectos) y al volumen de un sólido de revolución (aproximándolo por discos apilados).
- Los métodos numéricos —Trapecio, Simpson, Monte Carlo— son formas alternativas de aproximar una integral cuando no hay primitiva sencilla, cada uno con su propio orden de precisión.
Contenidos por salas
Sala 1 · Área bajo la curva, a ojo
El laboratorio arranca sin fórmulas: una curva sobre una cuadrícula y el alumno marcando celdas. Primero acota el área por exceso, luego por defecto, y por último da su mejor estimación. Queda instalada de entrada la idea de que el área se puede atrapar entre dos números que se van acercando.
Tareas para el alumno
- Marcar las celdas que cubren el área y las que caben enteras debajo.
- Dar una estimación propia y compararla con las dos cotas.
Sala 2 · Cuadrícula más fina
La misma curva con una cuadrícula mucho más fina. Las dos cotas se estrechan y la estimación mejora sin haber cambiado nada del método: la precisión venía del tamaño de la celda. Es la primera vez que aparece la idea de pasar al límite.
Tareas para el alumno
- Repetir el conteo con celdas más pequeñas.
- Comparar las cotas con las de la sala anterior y explicar por qué mejoran.
Sala 3 · Izquierda, derecha, punto medio
Los rectángulos sustituyen a las celdas. Una partición del intervalo y tres formas de elegir la altura de cada rectángulo —por la izquierda, por la derecha o por el punto medio— muestran que la misma idea admite variantes, y que unas se quedan cortas y otras se pasan.
Tareas para el alumno
- Comparar las tres formas de elegir la altura sobre una misma partición.
- Decidir cuál sobreestima y cuál subestima en una curva creciente.
Sala 4 · Sumas superior e inferior
En vez de elegir un punto cualquiera del subintervalo se toma el mayor y el menor valor de la función en él. Así el área real queda atrapada siempre entre las dos sumas, pase lo que pase con la curva: es la versión rigurosa de lo que se hacía a ojo en la sala 1.
Tareas para el alumno
- Construir la suma superior y la inferior de una misma partición.
- Comprobar que el área verdadera cae entre ambas.
Sala 5 · El explorador de Riemann
La sala de juego libre del bloque: los cinco criterios de elección, un deslizador para el número de rectángulos y varias funciones donde probar. Sirve para ver de golpe que al aumentar n todas las variantes convergen al mismo número, aunque unas lo hagan mucho más deprisa.
Tareas para el alumno
- Aumentar el número de rectángulos y observar cómo se estabiliza la suma.
- Comparar la velocidad de convergencia de los distintos criterios.
Sala 6 · La convergencia y la integral
Las sumas superior e inferior se persiguen hasta encontrarse en un único número, y ese número es la integral definida. Aquí se introduce por fin la notación ∫ y se explica de dónde vienen sus partes: el signo alargado que es una suma, la función y el diferencial.
Tareas para el alumno
- Seguir la convergencia de las dos sumas al aumentar la partición.
- Relacionar cada parte de la notación con lo que se ha estado haciendo.
Sala 7 · Área con signo
La integral no siempre es un área: lo que hay bajo el eje resta. Con el seno en un periodo completo el resultado es cero, y la sala cierra con el reto de la piscina —una función con una parte constante y otra oscilante— donde el truco es separar el rectángulo del trozo que ya se sabe que integra cero.
Tareas para el alumno
- Predecir el signo de la integral de una función que cruza el eje.
- Resolver el reto de la piscina separando la parte constante de la oscilante.
Sala 8 · Propiedades de la integral
Partir el intervalo por un punto interior y sumar los dos trozos da lo mismo que integrar de una vez. La animación recorre primero el intervalo entero, luego el primer trozo, y muestra la resta, que es la forma en que esta propiedad se usa de verdad al calcular.
Tareas para el alumno
- Comprobar la aditividad partiendo el intervalo por un punto.
- Calcular una integral como diferencia de otras dos.
Sala 9 · El teorema fundamental
El corazón del laboratorio. Si se define la función que da el área acumulada hasta x, su derivada resulta ser la propia f. La sala lo hace ver ampliando un trozo estrechísimo: lo que crece el área al avanzar un poco es, casi exactamente, un rectángulo de altura f(x).
Tareas para el alumno
- Estimar cuánto crece el área al avanzar un poco en x.
- Reconocer que ese crecimiento es la altura de la función.
Sala 10 · f(x) y su función de área
Las dos gráficas lado a lado: la función y su área acumulada, con un deslizador que las recorre a la vez. Se ve que donde f es positiva el área sube, donde es negativa baja, y donde f corta el eje la función de área tiene un máximo o un mínimo.
Tareas para el alumno
- Relacionar el signo de f con el crecimiento de la función de área.
- Localizar los extremos de la función de área a partir de los ceros de f.
Sala 11 · Dibuja tu función
El alumno traza a mano la curva que quiera y el laboratorio calcula su integral y su función de área en vivo. Es la sala donde comprobar por cuenta propia lo que las dos anteriores han explicado, dibujando a propósito curvas que suban, bajen o crucen el eje.
Tareas para el alumno
- Dibujar una función libre y observar su función de área.
- Dibujar a propósito una curva cuya integral sea cero.
Sala 12 · La Regla de Barrow
El teorema fundamental se convierte en herramienta de cálculo: si se conoce una primitiva, la integral definida es la diferencia de sus valores en los extremos. Aquí es donde el laboratorio pasa de entender la integral a saber calcularla.
Tareas para el alumno
- Calcular una integral definida buscando una primitiva y evaluándola.
- Comprobar el resultado contra la estimación numérica.
Sala 13 · Área entre dos curvas
El área encerrada entre dos funciones es la integral de su diferencia. Con la de arriba y la de abajo bien identificadas, el problema se reduce al de siempre.
Tareas para el alumno
- Identificar cuál es la curva superior en el intervalo.
- Calcular el área encerrada entre ambas.
Sala 14 · Curvas que se cruzan
Cuando las dos curvas se cruzan, la de arriba deja de serlo a mitad de camino, así que hay que partir el intervalo por los puntos de corte y sumar los tramos. Es el error clásico de este tema y aquí se ve por qué la resta directa da un resultado equivocado.
Tareas para el alumno
- Hallar los puntos de corte de las dos curvas.
- Partir el intervalo y sumar el área de cada tramo.
Sala 15 · Trapecio y Simpson
Dos formas mejores de aproximar que los rectángulos: unir los puntos con segmentos o con parábolas. Las barras de error, en escala logarítmica, muestran cuánto mejora cada método al doblar el número de trozos, y ahí se ve que Simpson gana por mucho más que un poco.
Tareas para el alumno
- Comparar el error de Riemann, del trapecio y de Simpson con el mismo número de trozos.
- Estimar cuánto mejora cada método al doblar los trozos.
Sala 16 · Integración por Monte Carlo
Un método completamente distinto: lanzar puntos al azar dentro de un rectángulo y contar qué proporción cae bajo la curva. Es lento y ruidoso en una dimensión, pero es la puerta a la idea de que hay métodos probabilísticos de calcular integrales.
Tareas para el alumno
- Lanzar puntos y estimar el área a partir de la proporción que cae debajo.
- Observar cómo mejora la estimación al aumentar el número de puntos.
Sala 17 · La longitud de una curva
La misma idea de trocear, aplicada a otra magnitud: aproximar la curva por una poligonal y sumar las longitudes de los segmentos. Al afinar los trozos aparece la fórmula de la longitud de arco.
Tareas para el alumno
- Aproximar la longitud con una poligonal y afinar los trozos.
- Reconocer de dónde sale la raíz de la fórmula.
Sala 18 · Volumen de revolución
El cierre del laboratorio, en tres dimensiones: la curva gira alrededor del eje y el sólido resultante se aproxima por discos, cada uno de radio f(x). La escena se puede girar con el ratón, y el volumen sale de sumar los discos exactamente igual que el área salía de sumar rectángulos.
Tareas para el alumno
- Girar la curva y ver el sólido formado por discos.
- Calcular el volumen sumando los discos y comparar con la fórmula.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.